考研高数｜曲率圆选择题【拉格朗日版本解法】

若 f′′(x)f''(x)f′′(x) 不变号，且曲线 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点(1,1)(1,1)(1,1)处的曲率圆为 x2+y2=2x^2+y^2=2x2+y2=2，则f(x)f(x)f(x)在区间(1,2)(1,2)(1,2)内()

(A)有极值点，无零点

(B)无极值点，有零点

©有极值点，有零点

(D)无极值点，无零点

曲率圆 x2+y2=2x^2+y^2=2x2+y2=2，圆心(0,0)(0,0)(0,0)，半径 ρ=2\rho=\sqrt{2}ρ=2 ，点(1,1)(1,1)(1,1)在曲线上。

隐函数求切线：2x+2yy′=0⇒y′=−xy2x+2y y'=0 \Rightarrow y'=-\frac{x}{y}2x+2yy′=0⇒y′=−yx
代入(1,1)(1,1)(1,1)：f′(1)=−1\boldsymbol{f'(1)=-1}f′(1)=−1
曲率公式：
ρ=∣y′′∣(1+(y′)2)32 \rho=\frac{|y''|}{\big(1+(y')^2\big)^{\frac32}} ρ=(1+(y′)2)23∣y′′∣
曲率半径ρ=2\rho=\sqrt2ρ=2 ，y′(1)=−1y'(1)=-1y′(1)=−1代入：
2=∣y′′∣(1+(−1)2)32=∣y′′∣232 \sqrt{2}=\frac{|y''|}{(1+(-1)^2)^{\frac32}}=\frac{|y''|}{2^{\frac32}} 2 =(1+(−1)2)23∣y′′∣=223∣y′′∣
算出：∣y′′∣=2|y''|=2∣y′′∣=2。
曲率圆在(1,1)(1,1)(1,1)上凸，f′′(1)<0 ⟹ f′′(1)=−2f''(1)<0 \implies \boldsymbol{f''(1)=-2}f′′(1)<0⟹f′′(1)=−2。

题目条件：f′′(x)f''(x)f′′(x)不变号

⇒\Rightarrow⇒ 在整个区间内 f′′(x)<0\boldsymbol{f''(x)<0}f′′(x)<0 恒成立。

含义：f′(x)f'(x)f′(x) 单调递减。

x∈ $1,2$ x\in $1,2$ x∈ $1,2$ ，f′(x)f'(x)f′(x)单调递减，

所以 x>1x>1x>1 时：

f′(x)≤f′(1)=−1<0 f'(x)\le f'(1)=-1<0 f′(x)≤f′(1)=−1<0

导数在(1,2)(1,2)(1,2)恒小于0，没有地方满足 f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0

👉 无极值点，排除A、C。

拉格朗日中值定理 ：

函数在闭区间连续，开区间可导，则存在 ζ∈(1,2)\zeta\in(1,2)ζ∈(1,2)，满足：

f(2)−f(1)=f′(ζ)(2−1)=f′(ζ) f(2)-f(1)=f'(\zeta)(2-1)=f'(\zeta) f(2)−f(1)=f′(ζ)(2−1)=f′(ζ)

我们已经知道两点：

代入式子：

f(2)−f(1)=f′(ζ)<−1 f(2)-f(1)=f'(\zeta) < -1 f(2)−f(1)=f′(ζ)<−1

已知 f(1)=1f(1)=1f(1)=1

f(2)−1<−1 ⟹ f(2)<0 f(2)-1 < -1 \implies \boldsymbol{f(2)<0} f(2)−1<−1⟹f(2)<0

零点定理：

f(1)=1>0, f(2)<0f(1)=1>0,\ f(2)<0f(1)=1>0, f(2)<0，函数连续

⇒\Rightarrow⇒ 在区间(1,2)(1,2)(1,2)内存在零点。

B：无极值点，有零点

曲率半径公式 ρ=∣y′′∣(1+y′2)32\rho=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac32}}ρ=(1+y′2)23∣y′′∣，曲率 K=1ρK=\frac1\rhoK=ρ1，别记反
f′′(x)<0 ⟺ f′(x)f''(x)<0 \iff f'(x)f′′(x)<0⟺f′(x)单调递减
拉格朗日中值定理：连接函数增量与区间内某点导数，适合这种估值判断正负的题
f′′f''f′′不变号：保证凹凸性全程不变，f′(x)f'(x)f′(x)单调性不变