c++二叉树详解

一、二叉树基础概念

1. 定义

每个节点最多两个孩子：左孩子、右孩子
分：空树、只有根、只有左子树、只有右子树、左右都有

2. 基本名词

根节点：最上面那个
叶子节点：没有孩子的节点
父节点、子节点、兄弟节点
子树：以某个孩子为根的树
深度 / 高度 ：
- 深度：从根往下数第几层
- 高度：从当前节点到最远叶子的层数

3. 重要公式

第 i 层最多：2i−1 个节点
高度 h 的满二叉树最多：2h−1 个节点
n 个节点的二叉树高度至少：⌊log2n⌋+1

二、二叉树两种存储结构

1. 链式存储（最通用）

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struct Node {
    int val;
    Node *l, *r;
    Node(int x) : val(x), l(0), r(0) {}
};

2. 数组存储（完全二叉树专用）

根：1
i 的左孩子：2*i
i 的右孩子：2*i+1
i 的父亲：i/2

int tree[100005];

三、二叉树四大遍历（必考核心）

1. 前序：根 → 左 → 右

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void pre(Node *u) {
    if (!u) return;
    cout << u->val;
    pre(u->l);
    pre(u->r);
}

2. 中序：左 → 根 → 右

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void in(Node *u) {
    if (!u) return;
    in(u->l);
    cout << u->val;
    in(u->r);
}

3. 后序：左 → 右 → 根

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void post(Node *u) {
    if (!u) return;
    post(u->l);
    post(u->r);
    cout << u->val;
}

4. 层序：按层遍历（BFS）

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void bfs(Node *root) {
    queue<Node*> q;
    q.push(root);
    while (!q.empty()) {
        Node *u = q.front(); q.pop();
        cout << u->val;
        if (u->l) q.push(u->l);
        if (u->r) q.push(u->r);
    }
}

四、必考结论

前序 + 中序可确定二叉树
后序 + 中序可确定二叉树
前序 + 后序不能唯一确定

五、特殊二叉树（完整体系）

1. 满二叉树

所有非叶子都有 2 个孩子
所有叶子在同一层

2. 完全二叉树

除最后一层，前面全满
最后一层靠左排列
用途：堆、线段树

3. 二叉搜索树 BST

规则：左 < 根 < 右

中序遍历 = 有序序列
查找、插入、删除平均 O (log n)
最坏退化成链 O (n)

4. 平衡二叉树 AVL

BST + 左右高度差 ≤ 1
不平衡靠旋转修正
保证稳定 O (log n)

5. 红黑树

弱平衡 BST，节点带颜色
最长路径 ≤ 最短路径 × 2
C++ map/set 底层

6. 堆（完全二叉树）

大根堆：父 ≥ 子
小根堆：父 ≤ 子
用途：优先队列、Dijkstra、堆排序

7. 哈夫曼树（最优二叉树）

带权路径长度 WPL 最小
权大靠近根，权小在深处
用途：哈夫曼编码、数据压缩

8. 线索二叉树

把空指针利用：
- 左空 → 前驱
- 右空 → 后继
非递归遍历更快

六、基础操作（递归万能）

1. 求树深度

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int dfs(Node *u) {
    if (!u) return 0;
    return max(dfs(u->l), dfs(u->r)) + 1;
}

2. 求节点总数

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int cnt(Node *u) {
    if (!u) return 0;
    return cnt(u->l) + cnt(u->r) + 1;
}

3. 求叶子数

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int leaf(Node *u) {
    if (!u) return 0;
    if (!u->l && !u->r) return 1;
    return leaf(u->l) + leaf(u->r);
}

七、洛谷经典真题（直接能交）

题 1：P1030 已知中序后序求前序

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#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

string in, post;

void dfs(int l1, int r1, int l2, int r2) {
    if (l1 > r1) return;
    char root = post[r2];
    cout << root;
    int k = l1;
    while (in[k] != root) k++;
    int len = k - l1;
    dfs(l1, k-1, l2, l2+len-1);
    dfs(k+1, r1, l2+len, r2-1);
}

int main() {
    cin >> in >> post;
    dfs(0, in.size()-1, 0, post.size()-1);
    return 0;
}

题 2：P3378 小根堆模板

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#include <iostream>
using namespace std;

int h[1000005], len;

void up(int i) {
    while (i>1 && h[i]<h[i/2]) {
        swap(h[i], h[i/2]);
        i /= 2;
    }
}

void down(int i) {
    int s;
    while (2*i <= len) {
        s = 2*i;
        if (s+1 <= len && h[s+1]<h[s]) s++;
        if (h[s] < h[i]) swap(h[i], h[s]), i=s;
        else break;
    }
}

void push(int x) { h[++len]=x; up(len); }
void pop() { h[1]=h[len--]; down(1); }

int main() {
    int n, op, x;
    cin >> n;
    while (n--) {
        cin >> op;
        if (op == 1) cin >> x, push(x);
        else if (op == 2) cout << h[1] << '\n';
        else pop();
    }
    return 0;
}

题 3：P1090 合并果子（哈夫曼）

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#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;

priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> q;

int main() {
    int n, x, ans=0;
    cin >> n;
    while (n--) cin >> x, q.push(x);
    while (q.size()>1) {
        int a=q.top(); q.pop();
        int b=q.top(); q.pop();
        ans += a+b;
        q.push(a+b);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

八、完整二叉树知识体系总结

基础概念 + 存储
4 种遍历（前中后层）
递归万能操作（深度、数量、叶子）
8 种特殊二叉树
3 道洛谷经典题（可直接 AC）