第二十二夜 · 数字迷雾

第二十二夜 数字迷雾

上一夜的习题Ⅳ，请你随手写一个十位数，先猜它几步掉进 123，再跑。猜的人大多往大了猜，跑出来全部是三步，洞不在乎来路多长。这一夜出场的第一位数，人们已经猜了八十多年。猜它倒着走再回头，能不能在镜子里照见自己。机器推了它十亿次，它长成了四亿多位的巨人，还是没有照见。这不是猜错了步数的问题，是猜到今天，连它能不能照见都没人知道。

数字王国的地图，到这里换了画风。前面的夜，洞也好，巷子也好，迷宫也好，走到底总有着落，不是家，就是圈。地图上还留着三块空白，路朝那边修过很多回，修到某个刻度就停了。停下的不算失败，每一段路都是实打实验过的。停下的也不是终点，雾还在路的那头。这一夜走这三个方向，把三块空白各看一眼，再顺路探一处旧卷宗。先说好，这一夜没有结局。有结局的那几夜，讲的是人把数看穿了；这一夜讲的，是因为本身这些数字还是迷。

第一块空白在一面镜子前。第二十夜的水巷，你见过照镜子的数，153 照见自己，9376 照见自己的尾巴。还有一族数玩另一种照法，把一个数倒过来，与原数相加，看和是不是对称的。89 就玩这个。89+98=187，187+781=968，968+869=1837，一路倒着加，加了二十四步，加出了一个正读反读都一样的十三位数，8813200023188。二十四步，照见了自己。第二十夜它的全阶梯都在，你去看。

196 玩同一个游戏。

196+691=887

887+788=1675

1675+5761=7436

7436+6347=13783

13783+38731=52514

它不停。我的程序推了它十万步，写成十进制，四万一千四百九十位，我在第一万步停下核对过一次，四千一百五十九位，与第二十夜记的分毫不差。十万步没有照见回文。这不是我推得不够远。2011 年，有人把这台推磨推到了十亿次，得到的数写下来有四亿三千九百多万位，仍然不是回文。一万以内的数，别的都先后在镜子里照见了自己，出不了镜的凑在一起清点过，二百四十六个。我本来以为那是二百四十六个悬而未决的数，把它们的名字打印出来看了一眼，笑了。196，295，394，493，592，一路等差往下排，它们全在同一条倒序相加的路上，走着走着就汇进同一条队伍。万以内出不了魔镜世界的，不是二百四十六桩谜，是一桩谜的二百四十六个名字。这一族数，天下人叫它利克瑞尔数，名字是 2002 年一位叫 VanLandingham 的研究者取的，用的是自己女友的名字。传说，196 是不是永远照不见自己，到今天没人能证明，也没人能证伪。你可以说它终有一天照见，我可以说它永远照不见，我们谁也说服不了谁，因为谁也走不完那条路。

第二块空白，挂着一张两百八十多年前的信。1742 年 6 月 7 日，普鲁士的哥德巴赫给欧拉写信，信里猜了一件事。他猜的原话，用今天的话说是，每个大于 5 的整数，都能写成三个素数之和。那个年代 1 还被当成素数用，所以他的说法和今天教科书的说法隔着一层。欧拉回信，一来一往，问题磨成了今天通行的样子，每个大于 2 的偶数，都能写成两个素数之和。这就是谁都听过的 1 加 1，注意，数学里的 1 加 1 在这里不是算术，是把一个偶数拆成两个素数这件事的代号。这个猜想的迷人之处在于，它听起来简单得不像话。你看。

4=2+2

6=3+3

8=3+5

10=3+7

12=5+7

14=3+11

16=3+13

18=5+13

顺着数下去，没有一个偶数漏网，而且拆法越往后越多，22 有三种拆法，34 有四种，像一条越走越宽的路。我用程序把四到两百万之间的每个偶数查了一遍，全部拆得开。四百万亿亿也早有人查过，2013 年有一支团队把验证推到了 4 乘 10 的 18 次方，一百万亿亿那么远，全部拆得开。但拆得开的数再多，也只证明了那些数拆得开。就差一步，从无数个，到每一个。这一步两百八十年没有迈过去。它迈过去了一半，很多人不知道。哥德巴赫信里的原版，三个素数之和的那个说法，2013 年被秘鲁数学家赫尔戈特证明了。信的另一半，两个素数的版本，还开着。这桩谜在中国有一个全民皆知的名字。1966 年，陈景润在《科学通报》宣布了他关于 1 加 2 的结果，1973 年发表了全文，他证明的是，每个充分大的偶数，都可以写成一个素数，加上一个至多由两个素数相乘得到的数。离 1 加 1 一步之遥，这一步到今天没人迈过去。1978 年第一期《人民文学》刊出徐迟的长篇报告文学《哥德巴赫猜想》，一万八千字，报纸转载，陈景润成了那一年最有名的名人，数学家的职业在那一年被一代少年记进了心里。皇冠上的明珠，说的就是这一颗。明珠还在皇冠上。

第三块空白，你在第二夜就见过它的门。那一夜的画廊挂着三幅回不了家的肖像，死递归，6174，还有一幅蒙着布。原文的话是，第三幅的描述，至今没有人写得出来。这一夜，我来把布掀了。

布底下是考拉兹猜想。1937 年德国数学家考拉兹提出，规则一句话，任取一个自然数，奇数就乘三加一，偶数就除以二，对得到的数反复做，看它走到哪里。就这些。描述早就有，第二夜说没有人写得出来，说得准确些，是没有人写得出来它能走到哪里。现在我把描述写给你，一共三行。

while (n != 1) {
    n = (n % 2 == 0) ? n / 2 : 3 * n + 1;
}

描述写出来了，第二夜欠的这句还上了。可你看清了，这三行写的是怎么走，不是走到哪。走不完怎么办，程序会一直转。会不会有哪个数永远到不了 1，或者绕进别的圈子，没人知道。先看看数是怎么走的。挑 27。

27\\to82\\to41\\to124\\to62\\to31

31\\to94\\to47\\to142\\to71\\to214\\to107\\to322\\to161\\to484\\to242\\to121\\to364\\to182\\to91

一路翻上去，翻到 9232，才肯回头。

9232\\to4616\\to2308\\to1154\\to577\\to1732\\to866\\to433\\to1300\\to650\\to325\\to976\\to488\\to244\\to122\\to61\\to184\\to92

\\to46\\to23\\to70\\to35\\to106\\to53\\to160\\to80\\to40\\to20\\to10\\to5\\to16\\to8\\to4\\to2\\to1

27 走了 111 步到家，111 步里上升 41 次，下降 70 次，最高翻到 9232，从 27 出发翻了三百多倍，翻上去再跌下来。这个起落的样子，像冰雹在云里滚，越滚越大，落地就碎，所以它另有一个名字叫冰雹猜想。把它引到东亚的人是日本的角谷静夫，所以中文世界也叫它角谷猜想。我再让程序把一千万以内的数全部送进去走了一遍，每一个都回到 1，无一例外。第二夜说它们全都回到四、二、一的怪圈，那个怪圈就是家门口的那条小环线，1 到 4，4 到 2，2 回 1，走到 1 就算到家，那三个数在门口自己转着圈。一千万里走得最久的是 8400511，走了 685 步。翻得最高的是 6631675，一路上到 60 万亿还多，从七位翻到十四位，再一层层跌回 1。全世界的验证推进得比我远得多，第二夜说验到三亿亿，这一夜报最新进度，路往前修了八万倍，到 2020 年已经验过 2.36 乘 10 的 21 次方以内的每一个数，全部回家。但一千万也好，三亿亿也好，10 的 21 次方也好，脚印能数清，雾数不清。把所有自然数除以已验证的个数，得到的不是百分之九十九，是零。数学家艾狄胥为这桩谜悬赏五百美元，留下一句被反复引用的话，数学还没有成熟到能处理这类问题。2019 年，陶哲轩往前推了最大的一步，他证明了几乎所有数的轨道都会掉到几乎有界的地步。几乎所有，在数学里是一句重话，它意味着例外可以有无穷多个。雾薄了一点，雾还在。

第十八夜说过，奇完全数到底存不存在，机器把 10 的 1500 次方以内梳理了一遍，一个也没有。那卷宗还开着，这里补一句近况就好，有数学家证明过，奇完全数若存在，必须比 10 的 1500 次方还大，而且至少是 101 个素数的乘积。它要来，就得带着厚厚的行李来。

把这些谜题摆在一起，你大概看出来了，它们卡住的原因是同一个。第一夜到第二十一夜，凡是能清点的，我们都清点了，九千个四位数全量押送，全部落洞，判决成立。今夜的谜反过来。倒序相加推了十亿次，推出来的每一个中间数都查过，没有回文，可下一个数查不查得出来，谁也不敢说。偶数拆到 4 乘 10 的 18 次方，全拆得开，可 4 乘 10 的 18 次方加 2 呢。程序的本事是走完每一段修好的路，谜的本事是路永远比脚印多。昨夜我们说，有一种为什么不是推导出来的，是清点出来的。今夜补上另一句，清点得完的，才有资格这么答。

雾还在。这一夜没有结局，可是你手里已经有了别人没有的，描述。三行描述，一千万个脚印，41490位的一张纸条。路修到哪里，是程序的事。雾散不散，要等一个证明来画。

这一夜的程序有三段。第一段推 196，倒序相加，用大整数，十万步报一次位数。

import java.math.BigInteger;

public class LychrelPush {
    public static void main(String[] args) {
        BigInteger x = BigInteger.valueOf(196);
        for (int steps = 1; steps <= 100000; steps++) {
            String s = x.toString();
            String r = new StringBuilder(s).reverse().toString();
            if (s.equals(r)) {
                System.out.println("palindrome at step " + steps);
                return;
            }
            x = x.add(new BigInteger(r));
            if (steps % 25000 == 0) {
                System.out.println("step " + steps + ": " + x.toString().length() + " digits");
            }
        }
        System.out.println("no palindrome within 100000 steps");
    }
}

实跑输出，与正文那串数字对上。

step 25000: 10389 digits
step 50000: 20779 digits
step 75000: 31134 digits
step 100000: 41490 digits
no palindrome within 100000 steps

第二段验哥德巴赫，把每个偶数拆成两素数，查到两百个为止，你可以把界改大。

public class GoldbachCheck {
    static boolean isPrime(long n) {
        if (n < 2) return false;
        for (long d = 2; d * d <= n; d++) {
            if (n % d == 0) return false;
        }
        return true;
    }

    public static void main(String[] args) {
        for (long v = 4; v <= 200; v += 2) {
            String found = "";
            for (long a = 2; a <= v / 2; a++) {
                if (isPrime(a) && isPrime(v - a)) {
                    found = a + "+" + (v - a);
                    break;
                }
            }
            System.out.println(v + " = " + found);
        }
    }
}

实跑输出的开头几行，正文阵列的出处。

4 = 2+2
6 = 3+3
8 = 3+5
10 = 3+7
12 = 5+7
14 = 3+11
16 = 3+13
18 = 5+13

第三段走 27 的轨道，三行规则，数步数，记峰值。

public class CollatzTrack {
    public static void main(String[] args) {
        long n = 27;
        int steps = 0;
        long peak = n;
        System.out.print(n);
        while (n != 1) {
            n = (n % 2 == 0) ? n / 2 : 3 * n + 1;
            if (n > peak) peak = n;
            steps++;
            System.out.print(" -> " + n);
        }
        System.out.println();
        System.out.println("steps: " + steps + ", peak: " + peak);
    }
}

实跑输出，轨道全列太长，结尾两行在这里。

... -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1
steps: 111, peak: 9232

① 附录与真伪核对

　Ⅰ 考拉兹猜想验证纪录　Lothar Collatz 1937 年提出（真）；验证下限，David Barina 团队 2020 年 5 月完成 2 的 68 次方以内全部验证（论文载 Journal of Supercomputing，2020，真），现行通行的下限表述为 2.36 乘 10 的 21 次方（维基口径，登记）；此前分布式项目 yoyo@home 保持约 2 的 66 次方纪录（真）。第二夜「三亿亿」为 3 乘 10 的 16 次方，与现役下限相差约八万倍，本夜已刷新。

　Ⅱ 艾狄胥引文　Paul Erdős，「Mathematics is not yet ripe for such questions.」，通行中译「数学还没有成熟到能处理这类问题」（真，通行口径）；常系于 1983 年前后，原始出处存疑（登记）；为考拉兹猜想悬赏 500 美元（真，通行说法层）。

　Ⅲ 陶哲轩结果　「Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values」，2019 年预印本，正式发表于 Forum of Mathematics, Pi（2020，真）；对数密度意义下几乎所有正整数的考拉兹轨道最小值任意小（真）；例外集密度为零但可为无穷（真）；不构成完整证明（真）。

　Ⅳ 哥德巴赫信件　1742 年 6 月 7 日哥德巴赫致欧拉（真）；原版表述为大于 5 的整数拆三素数之和，年代 1 尚按素数使用（真）；现行二元版经欧拉通信演化成形（真）；三元版 2013 年 Harald Helfgott 证明（真）；二元版验证至 4 乘 10 的 18 次方，Oliveira e Silva、Herzog、Pardi，Mathematics of Computation（2014，真）。

　Ⅴ 陈景润与徐迟　1966 年 5 月《科学通报》宣布 1 加 2 结果（简报），1973 年发表全文证明（真）；徐迟《哥德巴赫猜想》，《人民文学》1978 年第 1 期，约一万八千字，后经《人民日报》《光明日报》转载（真）；「数学皇冠上的明珠」为该文流行语（真）。

　Ⅵ 196 与利克瑞尔数　Romain Dolbeau 2011 年完成 10 亿次倒序相加，得 413930770 位（真，维基口径）；本机实跑十万步得 41490 位，第一万步 4159 位与第二十夜纪录一致（真，实跑）；一万以内未出回文者 246 个，全部位于 196 的倒序相加轨道族（真，实跑）；Lychrel 一词由 Wade VanLandingham 约于 2002 年取自其女友之名（通行说法层）；196 是否真为利克瑞尔数，两个方向均未证明（真）。

　Ⅶ 奇完全数近况　若存在则大于 10 的 1500 次方且至少 101 个素因子，Ochem 与 Rao（2012，真，第十八夜已核）；偶完全数与梅森素数一一绑定，个数随 GIMPS 更新（真）。

　Ⅷ 本机实跑　2026-10-29，JDK 21，考拉兹一千万全扫无一例外（步数冠军 8400511 共 685 步，峰值冠军 6631675 峰值 60342610919632）；哥德巴赫四至两百万存在性全扫通过；196 十万步 BigInteger 推进。

② 术语对照

　Ⅰ 利克瑞尔数　疑为经反复倒序相加永不能得到回文数的自然数，196 为最小候选，是否真有此族尚未证明。

　Ⅱ 哥德巴赫猜想　每个大于 2 的偶数都可写成两个素数之和；「1 加 1」为此事的代号，非算术。

　Ⅲ 考拉兹猜想　奇数乘三加一、偶数减半，反复进行，是否所有自然数都回到 1，未证明；别名冰雹猜想、角谷猜想。

③ 今夜习题　三道加一句征对，评论区见。

　Ⅰ 把 27 的轨道打印全列，数一数它一路上到过多少个不同的高度，再挑一个你自己的两位数，算算它走几步、翻多高。

　Ⅱ 哥德巴赫的拆法里，4、6、8、12 各只有一种拆法。写程序找出三百以内所有只有一种拆法的偶数，看看 12 之后还有没有。

　Ⅲ 用大整数把 89 和 196 各推一万步。89 第几步照见自己，196 一万步长到多少位。把两个数放在一起，说说你的感觉。

　Ⅳ 三桩谜你最先想看哪一桩被解开。评论区聊聊，多少年后回头看这条评论。

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