文章目录
- [1 解决流程](#1 解决流程)
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- [1. 找寻质心（Centroid）](#1. 找寻质心（Centroid）)
- [2. 奇异值分解（SVD）](#2. 奇异值分解（SVD）)
- [3. 通过协方差矩阵得到旋转矩阵](#3. 通过协方差矩阵得到旋转矩阵)
- [4. 计算平移矩阵](#4. 计算平移矩阵)
- [2 举例验证 1](#2 举例验证 1)
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- [1. 找寻质心（Centroid）](#1. 找寻质心（Centroid）)
- [2. 计算协方差矩阵](#2. 计算协方差矩阵)
- [3. 奇异值分解](#3. 奇异值分解)
- [4. 计算平移矩阵](#4. 计算平移矩阵)
- Ref
存在有 N ≥ 3 N\ge 3 N≥3 个点，它们两两之间距离始终不变，这就满足了可代表一个刚体的条件。同时，已知这 N ≥ 3 N\ge 3 N≥3 个点在前后时刻的坐标，如何求对应刚体的平移矩阵，旋转矩阵？
如下图所示，对应点的颜色相同， R R R 是旋转， t t t 是平移。我们希望找到能将数据集 A A A 中的点对齐到数据集 B B B 的最佳旋转和平移。这种变换有时被称为欧几里得变换（Euclidean）或刚性变换（Rigid transform），因为它保留了形状和大小。这与仿射变换不同，后者包括缩放和剪切。
这个问题尤其出现在三维点云数据注册等任务中，因为这些数据是从三维激光扫描仪或流行的 Kinect 设备等硬件中获取的。
接下来的描述中，我们为了和图中情况保持一致，我们都假设 N = 3 N = 3 N=3。
1 解决流程
旋转和平移的方程式可以表示为如下形式：
R A + t = B \begin{aligned} RA + t = B \end{aligned} RA+t=B
最终目的是求取最合适的 R R R 和 t t t。
至于为什么可以这么表示，请参考文章开头所提及到的其他文章。
1. 找寻质心（Centroid）
这一步也比较简单，质心就是 N = 3 N = 3 N=3 个数据点的平均值
Centroid A = 1 3 ∑ k = 1 3 A k Centroid B = 1 3 ∑ k = 1 3 B k \begin{aligned} \text{Centroid}{A} &= \frac{1}{3} \sum{k=1}^{3} A_k \\ \text{Centroid}{B} &= \frac{1}{3} \sum{k=1}^{3} B_k \end{aligned} CentroidACentroidB=31k=1∑3Ak=31k=1∑3Bk
其中 A k A_k Ak 和 B k B_k Bk 分别表示在数据集 A A A 和 B B B 中第 k k k 个数据点的坐标。
2. 奇异值分解（SVD）
有几种方法可以找到点之间的最佳旋转。最简单的方法是使用奇异值分解（SVD），因为许多编程语言（Matlab、Octave、使用 LAPACK 的 C 语言、使用 OpenCV 的 C++ 语言...）都可以使用这个函数。SVD 就像线性代数中的一根神奇魔杖，可以解决各种数值问题。这里不会详细介绍它的工作原理，而会介绍如何使用它。你只需要知道，SVD 可以将一个矩阵（称作 E E E）分解/因式分解为另外 3 个矩阵，即
U , S , V \] = SVD ( E ) E = U S V T \\begin{aligned} \[U, S, V\] \&= \\text{SVD} (E) \\\\ E \&= U S V\^\\text{T} \\end{aligned} \[U,S,V\]E=SVD(E)=USVT 如果 E E E 是方阵，那么 U 、 S U、S U、S 和 V V V 的大小也相同。 ## 3. 通过协方差矩阵得到旋转矩阵 要找到最佳旋转方式，我们首先要重新调整两个数据集的中心，使两个中心点都位于原点，如下图所示。  这样就去除了平移部分，只剩下旋转部分需要处理。下一步是累加一个矩阵（称为 H H H），然后使用 SVD 求出旋转，如下所示： H = ( A − Centroid A ) ( B − Centroid B ) T \[ U , S , V \] = SVD ( H ) R = V U T \\begin{aligned} H \&= (A - \\text{Centroid}_{A})(B - \\text{Centroid}_{B})\^\\text{T} \\\\ \[U, S, V\] \&= \\text{SVD} (H) \\\\ R \&= V U\^\\text{T} \\end{aligned} H\[U,S,V\]R=(A−CentroidA)(B−CentroidB)T=SVD(H)=VUT 其中， H H H 是我们熟悉的协方差矩阵。 A − Centroid A A - \\text{Centroid}_{A} A−CentroidA 是用 A A A 减去 Centroid A \\text{Centroid}_{A} CentroidA 中的每一列的操作。 需要注意的一点是，要正确计算 H H H。它最终应该是一个 3 × 3 3 \\times 3 3×3 矩阵，而不是一个 N × N N \\times N N×N 矩阵（这里 N N N 是指点的数量，而 3 3 3 是指数据的坐标 \[ x , y , z \] \[x,y,z\] \[x,y,z\] 维度是 3 3 3）。注意转置符号。它是在两个矩阵之间进行乘法运算，这两个矩阵的实际维数分别是 3 × N 3 \\times N 3×N 和 N × 3 N \\times 3 N×3。乘法的顺序也很重要，如果换一种方法，就会变成是从 B B B 到 A A A 的旋转。 ## 4. 计算平移矩阵 得到旋转矩阵 R R R 后，平移矩阵 t t t 也就变得简单了。把质心代入开篇咱们提到的方程，那么有 R A + t = B R × Centroid A + t = Centroid B t = Centroid B − R × Centroid A \\begin{aligned} RA + t \&= B \\\\ R \\times \\text{Centroid}_A + t \&= \\text{Centroid}_B \\\\ t \&= \\text{Centroid}_B - R \\times \\text{Centroid}_A \\end{aligned} RA+tR×CentroidA+tt=B=CentroidB=CentroidB−R×CentroidA *** ** * ** *** # 2 举例验证 1 假设有 3 3 3 个相对位置保持不变的点，已知它们在数据集合 A A A 和数据集合 B B B 中的位置，然后计算旋转矩阵 R R R 和平动矩阵 t t t。 在数据集合 A A A 中： 点 1 1 1 的位置为： A 1 = ( 1 , 2 , 3 ) A_1 = (1, 2, 3) A1=(1,2,3)； 点 2 2 2 的位置为： A 2 = ( 4 , 5 , 6 ) A_2 = (4, 5, 6) A2=(4,5,6)； 点 3 3 3 的位置为： A 3 = ( 7 , 8 , 9 ) A_3 = (7, 8, 9) A3=(7,8,9)。 在数据集合 B B B 中： 点 1 1 1 的位置为： B 1 = ( 2 , 3 , 4 ) B_1 = (2, 3, 4) B1=(2,3,4)； 点 2 2 2 的位置为： B 2 = ( 5 , 6 , 7 ) B_2 = (5, 6, 7) B2=(5,6,7)； 点 3 3 3 的位置为： B 3 = ( 8 , 9 , 10 ) B_3 = (8, 9, 10) B3=(8,9,10)。 计算思路为： * 先计算平移：通过求取这些点在两个时刻的质心位置，然后求差来得到平移矩阵 * ## 1. 找寻质心（Centroid） 这一步也比较简单，直接代入样本数据 Centroid A = ( 1 + 4 + 7 , 2 + 5 + 8 , 3 + 6 + 9 ) 3 = ( 1 + 4 + 7 3 , 2 + 5 + 8 3 , 3 + 6 + 9 3 ) = ( 4 , 5 , 6 ) Centroid B = ( 2 + 5 + 8 , 3 + 6 + 9 , 4 + 7 + 10 ) 3 = ( 2 + 5 + 8 3 , 3 + 6 + 9 3 , 4 + 7 + 10 3 ) = ( 5 , 6 , 7 ) \\begin{aligned} \\text{Centroid}_{A} \&= \\frac{(1+4+7, 2+5+8, 3+6+9)}{3} = (\\frac{1 + 4 + 7}{3}, \\frac{2 + 5 + 8}{3}, \\frac{3 + 6 + 9}{3}) = (4, 5, 6) \\\\ \\text{Centroid}_{B} \&= \\frac{(2+5+8, 3+6+9, 4+7+10)}{3} = (\\frac{2 + 5 + 8}{3}, \\frac{3 + 6 + 9}{3}, \\frac{4 + 7 + 10}{3}) = (5, 6, 7) \\end{aligned} CentroidACentroidB=3(1+4+7,2+5+8,3+6+9)=(31+4+7,32+5+8,33+6+9)=(4,5,6)=3(2+5+8,3+6+9,4+7+10)=(32+5+8,33+6+9,34+7+10)=(5,6,7) ## 2. 计算协方差矩阵 根据公式 Cov ( X , Y ) i j = ∑ k n = 3 ( x k i − x ˉ i ) ( y k j − y ˉ i ) n − 1 \\begin{aligned} \\text{Cov} (X,Y)_{ij} \&= \\frac{\\sum_k\^{n=3} (x_{ki} - \\bar{x}_i)(y_{kj} - \\bar{y}_i)}{n-1} \\end{aligned} Cov(X,Y)ij=n−1∑kn=3(xki−xˉi)(ykj−yˉi) 可以得到协方差矩阵 Cov ( X , Y ) = \[ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 \] \\begin{aligned} \\text{Cov} (X,Y) \&= \\left\[\\begin{matrix} 3 \& 3 \& 3 \\\\ 3 \& 3 \& 3 \\\\ 3 \& 3 \& 3 \\\\ \\end{matrix}\\right\] \\end{aligned} Cov(X,Y)= 333333333 关于协方差矩阵的原理和求解方法，可参考文章：[【数理知识】协方差，随机变量的的协方差，随机变量分别是单个数字和向量时的协方差](https://zhaojichao.blog.csdn.net/article/details/132017141)。 ## 3. 奇异值分解 可以直接使用 Matlab 进行奇异值分解，可以得到 U = \[ − 0.5774 0.8165 − 0.0000 − 0.5774 − 0.4082 − 0.7071 − 0.5774 − 0.4082 0.7071 \] , S = \[ 9 0 0 0 0 0 0 0 0 \] , V = \[ − 0.5774 0.8165 0 − 0.5774 − 0.4082 − 0.7071 − 0.5774 − 0.4082 0.7071 \] U = \\left\[\\begin{matrix} -0.5774 \& 0.8165 \& -0.0000 \\\\ -0.5774 \& -0.4082 \& -0.7071 \\\\ -0.5774 \& -0.4082 \& 0.7071 \\\\ \\end{matrix}\\right\], S = \\left\[\\begin{matrix} 9 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \\\\ \\end{matrix}\\right\], V = \\left\[\\begin{matrix} -0.5774 \& 0.8165 \& 0 \\\\ -0.5774 \& -0.4082 \& -0.7071 \\\\ -0.5774 \& -0.4082 \& 0.7071 \\\\ \\end{matrix}\\right\] U= −0.5774−0.5774−0.57740.8165−0.4082−0.4082−0.0000−0.70710.7071 ,S= 900000000 ,V= −0.5774−0.5774−0.57740.8165−0.4082−0.40820−0.70710.7071 R = V U T = \[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 \] R = V U\^\\text{T} = \\left\[\\begin{matrix} 1 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \\\\ \\end{matrix}\\right\] R=VUT= 100010001 至此得到了旋转矩阵。 ## 4. 计算平移矩阵 t = Centroid B − R × Centroid A = ( 1 , 1 , 1 ) \\begin{aligned} t \&= \\text{Centroid}_B - R \\times \\text{Centroid}_A \&= (1, 1, 1) \\end{aligned} t=CentroidB−R×CentroidA=(1,1,1) *** ** * ** *** # Ref 1. [FINDING OPTIMAL ROTATION AND TRANSLATION BETWEEN CORRESPONDING 3D POINTS](https://nghiaho.com/?page_id=671) 2. [从3组对应点中求得最佳的旋转和平移变换](https://blog.csdn.net/renyuanxingxing/article/details/85336238)