【ee类保研面试】数学类---线性代数

BOB_BOB_BOB_2025-07-31 10:32

25保研er，希望将自己的面试复习分享出来，供大家参考

part0---英语类

part1---通信类

part2---信号类

part3---高数类

part100---self项目准备

文章目录

线性代数知识点大全

1. 余子式与代数余子式

  • 余子式（minor） ：

    对于矩阵 A A A 的第 i i i 行第 j j j 列元素 a i j a_{ij} aij，去掉第 i i i 行和第 j j j 列后所得的子矩阵的行列式，记作：

    M i j = det ( A i j ) M_{ij} = \text{det}(A_{ij}) Mij=det(Aij)

  • 代数余子式（cofactor）：

    A i j = ( − 1 ) i + j M i j A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} Aij=(−1)i+jMij

✅ 常用于行列式展开、求逆等运算。

2. 行列式的含义

  • 函数性质：将 n × n n \times n n×n 方阵映射到实数。
  • 几何意义：表示该矩阵对应线性变换的体积缩放因子（绝对值）和方向（符号）。
  • 代数意义：等于矩阵所有特征值的乘积。
  • 行列式为 0：矩阵不可逆，向量线性相关。

✅ 面试常问："行列式为什么可以判断可逆性？"、"为什么是特征值乘积？"

3. 矩阵的秩（Rank）

  • 一个矩阵非零行向量的最大数目，或者线性无关列/行的最大数目。
  • 表示向量组张成空间的维度。
  • 决定线性方程组是否有唯一解、有无穷解或无解。

✅ 常见考点：秩与解空间维度之间的关系。

5. 线性方程组解的情况 / 判断是否有解的几种方法

  • 设增广矩阵为 ( A ∣ b ) (A|b) (A∣b)

  • 有解的判定标准：

    rank ( A ) = rank ( A ∣ b ) \text{rank}(A) = \text{rank}(A|b) rank(A)=rank(A∣b)

  • 解的分类：

    • 若等于未知数个数 ⇒ 唯一解
    • 若小于未知数个数 ⇒ 无穷多解
    • 若不等 ⇒ 无解

✅ 面试高频提问！一定要牢记判定标准。

6. 线性相关与线性无关

  • 向量组 { v 1 , . . . , v n } \{v_1, ..., v_n\} {v1,...,vn} 中存在线性关系：

    c 1 v 1 + ⋯ + c n v n = 0 c_1 v_1 + \cdots + c_n v_n = 0 c1v1+⋯+cnvn=0

    若有非零解 ⇒ 线性相关 ；否则 ⇒ 线性无关。

✅ 常问："如何判断向量组线性无关？" 答：行列式不为零或秩等于向量个数。

7. 线性空间（向量空间）

  • 向量空间是一个集合，满足向量加法与数乘的封闭性等 8 条运算公理。
  • 常见空间如： R n \mathbb{R}^n Rn、矩阵空间、函数空间等。

✅ 面试常问："什么是向量空间？能举一个非欧几里得空间的例子吗？"

8. 向量空间的基与维数

  • 基（Basis）：一组线性无关且张满空间的向量。
  • 维数 ：该空间基的向量个数，记为 dim ⁡ V \dim V dimV。

✅ 面试常问："基一定唯一吗？"（答：不是，基有无数组，但维数唯一）

9. 特征值与特征向量

  • 对于矩阵 A A A，若存在非零向量 v v v 和标量 λ \lambda λ 使得：

    A v = λ v A v = \lambda v Av=λv

    则称 λ \lambda λ 为特征值， v v v 为特征向量。

  • 特征值 ⇒ 解特征方程 det ⁡ ( A − λ I ) = 0 \det(A - \lambda I) = 0 det(A−λI)=0

✅ 常考："对称矩阵的特征值性质？"（答：实对称矩阵特征值一定实，且可正交对角化）

11. 什么是向量正交？什么是矩阵正交？

  • 向量正交 ： ( α , β ) = 0 (\alpha, \beta) = 0 (α,β)=0，表示两向量垂直。
  • 矩阵正交 ： A ⊤ A = A A ⊤ = I A^\top A = AA^\top = I A⊤A=AA⊤=I，表示列向量两两正交且为单位向量。

12. 正交矩阵

  • 满足： A ⊤ A = I A^\top A = I A⊤A=I

  • 特点：

    • 行列互为正交单位组
    • 可逆，且 A − 1 = A ⊤ A^{-1} = A^\top A−1=A⊤
    • 保长、保角（用于旋转/反射等变换）

✅ 面试常问："正交矩阵乘向量会改变模长吗？"（答：不会）

13. 合同矩阵

  • 若存在可逆矩阵 P P P，使得 B = P ⊤ A P B = P^\top A P B=P⊤AP，称 A A A 与 B B B 合同。
  • 合同矩阵之间保持惯性指数（正负零特征值个数）不变。

✅ 常考于二次型化简与惯性定理。

14. 正定矩阵与半正定矩阵

  • 正定矩阵：

    • 对称矩阵 A A A，若任意非零向量 x x x 都满足：

      x ⊤ A x > 0 x^\top A x > 0 x⊤Ax>0

  • 半正定矩阵 ：满足 x ⊤ A x ≥ 0 x^\top A x \geq 0 x⊤Ax≥0

✅ 常问："判断正定性的方法？"

  • 所有特征值为正 ⇔ 正定
  • 所有主子式 > 0 ⇔ 正定

15. 相似与对角化

  • 相似（similarity） ：若存在可逆矩阵 P P P 使得：

    A = P B P − 1 A = PBP^{-1} A=PBP−1

    则 A ∼ B A \sim B A∼B，相似矩阵有相同特征值

  • 可对角化条件：

    • 存在一组线性无关特征向量
    • 亦即：矩阵有 n n n 个线性无关特征向量 ⇔ 可对角化

✅ 面试常问："是否所有矩阵都可对角化？"（答：不是，比如有缺失特征向量的重根情形）

面试出现过的真题

【北航】矩阵的范数：

  • 引入范数的目的是为了度量矩阵的"大小"或"长度"。

  • 满足性质：

    1. 正定性：||A|| = 0 当且仅当 A 是零矩阵；
    2. 齐次性：||λA|| = |λ|·||A||；
    3. 三角不等式：||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||；
    4. 乘积次乘性：||AB|| ≤ ||A||·||B||（对某些范数成立）。

【北航】线性无关是什么：

  • 一组向量线性无关 ⇔ 没有一个可以被其他向量线性表示。
  • 只有当所有系数为 0 时，线性组合为零向量。
  • 几何理解：张成的几何体（如平行四边形、六面体、超几何体）体积不为 0。
  • 线性组合中，每个项为一次项，不含常数和向量乘向量。

【北航】矩阵的行列式：

  • 行列式几何意义：广义平行四边形的体积。
  • 行列式为 0 ⇒ 映射使线性无关向量变成线性相关，信息丢失 ⇒ 不可逆。
  • 行列式 ≠ 0 ⇒ 可逆。

【北航】矩阵的迹（Trace）：

  • 定义：主对角线元素之和。
  • 线性算子的"压缩值"。

【ALL】矩阵的秩（Rank）是什么，有什么物理意义：

  • 定义：矩阵中线性无关行/列向量的最大数目。

  • 方法：找出最大的非零子式（子矩阵行列式 ≠ 0）。

  • 物理意义：线性变换后，至少保留的维度数量；保住了"多少个面"。

  • 性质：

    • rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}
    • r(A) + r(B) - n ≤ r(AB)
    • 矩阵满秩 ⇔ 可逆

【北航】Ax = b 有解的条件：

  • 条件：rank(A) = rank(A|b)

  • 几种情况：

    1. rank = n ⇒ 唯一解；
    2. rank < n ⇒ 无穷解；
    3. rank(A) ≠ rank(A|b) ⇒ 无解。

  • 几何解释：b 是否在 A 的列空间中。

  • Ax = 0 若列满秩 ⇒ 仅有零解。

【北航】【复旦】矩阵的特征值是什么，有什么物理意义，应用：

  • 定义：Ax = λx，λ 为特征值，x 为特征向量。
  • 求法：|λI - A| = 0 ⇒ 特征多项式，求解其根。
  • 几何理解：变换后方向不变的向量。
  • 物理意义：算子的"投影不变方向"
  • 所有特征向量正交 ⇒ 可对角化
  • 应用：主成分分析（PCA）、系统稳定性分析等

【自动化所】【北航】线性空间（向量空间）：

  • 定义：非空集合 V 对加法和数乘封闭，满足八条运算公理：

    1. 加法交换律
    2. 加法结合律
    3. 存在加法单位元（零向量）
    4. 存在加法逆元
    5. 数乘结合律
    6. 数乘与加法分配律（两种）
    7. 数乘的 1 元素

  • m 维线性空间：存在 m 个线性无关向量作为一组基

【软件所】转置矩阵的几何意义：

  • 将行变为列、列变为行；
  • 几何上类似于图像绕主对角线翻转（如 45° 对称轴）。

【北航】正交矩阵：

  • 定义：AᵀA = I，列（或行）向量正交且为单位向量。
  • 特性：|A| = ±1，A⁻¹ = Aᵀ。
  • 几何意义：旋转或反射，不改变向量长度和夹角。
  • 可视为一种"换基"方式。

【北航】矩阵求逆的方法：

  • 方法：

    1. 初等行变换法（构造增广矩阵 [A | I]）
    2. 伴随矩阵法
    3. 待定系数法（小矩阵常用）

【北航】什么时候 AB = BA：

  • A 与 B 可同时对角化 ⇒ 存在同一个可逆 P，使得 P⁻¹AP 和 P⁻¹BP 都是对角矩阵。
  • 特殊情况：A = B
  • 一般矩阵乘法不满足交换律，只有部分可交换。

【自动化所】标准正交基，施密特变换：

标准正交基：两量正交的向量，且长度为单位1

施密特变换：求标准正交基的方法。

【东南】正定矩阵的判断方法

①若A正定，则A的各阶顺序主子式均大于0；

②A的所有特征值均大于0。

未完待续

常见面试题整理2（线性代数）

1. 矩阵的秩的含义

📘 基本概念
  • 矩阵的秩：矩阵中不为零的子式的最大阶数。
  • 对于行阶梯型矩阵，秩等于其非零行的数量。
🔗 与向量组的关系
  • 矩阵的秩 = 列向量组的秩 = 行向量组的秩。
  • 向量组的秩：其极大线性无关组所含向量的个数。
📐 几何意义
  • 矩阵的行空间、列空间的维数 = 秩。
  • 表示该矩阵能在几何上张成的"空间维度"。
🧮 与线性方程组的关系

  • 若 A A A 为 m × n m \times n m×n 矩阵，秩为 r < n r < n r<n，

    • 齐次方程 A x = 0 Ax = 0 Ax=0 有 n − r n - r n−r 个基础解向量（自由变量个数）。
🔄 与线性变换的关系
  • 秩 = 保持非零体积的最大维度。
  • 例：一个秩为2的 3 × 3 3 \times 3 3×3 矩阵会将三维体压缩为二维面。

2. 线性相关的含义

📘 公式定义

  • 向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m α1,α2,...,αm 线性相关 ⇔ 存在不全为零的 k i k_i ki 使得

    k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m = 0 k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0

  • 否则，称线性无关。

📐 几何意义

  • 线性相关 ⇔ 向量张成的体积为 0。

  • 线性无关的向量组 ⇒ 张成体积 ≠ 0 ⇒ 行列式 ≠ 0。

  • 示例：

    • 二维空间：两个共线向量张成的平行四边形面积为零。
    • 三维空间：三个共面的向量张成的体积为零。
    • N N N 维空间中任取 M > N M > N M>N 个向量 ⇒ 必线性相关。

3. 行列式的含义

📘 基本概念
  • 行列式 = 所有从不同的行和列中取出的 n n n 个元素的乘积的加权和（符号为排列奇偶性）。
📐 几何意义（本质含义）

  • 行列式的绝对值 = n n n 个向量张成的** n n n 维体积**：

    • 二阶 ⇒ 面积
    • 三阶 ⇒ 体积
    • 四阶及以上 ⇒ 超体积（n维平行体）
🔄 与线性变换的关系
  • 行列式 ≠ 0：变换后保持体积 ≠ 0 ⇒ 向量组保持线性无关 ⇒ 矩阵可逆。
  • 行列式 = 0：变换后退化 ⇒ 向量组变为线性相关 ⇒ 矩阵不可逆。
  • 行列式为负：除了体积变化，还表示方向翻转。
  • ✅ 总结：行列式反映线性变换是否保持向量组的独立性（保真性）。

4. 特征值与特征向量的关系

📘 概念说明
  • 一个特征值可对应多个特征向量，但一个特征向量只对应一个特征值。
  • 不同特征值的特征向量组一定线性无关。
🔢 重数关系

  • 若特征值 λ \lambda λ 的代数重数 为 k k k，即在特征方程中是 k k k 重根；

  • 对应的线性无关特征向量最多有 l l l 个，满足：

    k ≥ l ≥ 1 k \geq l \geq 1 k≥l≥1

  • 即代数重数 ≥ 几何重数。

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