【图论】最短路算法

1、Dijkstra算法

不能处理边权为负的情况，复杂度O(nlogn)

步骤与基本思路

（1）初始化距离数组dist $N$ ，将其所有值赋为0x3f，并将起点1的dist初始化为0，存入优先队列heap中

（2）从所有未被遍历 的点中找到与起点1的距离dist $i$ 最小的点，并将该点标记为已遍历

（3）利用刚刚遍历的这个点 i 更新所有 i 的出边所连的点与起点1的距离，更新后存入heap中

（4）重复操作（2）（3）直至heap空

Dijkstra板子

cpp 复制代码

int dijkstra() // 返回起点到终点的距离
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
    heap.push({0, 1}); // first为dist second为具体的点

    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top(); // 即取出与起始距离最短点
        heap.pop();

        int distance = t.first, ver = t.second;

        if (st[ver]) continue;
        st[ver] = true;

        // 遍历所有与ver相邻的点 更新他们的dist
        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[ver] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[ver] + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1; // 说明起点到不了终点
    return dist[n];
}

2、Bellman-Ford算法

可以解决对边数有要求 的最短路问题，复杂度O(n^2)

步骤与基本思路

（1）初始化距离数组dist $N$ ，将其所有值赋为0x3f，并将起点1的dist初始化为0

（2）遍历 k 次，第 i 次表示这一轮的最短路最多经过 i 条边：每轮先复制上一轮的dist（防止本轮前面的dist更新对后面的更新有影响），然后遍历所有边，更新dist为最小值

Bellman-Ford板子

cpp 复制代码

struct Edge
{
    int a, b, w;
}edges[M];

void bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    for (int i = 0; i < k; i ++ )
    {
        memcpy(last, dist, sizeof dist); // 将本轮还没有更新的dist值赋给last
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
        {
            auto e = edges[j];
            dist[e.b] = min(dist[e.b], last[e.a] + e.w);
        }
    }
}

3、SPFA算法

可以解决有负权边的情况，还可以判断负环，复杂度O(n^2)

步骤与基本思路

（1）初始化距离数组dist $N$ ，将其所有值赋为0x3f，并将起点1的dist初始化为0

（2）建立队列q，将起点1存入队列中。同时建立st数组记录哪些点入队

（3）每轮取出队头，遍历与队头相连的所有点，更新这些点的dist，并将不在队中的点入队

（4）重复（3），直到队空

SPFA板子

cpp 复制代码

int spfa() // 返回起点到终点的最短距离
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    queue<int> q;
    q.push(1);
    st[1] = true; // 记录队中现在有哪些点

    while (q.size())
    {
        int t = q.front(); // 取出队头
        q.pop();

        st[t] = false; // 取出的点不在队中

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j]) // 更新的点不在队中就入队
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    return dist[n];
}

4、Floyd算法

数据范围小时用该方法合适，可以处理负权边，时间复杂度O(n^3)

步骤与基本思路

设置 k 为中转站，每轮更新 i -> j 距离为 i -> j 和 i -> k k -> j 的最小值

Floyd板子

cpp 复制代码

void floyd()
{
    for (int k = 1; k <= n; k ++ ) // k为中转站
    {
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        {
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            {
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
            }
        }
    }
}