前言
"配准"这个词其实应用的场景很多，例如在AR设备上进行定位需要用到的图像配准，需要提前存储图像的特征信息，然后用AR设备的摄像头实时计算图像特征并进行匹配，配准成功后进行跟踪。
本文所说的"配准"，是应用于三维点云或者mesh之中的，在我看过的文献中，"配准"（registration）和"对齐"（alignment）这两个词都用于描述这个意思。
根据物体本身是否发生形变，可以分为刚性配准 和非刚性配准：刚性配准所有顶点共用一个变换矩阵，非刚性配准则不是。
刚性配准
假设两个点云分别用 source : X = { x 1 , . . . , x m } \text{source}:\mathbf{X}=\{\mathbf{x}_1,...,\mathbf{x}_m\} source:X={x1,...,xm} 和 target : Y = { y 1 , . . . , y n } \text{target}:\mathbf{Y}=\{\mathbf{y}1,...,\mathbf{y}n\} target:Y={y1,...,yn} 表示，刚性配准的目标就是要找到最优的刚性变换 T T T，使得 T ( X ) T(\mathbf{X}) T(X) 和 Y \mathbf{Y} Y 尽可能重合。用最优化的形式表述为：
min R , t 1 m ∑ i = 1 m ∣ ∣ R x i + t − y ( x i ) ∣ ∣ 2 \min{\mathbf{R},\mathbf{t}}{\frac{1}{m}\sum{i=1}^m || \mathbf{R}\mathbf{x}_i+\mathbf{t}-\mathbf{y}(\mathbf{x}_i) ||^2} R,tminm1i=1∑m∣∣Rxi+t−y(xi)∣∣2
其中 y ( x i ) \mathbf{y}(\mathbf{x}_i) y(xi) 为target中对应的顶点。
求解这个最优化问题最常用的方法就是迭代最近点算法（Iterative Closest Point, ICP），按照最优化形式分解为两个步骤：
- 最近点查找：对于 X \mathbf{X} X 中的每个顶点 x \mathbf{x} x，查找 Y \mathbf{Y} Y 中最近的顶点 y ( x ) \mathbf{y}(\mathbf{x}) y(x) 作为对应点；
- SVD求解最优变换：首先各自减去质心 x ^ = x − x ‾ \mathbf{\hat{x}}=\mathbf{x}-\mathbf{\overline{x}} x^=x−x， y ^ = y ( x ) − y ( x ) ‾ \mathbf{\hat{y}}=\mathbf{y}(\mathbf{x})-\overline{\mathbf{y}(\mathbf{x})} y^=y(x)−y(x) ，令 W = ∑ x ^ i y ^ i T \mathbf{W}=\sum{\mathbf{\hat{x}_i}\mathbf{\hat{y}_i}^T} W=∑x^iy^iT ，然后奇异值分解 W = U D V T \mathbf{W}=\mathbf{U}\mathbf{D}\mathbf{V}^T W=UDVT，则最优变换为 R ∗ = V U T \mathbf{R}^*=\mathbf{V}\mathbf{U}^T R∗=VUT， t ∗ = y ‾ − R ∗ x ‾ \mathbf{t}^*=\mathbf{\overline{y}}-\mathbf{R}^*\mathbf{\overline{x}} t∗=y−R∗x 。
最近点查找往往需要耗费很多时间，常见的可以用kd-tree进行加速；在确定顶点对应关系后，最优变换就存在闭合形式的解。ICP算法就是首先确定一个初始解 R 0 , t 0 \mathbf{R}_0,\mathbf{t}_0 R0,t0，然后不断地迭代进行上面两个步骤，直至满足收敛条件。初始解例如可以人为在两个点云上标注4对对应点，然后计算得到，收敛条件可以是变换矩阵的增量小于某个阈值等等。
为了优化ICP算法的效果和速度，还有很多变种，例如：
- 采样点集进行匹配；
- 点对进行加权；
- 拒绝某些特殊点对，例如距离太远的；
- 点到点的距离，变为点到切平面的距离；
实际上从更根本的角度来看，刚性配准就是最小化一个度量函数
min T E ( T ( X ) , Y ) \min_{T}{E(T(\mathbf{X}),\mathbf{Y})} TminE(T(X),Y)
按照我的经验，度量函数 E E E 设置为点云的 chamfer distance，直接进行迭代优化（例如在Pytorch框架下反向传播优化）也能取得不错的配准效果。
非刚性配准
相对于刚性配准，非刚性配准的点云或者mesh是可以产生形变的。变形模板（template, source）用 X = { x 1 , . . . , x m } \mathbf{X}=\{\mathbf{x}_1,...,\mathbf{x}_m\} X={x1,...,xm} 表示，配准目标（target）用 Y = { y 1 , . . . , y n } \mathbf{Y}=\{\mathbf{y}_1,...,\mathbf{y}_n\} Y={y1,...,yn} 表示，变形后的曲面用 X ^ = { x ^ 1 , . . . , x ^ m } \hat{\mathbf{X}}=\{\hat{\mathbf{x}}_1,...,\hat{\mathbf{x}}m\} X^={x^1,...,x^m} 表示。如果我们用 f Θ ( X ) f{\Theta}(\mathbf{X}) fΘ(X) 来表示对模板的变形，那么 Θ \Theta Θ 就是我们待优化的参数。一般来说参数量越大，就说明模板变形的自由度越大（一般也配准得越准确），但同时优化难度和开销也越高。
基于"优化"的非刚性配准可以表示如下：
Minimize Θ E ( f Θ ( X ) , Y ) \mathop{\text{Minimize}}\limits_{\Theta} \quad E(f_{\Theta}(\mathbf{X}),\mathbf{Y}) ΘMinimizeE(fΘ(X),Y)
其中 E E E 表示评估两个曲面相似程度的度量函数。
在非刚性配准中，模板会发生形变，因此我们不仅希望变形后模板和目标尽可能对齐，还希望变形后的模板保持一定的形态特点（举个极端例子，模板缩成一个顶点，可能从"对齐"的度量来看是一个最优解），因此往往度量函数会包括正则化的度量。即在非刚性配准中度量函数一般为
E = E align + α E reg E=E_{\text{align}}+\alpha E_{\text{reg}} E=Ealign+αEreg
其中 E align E_{\text{align}} Ealign 是对常见的非刚性配准中"形变场"（deformation field）的度量，常见的形变场的表示方式有：
- 直接以变形后的顶点坐标 X ^ \hat{\mathbf{X}} X^ 作为优化参数；
- 每个顶点单独做仿射变换；
- 采样少部分顶点做仿射变换，其它顶点做采样顶点的加权变换
- ......
而 E reg E_{\text{reg}} Ereg 则可以有很多，例如光滑度度量、位置约束、局部形状约束、参数正则化等等。
更多关于非刚性配准的总结，可以参考《A Survey of Non-Rigid 3D Registration》