一文讲通--从树到红黑树

1. 什么是树？

树是一种有上下层级的数据结构，就像电脑里的文件夹：

资料
├── 工作
│   ├── 合同
│   └── 报表
└── 生活
    ├── 照片
    └── 账单

每一个位置叫作节点 ，节点之间的连接叫作边。

名称	含义	上图中的例子
根节点	最顶层的节点	资料
父节点	某个节点的直接上级	工作是合同的父节点
子节点	某个节点的直接下级	合同是工作的子节点
兄弟节点	拥有相同父节点的节点	合同和报表
叶子节点	没有子节点的节点	合同、照片
子树	某个节点及其下面的所有节点	工作、合同、报表组成一棵子树

普通的树，一个节点可以有很多个孩子。

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2. 什么是二叉树？

每个节点最多有两个孩子的树，叫作二叉树。

两个位置分别叫左孩子、右孩子：

        A
       / \
      B   C
     /     \
    D       E

"最多两个"意味着：

• 可以没有孩子。
• 可以只有左孩子或右孩子。
• 可以同时有左右两个孩子。

二叉树只限制孩子的数量，没有规定数据的大小顺序。

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3. 什么是二叉搜索树？

为了方便查找，可以给二叉树增加一个排列规则。

先假设数字不重复：

对于每个节点，左边整棵子树里的数字都比它小，右边整棵子树里的数字都比它大。

例如：

          8
        /   \
       4     12
      / \   /  \
     2   6 10  14

它不仅要求 4 比 8 小，还要求 4 下面的 2、6 也都比 8 小。

这样的树叫作二叉搜索树。

找数字 10 时：

10 比 8 大  → 往右走
10 比 12 小 → 往左走
找到 10

每次比较，都能排除另一边的整棵子树。

这就是它能加快查找的原因。

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4. 数据怎么插进去？

插入时，同样遵守"左小右大"。

例如在刚才的树中插入 5：

5 比 8 小 → 往左
5 比 4 大 → 往右
5 比 6 小 → 往左
这里是空位置 → 放进去

结果：

          8
        /   \
       4     12
      / \   /  \
     2   6 10  14
        /
       5

普通二叉搜索树的插入，就是这样一路比较，找到空位置。

但这会带来一个问题：树的形状受插入顺序影响。

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5. 二叉搜索树为什么会长歪？

从空树开始，依次插入：

1、2、3、4、5

每个新数字都比之前的大，所以一直往右放：

1
 \
  2
   \
    3
     \
      4
       \
        5

它仍然符合"左小右大"，但已经很像链表了。

找 5，需要经过：

1 → 2 → 3 → 4 → 5

如果有一百万个节点，最坏就可能逐个比较一百万次。

而同样的数据，可以组织成：

        3
       / \
      2   4
     /     \
    1       5

这样查找走的路就短了。

所以，只保证大小顺序还不够，还需要控制树的高度。

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6. 高度是什么？平衡又是什么？

高度可以理解为：从这个位置往下，最长能经过多少层节点。

这里约定：

空树高度为 0
只有一个节点，高度为 1

例如：

         8
        / \
       4   12
      /
     2

对于节点 8：

左子树：4 → 2，高度为 2
右子树：12，高度为 1
整棵树高度为 3

平衡的目的，就是避免一侧长得特别深，让整棵树的高度保持较小。

平衡不等于左右完全对称，也不要求每一层都填满。

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7. 什么是平衡二叉搜索树？

平衡二叉搜索树会在插入、删除之后，主动调整结构，控制高度。

不同的树，对"允许歪多少"有不同规定。

一种严格的标准是：

每个节点的左右子树，高度差都不能超过 1。

按这个标准维护的二叉搜索树，叫作 AVL 树。中文教材里常把它称为"平衡二叉树"。

例如：

         8
        / \
       4   12
      /
     2

它符合 AVL 的要求。

但下面这棵就不符合：

10
  \
   20
     \
      30

对于 10：

左子树高度 = 0
右子树高度 = 2
高度差 = 2

注意，每个节点都要检查，不能只看根节点。

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8. 失衡之后，怎么调整？

主要通过旋转。

先看最简单的左旋：

调整前：             调整后：

10                      20
  \                    /  \
   20                 10   30
     \
      30

具体做法是：

把右孩子 20 提上来；
让原来的 10 成为 20 的左孩子；
30 继续留在 20 的右边。

为什么这样调整是合法的？

因为大小关系始终是：

10 < 20 < 30

调整后仍然符合"左小右大"，但树变矮了。

旋转的作用，就是改变树的形状，同时保留二叉搜索树的大小顺序。

向左长歪时，可以反过来右旋：

调整前：             调整后：

      30                20
     /                 /  \
    20                10   30
   /
  10

复杂一点时，被提上来的节点可能还带着其他孩子，这些孩子也需要安排到正确的位置。

例如左旋：

调整前：             调整后：

    10                    20
      \                  /  \
       20               10   30
      /  \                \
     15   30               15

15 比 10 大、比 20 小，所以调整后放在 10 的右边。

有些形状需要组合两次旋转，但原则一样。

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9. 什么叫"自动平衡"？

不是等树全部建完，才统一整理，而是在数据变化后执行：

按大小关系插入或删除
          ↓
检查受影响的节点
          ↓
必要时旋转
          ↓
继续检查上层节点

这里有两个不同的角色：

内容	解决什么问题
平衡规则	判断什么时候需要调整
旋转操作	真正改变树的形状

AVL 用高度差判断是否需要调整。

红黑树则使用另一套判断规则。

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10. 有了 AVL，为什么还需要红黑树？

因为维持平衡本身也有成本。

AVL 的要求比较严格：每个节点左右子树高度差都不能超过 1。

红黑树允许更宽松的形态：不必时刻保持那么整齐，只要保证树不会长得过高。

对比	AVL 树	红黑树
都是什么	自平衡二叉搜索树	自平衡二叉搜索树
主要判断依据	左右子树高度差	节点颜色及相关规则
平衡要求	比较严格	比较宽松
调整手段	旋转、更新高度等	旋转、变色

宽松一些，给维护操作留下了更多余地，同时仍然能够保证对数级别的树高。

具体使用哪个更快，还取决于读写比例、实现方式等，不能只凭树的名字判断。

红黑树也属于自平衡二叉搜索树，但不遵守 AVL 的"高度差最多为 1"规则。

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11. 红黑树里的颜色是做什么的？

红黑树给每个节点增加了一个颜色属性：

        10黑
       /    \
     5红    15红

颜色可以用一个布尔值记录。

它与数字大小、奇偶、业务优先级都没有关系，也不是固定按层交替。

数字大小决定节点放在哪里，颜色帮助程序检查和维护平衡。

先记住两个核心要求：

• 红色节点不能直接连接红色孩子。
• 从任意节点出发，到它下面各个空位置的路径，黑色节点数量必须相同。

接下来通过插入过程理解它们。

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12. 第一个节点是什么颜色？新节点又是什么颜色？

从空树开始，插入 10：

10黑

它是根节点，所以设为黑色。

再插入 5：

    10黑
    /
   5红

通常，新插入的节点先设为红色；如果它是根节点，就设为黑色。

但这只是初始颜色，后续调整时可能改变。

为什么优先设为红色？需要结合"黑色节点数量相同"来理解。

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13. 为什么新节点先设红色？

节点没有孩子的位置，在红黑树的规则中，会被看作黑色空节点，称为 NIL。

例如：

      10黑
      /   \
    NIL黑 NIL黑

这些 NIL 用于统一描述规则，实际实现不一定需要为每个空位置创建对象。

插入一个红色的 5：

        10黑
       /    \
      5红   NIL黑
     /   \
   NIL黑 NIL黑

从 10 出发：

往左：10黑 → 5红 → NIL黑   共 2 个黑节点
往右：10黑 → NIL黑        共 2 个黑节点

各条路径的黑色节点数量依然相同。

如果把新加入的 5 直接设为黑色：

往左：10黑 → 5黑 → NIL黑   共 3 个黑节点
往右：10黑 → NIL黑        共 2 个黑节点

就破坏了这个要求。

所以，新节点先设红，可以保持原有路径上的黑色节点数量，减少影响。

接下来只需要检查：它有没有和红色父节点直接相连。

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14. 父节点是黑色时，可以直接保留红色

例如：

    10黑
    /
   5红

父黑、子红，没有问题。

再插入 15：

       10黑
      /    \
     5红   15红

15 的父节点也是黑色，同样不需要调整。

这里 5 和 15 可以同时为红色，因为它们是兄弟。

不允许的是直接相连的父子都为红色。

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15. 父节点也是红色时，需要看"叔叔"

继续插入 1，先设为红色：

       10黑
      /    \
     5红   15红
    /
   1红

5 和 1 连续为红，违反规则。

此时：

新节点：1
父节点：5
爷爷节点：10
叔叔节点：15，也就是父节点的兄弟

如果父节点和叔叔都是红色，通常先通过变色处理：

父节点 5：红 → 黑
叔叔 15：红 → 黑
爷爷 10：黑 → 红

为什么爷爷要变红？

因为父节点和叔叔都变黑了，两边的路径各多出一个黑节点；把爷爷从黑改成红，可以抵消这个增加，保持这片子树原有的黑色节点数量。

不过，这里的爷爷恰好是根节点。根必须是黑色，所以最终再将它设回黑色：

       10黑
      /    \
     5黑   15黑
    /
   1红

这会让整棵树所有根到 NIL 的路径统一多一个黑节点，因此仍然符合要求。

如果爷爷上面还有节点，就可能出现新的红红冲突，需要继续向上检查。

颜色不是节点的永久身份，会随着维护过程改变。

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16. 叔叔是黑色时，为什么会用到旋转？

换一个例子，依次插入：

10、20、30

插入 10：

10黑

插入 20，先设红色：

10黑
   \
   20红

父节点是黑色，不需要处理。

插入 30，先设红色：

10黑
   \
   20红
      \
      30红

20 和 30 连续为红。

这次，30 的叔叔是 10 的左孩子位置，也就是黑色 NIL。

对于这个向右排列的例子，可以通过左旋配合变色处理：

       20黑
      /    \
    10红   30红

这就是前面已经讲过的旋转：

把 20 提上来；
10 放左边；
30 放右边。

然后配合颜色调整，使规则重新成立。

如果父子节点拐了一个弯，例如：

    10黑
       \
       30红
       /
      20红

通常需要先旋转一次，把这种"折线"变成前面的"直线"，再进一步旋转、变色。

具体分支可以后面再学。现在要理解的是：

周围节点的颜色和位置，共同决定该变色、旋转一次，还是旋转两次。

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17. 现在再看红黑树的完整规则

规则	含义
每个节点要么红，要么黑	节点具有颜色标记
根节点是黑色	调整结束时必须保证
所有 NIL 空节点是黑色	统一处理路径终点
红色节点的孩子必须是黑色	不允许连续两个红节点
从任意节点到下面各个 NIL 的路径，黑节点数相同	维护各条路径的黑色节点数量

这些规则描述的是维护完成后必须满足的状态。

而"新节点先设红、检查父节点、检查叔叔、变色、旋转"，是恢复这些规则的操作过程。

不要把"规则"和"操作步骤"混成一件事。

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18. 为什么这些规则能保证树不会长歪？

把黑色节点想成路径上的"检查站"。

两条核心要求意味着：

各条路径上的黑色检查站数量相同；

两个黑色检查站之间，最多夹一个红色节点。

于是：

• 不能在一条路径上多塞很多黑节点。
• 也不能靠连续塞红节点，把一条路径无限拉长。

最短的路径可以主要由黑节点组成，最长的路径可以红黑交替，但长度不会无限分化。

这些约束能保证：按根到 NIL 的路径长度计算，最长路径不超过最短路径的两倍。

因此，红黑树允许一定程度的歪斜，但树高始终保持在 O(log n)，查找、插入、删除也能保持 O(log n)。

它不是每次都把树整理得完全对称，而是始终把高度控制在可接受的范围内。

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19. 删除节点时也要维护吗？

要，而且通常比插入更复杂。

插入时，我们优先放入红节点，尽量不改变黑色节点数量。

删除时，如果实际移除的是黑色节点，就可能让某些路径少一个黑节点：

原来各条路径黑节点数相同
              ↓
某一条路径少了一个黑节点
              ↓
需要通过变色、旋转等操作修复

这里还会涉及兄弟节点及其孩子的颜色。

入门时先掌握插入即可。理解了"为什么要维持黑色节点数量"，以后学习删除就能知道每一步在修复什么，而不是只能背步骤。