【LeetCode】300.最长递增子序列

首先分析这个问题，以示例1为例。

已经求得最大递增子序列长度为4，而且该子序列中最后一个数为101，

那么一定存在一个数ai，使得ai以及ai之前的所有数组成的序列中，

最大递增子序列长度为3，而且该子序列中最后一个数为ai。

我们记dp i 为，从第0个数到第 i-1 个数所组成的序列中，最大递增子序列的长度。那么在示例1中，dp 0 =1；dp 1 =1；dp 2 =1；dp 3 =2；dp 4 =2；dp 5 =3；dp 6 =4；dp 7 =4.

示例2中，dp 0 =1；dp 1 =2；dp 2 =2；dp 3 =3；dp 4 =3；dp 5 =4.

可以看出dp i 的值是依次以某种规律递增的。

但由于要求是严格递增的子序列，因此ai之前比ai大的数就不再纳入考虑。

综上所述，dp i 的值可以这么确定：找到ai之前比它小的数ak，dp i =dp k +1，最后为了使dpi最大，就必须使dp k 最大，因此要在ai之前的数里找到最大的dp k ，由此就得到了dp i 。

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int dp[2510]={0};
        int len=nums.size();
        for(int i=0;i<len;++i)
        {
            dp[i]=1;
//子序列长度最小值是 1
            for(int j=0;j<i;++j)
//第二层循环的目的是找到nums[i]之前比它小的数nums[j]，
//找到最大值dp[j]之后，dp[i]=dp[j]+1
//下面这种写法等效于上面的分析，不过省了一点代码
            {
                if(nums[j]<nums[i])
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
        }
        int MAX=0;
        for(int i=0;i<len;++i) MAX=max(MAX,dp[i]);
//这里需要遍历整个dp数组找出最大值，原因在下面
        return MAX;
    }
};

需要注意的是：这种方法最后需要遍历一遍dp数组来找出最大值，因为如果给出的序列如下：

元素：1，3，6，7，9，4，10，5，6

编号：0 1 2 3 4 5 6 7 8

那么dp 6 =6，但是计算dp 5 时，由于6、7、9都比4大，因此只考虑了dp 5 =max(dp 5 ，dp 1 +1)，而dp 1 =2，故dp 5 =3；这就导致计算dp 7 =max(dp 7 ，dp 5 +1)=4，同理dp8=5，如果直接输出dp len ，就错了。