文章目录
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- [第3章 n维向量](#第3章 n维向量)
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- 1.概念
- 2.向量、向量组的的线性关系(线性相关性)
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- [(1)线性表示 ：AX=β](#(1)线性表示 ：AX=β)
- [(2)线性相关、线性无关： AX=0](#(2)线性相关、线性无关： AX=0)
- 3.极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩
- 4.向量空间
- [第4章 线性方程组](#第4章 线性方程组)
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- (一)具体型线性方程组
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- [1.齐次线性方程组 Ax=0](#1.齐次线性方程组 Ax=0)
- [2.非齐次线性方程组 Ax=β](#2.非齐次线性方程组 Ax=β)
- (二)抽象型线性方程组
- (三)方程组的公共解、同解方程组
第3章 n维向量
1.概念
§ 3 §3 §3 向量组 { ①部分相关，整体相关 ②整体无关，部分无关 ③低维无关，高维无关 ④高维相关，低维相关 \begin{cases} ①部分相关，整体相关\\ ②整体无关，部分无关\\ ③低维无关，高维无关\\ ④高维相关，低维相关 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧①部分相关，整体相关②整体无关，部分无关③低维无关，高维无关④高维相关，低维相关
(1)n维单位列向量
α = ( a 1 a 2 a 3 . . . a n ) , α T = ( a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n ) α=\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ ...\\ a_n \end{array}\right),α^T=(a_1,a_2,a_3,...,a_n) α= a1a2a3...an ,αT=(a1,a2,a3,...,an)
性质：若α是n维列向量，则
①一列乘一行，是矩阵： α α T αα^T ααT 是 n × n n×n n×n阶方阵
②一行乘一列，是一个数： α T α = ∣ ∣ α ∣ ∣ 2 α^Tα=||α||^2 αTα=∣∣α∣∣2
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t r ( α α T ) = α T α tr(αα^T)=α^Tα tr(ααT)=αTα
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r ( α α T ) = 1 r(αα^T)=1 r(ααT)=1
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( α α T ) T = α α T ， ∴ α ⋅ α T (αα^T)^T=αα^T，∴α·α^T (ααT)T=ααT，∴α⋅αT是n阶实对称方阵，可以相似对角化，
α ⋅ α T ∼ ( 1 0 . . . 0 ) α·α^T\sim\left(\begin{array}{cc} 1 & & \\ & 0 & \\ & & ...\\ & & & 0 \end{array}\right) α⋅αT∼ 10...0
例题1：17年5.
分析：不可逆，即|A|=λ₁λ₂λ₃...=0，即有0特征值
α α T ∼ ( 1 0 . . . 0 ) αα^T\sim\left(\begin{array}{cc} 1 & & \\ & 0 & \\ & & ...\\ & & & 0 \end{array}\right) ααT∼ 10...0 ，显然 E − α α T E-αα^T E−ααT有零特征值，不可逆
答案：A
2.向量、向量组的的线性关系(线性相关性)
(1)线性表示 ：AX=β
若存在常数 k 1 , k 2 , . . . , k s , k_1,k_2,...,k_s, k1,k2,...,ks,使得 α = k 1 β 1 + k 2 β 2 + . . . + k s β s ， α = k_1β_1+ k_2β_2+...+ k_sβ_s， α=k1β1+k2β2+...+ksβs，则称向量 α α α是向量组 β 1 , β 2 , . . . , β s β_1,β_2,...,β_s β1,β2,...,βs的线性组合 ，或称向量 α α α可被向量组 β 1 , β 2 , . . . , β s β_1,β_2,...,β_s β1,β2,...,βs线性表示(线性表出)
哪个向量前面的系数不为0，这个向量就可以被其余向量线性表示
例题1：03年10.
答案：D
例题2：数二 21年9. 线性表示
分析：
答案：D
例题3：20年6. 直线的点向式方程→直线的参数方程→直线参数方程的向量形式 + 线性表示
分析：
答案：C
(2)线性相关、线性无关： AX=0
①线性相关
1.定义：设向量组α~1~,α~2~,...,α~s~，若存在不全为0的数k~1~,k~2~,...,k~s~，使 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s = 0 k_1α_1+k_2α_2+...+k_sα_s=0 k1α1+k2α2+...+ksαs=0，则称向量组α~1~,α~2~,...,α~s~线性相关
2.线性相关的充要条件：α~1~,α~2~,...,α~s~中至少有一个向量可以被其他向量线性表示
线性相关的向量组中，系数不为0的向量，可由其他向量线性表示
3.线性相关的等价条件：
⇦⇨ 至少有一个向量可由其余n-1个向量线性表出
4.通过初等变换，无关 可变 相关，但 已相关 不可回 无关
5.含有零向量 或成比例向量 的向量组，必线性相关
显然，若向量组中有零向量，则向量组线性相关。(可取零向量α~0~的系数k~0~为任意非零常数，破坏了线性无关的定义。)
即含有零向量的向量组线性相关。
本来线性无关的向量组，加入一个零向量，它们就线性相关了。可见零向量就是一个润滑剂
②线性无关
1.定义：设向量组α~1~,α~2~,...,α~s~，若不存在不全为0(仅存在全为0)的数k~1~,k~2~,...,k~s~，使k~1~α~1~+k~2~α~2~+...+k~s~α~s~=0，则称向量组α~1~,α~2~,...,α~s~线性无关
2.推论：设向量组α~1~,α~2~,...,α~s~线性无关，但向量组α~1~,α~2~,...,α~s~,β线性相关。则向量β可由向量组α~1~,α~2~,...,α~s~线性表示，且表示法唯一。
3.线性无关的等价条件：
①行列式|A|≠0
②A可逆
③满秩：r(A)=n
④AX=0仅有零解
⑤向量组不成比例
③线性相关性7大定理
1.线性相关 ⇦⇨ 至少有一个向量可由其余n-1向量线性表出
线性无关 ⇦⇨ 任一向量均不能由其余n-1个向量线性表出
2.原来无关，加一个相关，则新加的可被原向量组 唯一线性表示
证明：
非0不可由0表示 ：若向量α第k行非0，其他向量第k行均为0，则α不可由其他向量线性表示
0向量可由非0向量表示：零向量 = 0×非零向量
3.以少表多，多的相关、秩多的可以表示秩少的
高维空间可表示低维空间，反之不可 【秩多的可以表示秩少的】
4.Ax=0 仅有零解，A线性无关；有非零解，A线性相关
①n<m：必相关
方程个数<未知数个数，即维数<个数 ，则线性相关 。
n维向量空间，若向量组线性无关 ，最多只能有n个向量。即维数≥个数 。
②n=m：看行列式
③n>m：见定理6、7 + 方程组结论
5.①β可由向量组α₁,α₂,...,α~m~线性表出 ⇦⇨ A~n×m~x = β 有解 ⇦⇨ r(A)=r(A,β)
②β不可由向量组α₁,α₂,...,α~m~线性表出 ⇦⇨ A~n×m~x = β 无解 ⇦⇨ r(A)≠r(A,β)
6.向量个数的增减：
①部分相关，整体相关。
②整体无关，部分无关。
7.维数的增减：
①原来无关，延长必无关 【低维无关，高维无关】
②原来相关，缩短必相关 【高维相关，低维相关】
例题0：张宇30讲 例题3.6 抽象型向量组的线性相关性，用定义法
答案：
例题1：12年05.
分析：
法一：线性相关的充要条件：线性相关⇦⇨行列式=0
∵|α~1~,α~3~,α~4~|=0，∴α~1~、α~3~、α~4~线性相关
法二：线性相关的充分条件：线性相关⇨成比例
∵α~3~+α~4~=(0,0,c~3~+c~4~)^T^，与α~1~成比例，∴α~1~、α~3~、α~4~线性相关
答案：C
例题2：06年11.
分析：
若已经相关了，则初等变换后依然相关，不能再变回无关了。（若变换后是无关，则变换前肯定也得是无关）
若本来无关，通过变换可能相关。
答案：A
例题3：06年11.真题的变式
答案：C
例题4：14年6. 线性无关、必要性与充分性
分析：
①必要性成立，是必要条件
②充分性不成立，是非充分条件（若向量组中有一个零向量，则该向量组线性相关）
答案：A
3.极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩
1.极大线性无关组
(1)概念
①线性无关
②向量组中任意向量均可由极大线性无关组线性表出
(2)性质
①极大线性无关组一般不唯一，但其成员个数是唯一的。极大线性无关组是该向量组的最简小组
②向量组的秩：①极大线性无关组中成员的个数 ②向量组中线性无关的向量个数 ③秩为该向量组所张成的向量空间的维数
(3)找极大线性无关组的步骤
①将列向量们组成矩阵A，作初等行变换化为行阶梯形矩阵，确定r(A)
②按列找出其中一个秩为r(A)的子矩阵，即为一个极大线性无关组
2.等价向量组
1.矩阵等价 ：①同型 ②秩等:r(A)=r(B)
向量组等价：①同维 ②r(A)=r(B)=r(A,B) ，即两个向量组可以相互线性表出
2.初等行变换：行向量组等价
初等列变换：列向量组等价
等价矩阵和等价向量组
例题1：23李林四(一)5. 向量组等价：型同、秩等、相互表出
分析：
答案：B
例题2：13年5.
答案：B
例题3：00年9.
分析：
答案：D
3.向量组的秩
1.向量组的秩的概念：
①向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s α_1,α_2,...,α_s α1,α2,...,αs 的极大线性无关组 α i 1 , α i 2 , . . . , α i r α_{i_1},α_{i_2},...,α_{i_r} αi1,αi2,...,αir 中所含向量的个数r 为 向量组的秩，记作 r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) = r r(α_1,α_2,...,α_s)=r r(α1,α2,...,αs)=r
②向量组中线性无关的向量个数
③秩为该向量组所张成的向量空间的维数
2.性质：
①矩阵的秩 = 行秩 = 列秩 (三秩相等)
②秩大的表示秩小的，可被线性表出的秩小
4.向量空间
(1)向量空间的概念
过渡矩阵、坐标、基、维数
①维数： R n {\rm R}^n Rn 指n维向量空间，由n个线性无关的n维向量张成
②基 ：证明向量组为R^3^的基，只需要证明向量组中各向量线性无关
③过渡矩阵 ： A P = B AP=B AP=B，则 过渡矩阵 P = A − 1 B P=A^{-1}B P=A−1B
④坐标：向量 = 坐标·基
基变换、过渡矩阵
坐标变换
(2)基
向量空间的基 的2个必要条件：设V为向量空间，若r个向量α~1~,α~2~,...,α~r~∈V，且满足
(1)α~1~,α~2~,...,α~r~线性无关 【证明向量组为R^3^的基，只需要证明向量组中各向量线性无关】
(2)V中任意向量都可由α~1~,α~2~,...,α~r~线性表示
则向量组α~1~,α~2~,...,α~r~称为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间
基 的概念类似极大线性无关组 、基础解系
若把向量空间V看作向量组，则由极大线性无关组的等价定义可知，V的基就是向量组的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。
(3)基变换的过渡矩阵
求A基到B基的过渡矩阵：（右乘列变换）
AP=B，则过渡矩阵 P=A^-1^B
例题1：03年4.
分析： A P = B ∴ P = A − 1 B AP=B ∴P=A^{-1}B AP=B∴P=A−1B。注意二阶求逆时，先求A*，还要除以|A|。这里|A|=-1
答案： ( 2 3 − 1 − 2 ) \left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{array}\right) (2−13−2)
例题2：19年20.
分析：
(2)①证明3个向量是R^3^的基，只需证明它们线性无关 [向量的基线性无关]
②求A基到B基的过渡矩阵：
AP=B，则过渡矩阵 P=A^-1^B
答案：
(4)向量在基下的坐标
向量 = 坐标·基
例题0：
例题1：23李林四(二)15.
分析：
答案： ( 2 2 , 2 , − 2 2 ) (\dfrac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}) (22 ,2 ,−22 )
例题2：15年20.
分析：
(1)证明向量组是R^3^的一个基，只需要证明向量组线性无关
(2)坐标
第4章 线性方程组
(一)具体型线性方程组
1.齐次线性方程组 Ax=0
齐次线性方程组 A m × n x = 0 A_{m×n}x=0 Am×nx=0
m为所给方程个数，n为未知数个数。m<n时就有自由变量
(1)有解的条件：齐次线性方程组解的判别
AX=0，齐次必然有解。
① r ( A ) = n r(A)=n r(A)=n ( α 1 , α 2 , . . . , α n α_1,α_2,...,α_n α1,α2,...,αn线性无关)：唯一零解。
② r ( A ) < n r(A)<n r(A)<n ( α 1 , α 2 , . . . , α n α_1,α_2,...,α_n α1,α2,...,αn线性相关)：无穷多个非零解 和零解 。且有n-r个线性无关解 (用这n-r个线性无关解，来表示这无穷多个解)
A x = 0 Ax=0 Ax=0的无穷多解是一个"解空间"，用 k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + . . . , k n − r ξ n − r k_1ξ_1+k_2ξ_2+...,k_{n-r}ξ_{n-r} k1ξ1+k2ξ2+...,kn−rξn−r表示（s=n-r）
(2)解的性质：齐次解的性质
解的叠加性：解的线性组合也是解
(3)基础解系、通解的结构
①基础解系
1.基础解系的定义：
设 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n − r ξ_1,ξ_2,...,ξ_{n-r} ξ1,ξ2,...,ξn−r满足
①是方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解
②线性无关
③有s=n-r个 。方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0的任一解向量均可由 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n − r ξ_1,ξ_2,...,ξ_{n-r} ξ1,ξ2,...,ξn−r线性表出
则称 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n − r ξ_1,ξ_2,...,ξ_{n-r} ξ1,ξ2,...,ξn−r 为 A x = 0 Ax=0 Ax=0 的基础解系。
基础解系是齐次方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0 的解向量集合的极大线性无关组。
2.基础解系的求法：见(4)求解方法与步骤的前三步
②通解的结构
(1)齐次
①先求出 n − r ( A ) n-r(A) n−r(A)个线性无关的基础解系
②每一个基础解系前面加一个 k i k_i ki，基础解系的线性组合即为齐次线性方程组的通解。
则齐次方程组的通解为： X = k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + k 3 ξ 3 + . . . k n − r ξ n − r X=k_1ξ_1+k_2ξ_2+k_3ξ_3+...k_{n-r}ξ_{n-r} X=k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3+...kn−rξn−r
(2)非齐次
若非齐次方程组 A X = β AX=β AX=β的特解为 β β β，则非齐次方程组的通解为： X = k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + k 3 ξ 3 + . . . + . . . + k n − r ξ n − r + β X=k_1ξ_1+k_2ξ_2+k_3ξ_3+...+...+k_{n-r}ξ_{n-r}+β X=k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3+...+...+kn−rξn−r+β
通解形成"s维解空间"，s=n-r
③自由变量
(1)谁是自由变量：化行阶梯/行最简矩阵时，不在直角边上的 x i x_i xi为自由变量
(2)自由变量/线性无关的解向量的个数： n − r ( A ) n-r(A) n−r(A)
(3)自由变量的设置：
①1个自由变量：1
②2个自由变量： ( 1 0 ) , ( 0 1 ) \binom{1}{0},\binom{0}{1} (01),(10)
③3个自由变量： ( 1 0 0 ) \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) 100 ， ( 0 1 0 ) \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) 010 ， ( 0 0 1 ) \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) 001
例题1：14年20
分析：
(2)A~3×4~B~4×3~=E~3×3~
由于A和B都不是方阵，故AB都不可逆，更没有行列式。
考虑拆分，B=(b~1~,b~2~,b~3~)，E=(e~1~,e~2~,e~3~)。则AB=E被拆成Ab~1~=e~1~,Ab~2~=e~2~,Ab~3~=e~3~
b~i~=k~i~ξ+特解，k为任意常数
(4)求解方法和步骤
2.基础解系(前3步)、通解求法：
①把A化为行阶梯/行最简矩阵 (方程组经初等行变换转化为同解方程组)
②找出一个秩为r=r(A)的子矩阵，基础解系为s=n-r个，把n-r(A)个 x i x_i xi设为自由变量 。(有同阶的才能设为自由变量)
(例如n=5，r(A)=3，s=n-r=5-3=2，基础解系有2个成员 ξ 1 , ξ 2 ξ_1,ξ_2 ξ1,ξ2
设 x 4 , x 5 x_4,x_5 x4,x5为自由变量，则 ξ 1 , ξ 2 ξ_1,ξ_2 ξ1,ξ2的最后两维：(1,0) (0,1)，即 ξ 1 = ( , , 1 , 0 ) T , ξ 2 = ( , , 0 , 1 ) T ξ_1=( , , 1,0)^T,ξ_2=( , , 0,1 )^T ξ1=(,,1,0)T,ξ2=(,,0,1)T。
③根据行阶梯/行最简矩阵，由最后一行倒着开始求其余变量的值，直至第一行，求出一个解向量 ξ 1 ξ_1 ξ1 ；再从最后一行开始求，得到第二个解向量 ξ 2 ξ_2 ξ2；直至求完所有解向量 ξ n − r ξ_{n-r} ξn−r
④齐次线性方程组的通解为： k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + . . . + k n − r ξ n − r k_1ξ_1+k_2ξ_2+...+k_{n-r}ξ_{n-r} k1ξ1+k2ξ2+...+kn−rξn−r
例题1：19年13.
分析：
答案： X = k ( 1 − 2 1 ) X=k\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) X=k 1−21 ，k为任意常数
2.非齐次线性方程组 Ax=β
非齐次线性方程组 A~m×n~x=β，可组合成AX=B
①方程组形式： A X = β AX=β AX=β
②向量形式：
①方程组的解 x 1 , x 2 , . . . x n x_1,x_2,...x_n x1,x2,...xn，就是向量与向量之间的表示系数
②齐次线性方程组Ax=0，称为非齐次线性方程组Ax=β的导出组
(1)有解的条件：非齐次线性方程组解的判别
① r ( A ) ≠ r ( A , β ) r(A)≠r(A,β) r(A)=r(A,β) (即 r(A)+1=r(A,β)，β不能由α₁,α₂,α₃线性表示)：非齐次线性方程组无解 ，
② r ( A ) = r ( A , β ) r(A)=r(A,β) r(A)=r(A,β) (β可由α₁,α₂,α₃线性表示)：非齐次线性方程组 AX=β有解 ，
③ r ( A ) = r ( A , β ) = n r(A)=r(A,β)=n r(A)=r(A,β)=n (β可由α₁,α₂,...,α~n~线性表示且表示法唯一)：非齐次线性方程组有唯一解 ，
④ r ( A ) = r ( A , β ) < n r(A)=r(A,β)<n r(A)=r(A,β)<n (β可由α₁,α₂,...,α~n~线性表示且表示法不唯一)：非齐次线性方程组有无穷多解
(2)解的性质：非齐次解的性质
①非齐次特解做差，是齐次特解
②非齐次通解：齐次通解 + 非齐次特解
(3)求解方法和步骤
①求齐次方程组的基础解系，进而求齐次方程组的通解 k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + . . . k n − r ξ n − r k_1ξ_1+k_2ξ_2+...k_{n-r}ξ_{n-r} k1ξ1+k2ξ2+...kn−rξn−r 【注意，基础解系是齐次的，等式右边为0】
②求特解 η η η：令自由项均为0，等式右边为自由项 β i β_i βi。从最后一行开始，代入求解，直至第一行
③拼起来，即为非齐通解
例题1：23李林六套卷(二)15.
分析：β不能由α₁,α₂,α₃线性表示，即非齐次线性方程组无解， r ( A ) ≠ r ( A , β ) r(A)≠r(A,β) r(A)=r(A,β)
答案：0
例题2：12年20(2)
分析：
(2)Ax=β有无穷多解，则 r ( A ) = r ( A ˉ ) < n r(A)=r(\bar{A})<n r(A)=r(Aˉ)<n，即r(A)<n，即 |A|=0
化为行最简后，先求齐次解Ax=0得基础解系ξ=(1,1,1,1)^T^。特解即为此时的β'=(0,-1,0,0)^T^。通解X=kξ+β'=k(1,1,1,1)^T^+(0,-1,0,0)^T^，k为任意常数
例题3：13年20.
分析：设 C = ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) C=\left(\begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{array}\right) C=(x1x3x2x4)，由AC-CA=B得出含x的方程组，写为系数矩阵D的增广矩阵 D ˉ \bar{D} Dˉ，化为行最简矩阵。这时就可以通过非齐次线性方程组解的判别条件 r ( D ) = r ( D ˉ ) r(D)=r(\bar{D}) r(D)=r(Dˉ)来求a，b的值了。求出后把a,b代入 D ˉ \bar{D} Dˉ，求出齐次方程组的基础解析 ξ 1 = ( 1 − 1 1 0 ) ξ_1=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) ξ1= 1−110 ， ξ 2 = ( 1 0 0 1 ) ξ_2=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) ξ2= 1001 ,非齐次通解X= ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) = k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ( 1 0 0 0 ) \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right)=k_1ξ_1+k_2ξ_2+\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) x1x2x3x4 =k1ξ1+k2ξ2+ 1000
∴ C = ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) C=\left(\begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{array}\right) C=(x1x3x2x4)=...
(4)非齐次线性方程组的几何意义：3个方程代表3个平面，交点代表解的个数
方程组有3个方程，每个方程代表一个平面。3个平面的交点个数代表方程组的解的个数。
若三个平面相交于同一条直线，则 r ( A ) = r ( A ˉ ) = 2 r(A)=r(\bar{A})=2 r(A)=r(Aˉ)=2
例题1：23李林六套卷(三)7.
分析：3个平面相较于一条直线，则有无穷多个交点，则 r ( A ) = r ( A ˉ ) < 3 r(A)=r(\bar{A})<3 r(A)=r(Aˉ)<3
A ˉ = ( 1 1 b ∣ 3 2 a + 1 b + 1 ∣ 7 0 1 − a 2 b − 1 ∣ 0 ) \bar{A}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 & b &| \ 3 \\ 2 & a+1 & b+1 &| \ 7 \\ 0 & 1-a & 2b-1 &| \ 0\\ \end{array}\right) Aˉ= 1201a+11−abb+12b−1∣ 3∣ 7∣ 0
显然，第三行要为全0，则a=1,b=1/2
答案：B
例题2：02年10. 系数矩阵秩、增广矩阵秩 用空间中的平面表示
分析：
A.三个平面只有一个交点，方程组有唯一解， r ( A ) = r ( A ˉ ) = 3 r(A)=r(\bar{A})=3 r(A)=r(Aˉ)=3。A❌
B.三个平面相较于同一条直线，即方程组有无穷多个解， r ( A ) = r ( A ˉ ) = 2 < 3 r(A)=r(\bar{A})=2<3 r(A)=r(Aˉ)=2<3。B✔
C.两两相交，互不平行： r ( A ) = 2 ， r ( A ˉ ) = 3 r(A)=2，r(\bar{A})=3 r(A)=2，r(Aˉ)=3。 C❌
D.两平面平行，第三个平面与这两个平行平面分别相交： r ( A ) = 2 ， r ( A ˉ ) = 3 r(A)=2，r(\bar{A})=3 r(A)=2，r(Aˉ)=3。D❌
答案：B
例题3：19年6.
答案：A
(二)抽象型线性方程组
4.解 就是系数
例题1：基础30讲线代分册 求非齐次线性方程组的通解、解的性质
分析：
①非齐通的解结构：非齐通 = 齐通 + 非齐特
②解的性质：i. η 1 − η 2 η_1-η_2 η1−η2为齐次特解 ii. 1 2 ( η 1 + η 2 ) \dfrac{1}{2}(η_1+η_2) 21(η1+η2)为非齐次特解， 1 3 ( η 3 + 2 η 2 ) \dfrac{1}{3}(η_3+2η_2) 31(η3+2η2)为非齐次特解 iii. 1 2 ( η 1 + η 2 ) − 1 3 ( η 3 + 2 η 2 ) \dfrac{1}{2}(η_1+η_2)-\dfrac{1}{3}(η_3+2η_2) 21(η1+η2)−31(η3+2η2)也为齐次通解，乘6倍后 3 ( η 1 + η 2 ) − 2 ( η 3 + 2 η 2 ) 3(η_1+η_2)-2(η_3+2η_2) 3(η1+η2)−2(η3+2η2)仍为齐次通解
本题不必求出 η 1 , η 2 , η 3 η_1,η_2,η_3 η1,η2,η3各自的值
答案：
例题2:
分析：
① r ( A B ) ≤ m i n { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)≤min\{ r(A),r(B)\} r(AB)≤min{r(A),r(B)}：由题得r(AB)=2≤min{ r(A),r(B} ∴r(A)≥2，r(B)≥2
又∵秩=行秩=列秩≤min{m,n}，∴r(A)≤2，r(B)≤2
故r(A)=r(B)=2
②线性无关解的个数 s = n − r s=n-r s=n−r
s A = n A − r ( A ) = 3 − 2 = 1 s_A=n_A-r(A)=3-2=1 sA=nA−r(A)=3−2=1
s B = n B − r ( B ) = 2 − 2 = 0 s_B=n_B-r(B)=2-2=0 sB=nB−r(B)=2−2=0
答案：B
例题3：
分析：
①s=n-r(A)=1 ∴r(A)=3 ∴r(A*)=1 ∴s*=n-r(A*)=3 排除AB
②(1,0,1,0)^T^是Ax=0的一个基础解系(其中A=(α₁,α₂,α₃,α₄))，即α₁+α₃=0，即α₁与α₃能相互线性表示，线性相关。故A*x=0的基础解系只能选 124或234。选D
答案：D
例题4：
答案：
(三)方程组的公共解、同解方程组
1.方程组的公共解
①齐次线性方程组 A m × n x = 0 A_{m×n}x=0 Am×nx=0和 B m × n x = 0 B_{m×n}x=0 Bm×nx=0的公共解，是满足方程组 [ A B ] x = 0 \left[\begin{array}{ccc}A\\B\end{array}\right]x=0 [AB]x=0的解，即联立求解
②增加约束，使其相等：令 k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 = l 1 η 1 + l 2 η 2 k_1ξ_1+k_2ξ_2=l_1η_1+l_2η_2 k1ξ1+k2ξ2=l1η1+l2η2，找到k1k2关系，将二维解空间化为一维解空间
2.同解方程组
1.定义/概念：两个方程组 A m × n x = 0 A_{m×n}x=0 Am×nx=0 和 B m × n x = 0 B_{m×n}x=0 Bm×nx=0 有完全相同的解，则称它们为同解方程组
2.性质：
A x = 0 Ax=0 Ax=0 与 B x = 0 Bx=0 Bx=0 为同解方程组
⇦⇨解完全相同：即Ax=0的解满足Bx=0，且Bx=0的解满足Ax=0 (互相把解代入，求出结果即可)
⇦⇨A与B的行向量组为等价向量组
⇦⇨ r ( A ) = r ( B ) = r ( A B ) r(A)=r(B)=r\dbinom{A}{B} r(A)=r(B)=r(BA)
例题1：
例题2：设A~m×n~，证明r(A)=r(A^T^A)
证明：
∴r(A)=r(A^T^)=r(A^T^A)=r(AA^T^)，对任意A~m×n~均成立
例题3：22年6.
分析：
①仅有零解 ⇦⇨ 系数矩阵满秩
②齐次方程组的同解变形 ⇦⇨ 矩阵的初等行变换
答案：C