首先分析这个问题，以示例1为例。
已经求得最大递增子序列长度为4，而且该子序列中最后一个数为101，
那么一定存在一个数ai，使得ai以及ai之前的所有数组成的序列中，
最大递增子序列长度为3，而且该子序列中最后一个数为ai。
我们记dp[ i ]为，从第0个数到第 i-1 个数所组成的序列中，最大递增子序列的长度。那么在示例1中，dp[ 0 ]=1；dp[ 1 ]=1；dp[ 2 ]=1；dp[ 3 ]=2；dp[ 4 ]=2；dp[ 5 ]=3；dp[ 6 ]=4；dp[ 7 ]=4.
示例2中，dp[ 0 ]=1；dp[ 1 ]=2；dp[ 2 ]=2；dp[ 3 ]=3；dp[ 4 ]=3；dp[ 5 ]=4.
可以看出dp[ i ]的值是依次以某种规律递增的。
但由于要求是严格递增的子序列，因此ai之前比ai大的数就不再纳入考虑。
综上所述，dp[ i ]的值可以这么确定：找到ai之前比它小的数ak，dp[ i ]=dp[ k ]+1，最后为了使dp[i]最大，就必须使dp[ k ]最大，因此要在ai之前的数里找到最大的dp[ k ]，由此就得到了dp[ i ]。
cpp
class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
int dp[2510]={0};
int len=nums.size();
for(int i=0;i<len;++i)
{
dp[i]=1;
//子序列长度最小值是 1
for(int j=0;j<i;++j)
//第二层循环的目的是找到nums[i]之前比它小的数nums[j]，
//找到最大值dp[j]之后，dp[i]=dp[j]+1
//下面这种写法等效于上面的分析，不过省了一点代码
{
if(nums[j]<nums[i])
dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
}
}
int MAX=0;
for(int i=0;i<len;++i) MAX=max(MAX,dp[i]);
//这里需要遍历整个dp数组找出最大值，原因在下面
return MAX;
}
};需要注意的是：这种方法最后需要遍历一遍dp数组来找出最大值，因为如果给出的序列如下：
元素：1，3，6，7，9，4，10，5，6
编号：0 1 2 3 4 5 6 7 8
那么dp[ 6 ]=6，但是计算dp[ 5 ]时，由于6、7、9都比4大，因此只考虑了dp[ 5 ]=max(dp[ 5 ]，dp[ 1 ]+1)，而dp[ 1 ]=2，故dp[ 5 ]=3；这就导致计算dp[ 7 ]=max(dp[ 7 ]，dp[ 5 ]+1)=4，同理dp[8]=5，如果直接输出dp[ len ]，就错了。