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Day44
零钱兑换II
题目
给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。
示例 1:
- 输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
- 输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
- 5=5
- 5=2+2+1
- 5=2+1+1+1
- 5=1+1+1+1+1
示例 2:
- 输入: amount = 3, coins = [2]
- 输出: 0
- 解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。
示例 3:
- 输入: amount = 10, coins = [10]
- 输出: 1
注意，你可以假设：
- 0 <= amount (总金额) <= 5000
- 1 <= coin (硬币面额) <= 5000
- 硬币种类不超过 500 种
- 结果符合 32 位符号整数
思路
注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢？
例如示例一：
5 = 2 + 2 + 1
5 = 2 + 1 + 2
这是一种组合，都是 2 2 1。
如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了。
组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。
动规五部曲
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
- 确定递推公式
dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。
所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];
- dp数组如何初始化
首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。
那么 dp[0] = 1 有没有含义，其实既可以说 凑成总金额0的货币组合数为1，也可以说 凑成总金额0的货币组合数为0，好像都没有毛病。
- 确定遍历顺序
首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。
那么 dp[0] = 1 有没有含义，其实既可以说 凑成总金额0的货币组合数为1，也可以说 凑成总金额0的货币组合数为0，好像都没有毛病。
我们先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。
代码如下：
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。
那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。
所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！
如果把两个for交换顺序，代码如下：
for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。
此时dp[j]里算出来的就是排列数！
- 举例推导dp数组
代码
class Solution {
public int change(int amount, int[] coins) {
int dp[] = new int[amount + 1];
dp[0] = 1;
for(int i = 0; i < coins.length; i++){
for(int j = coins[i]; j < amount + 1; j++){
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
return dp[amount];
}
}
组合总和 Ⅳ
Loading Question... - 力扣（LeetCode）
题目
难度：中等
给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组，找出和为给定目标正整数的组合的个数。
示例:
- nums = [1, 2, 3]
- target = 4
所有可能的组合为： (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。
因此输出为 7。
思路
本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，其实就是求排列！
弄清什么是组合，什么是排列很重要。
组合不强调顺序，(1,5)和(5,1)是同一个组合。
排列强调顺序，(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。
动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]
- 确定递推公式
dp[i]（考虑nums[j]）可以由 dp[i - nums[j]]（不考虑nums[j]） 推导出来。
因为只要得到nums[j]，排列个数dp[i - nums[j]]，就是dp[i]的一部分。
在动态规划：494.目标和 (opens new window)和 动态规划：518.零钱兑换II (opens new window)中我们已经讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
- dp数组如何初始化
因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故，dp[0]要初始化为1，这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础。
- 确定遍历顺序
个数可以不限使用，说明这是一个完全背包。
得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序。
本题要求的是排列，那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。
- 举例来推导dp数组
我们再来用示例中的例子推导一下：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-xLIQl1tQ-1690611550747)(https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20230310000625.png "377.组合总和Ⅳ")]
如果代码运行处的结果不是想要的结果，就把dp[i]都打出来，看看和我们推导的一不一样。
代码
class Solution {
public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
int dp[] = new int[target + 1];
dp[0] = 1;
for(int i = 0; i < target + 1; i++){
for(int j = 0; j < nums.length; j++){
if(i >= nums[j]){
dp[i] += dp[i - nums[j]];
}
}
}
return dp[target];
}
}