多维随机变量及分布
X X X为随机变量， ∀ x ∈ R , P { X ≤ x } = F ( x ) \forall x\in R,P\{X\le x\}=F(x) ∀x∈R,P{X≤x}=F(x)
设 F ( x ) F(x) F(x)为 X X X的分布函数，则
（1） 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 0\le F(x)\le1 0≤F(x)≤1
（2） F ( x ) F(x) F(x)不减
（3） F ( x ) F(x) F(x)右连续
（4） F ( − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ ) = 1 F(-\infin)=0,F(+\infin)=1 F(−∞)=0,F(+∞)=1
二维随机变量及分布
1.基本概念
二维随机变量， E E E为随机实验， Ω \Omega Ω为样本空间，若 ∀ ω ∈ Ω \forall\omega\in\Omega ∀ω∈Ω， ∃ \exists ∃唯一一对实数 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)与 ω \omega ω对应，称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维随机变量
2.分布函数
（1） ∀ x , y ∈ R , P { X ≤ x , Y ≤ y } = F ( x , y ) \forall x,y\in R,P\{X\le x,Y\le y\}=F(x,y) ∀x,y∈R,P{X≤x,Y≤y}=F(x,y)
（2） ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维随机变量
P { X ≤ x } = F X ( x ) P\{X\le x\}=F_X(x) P{X≤x}=FX(x), X X X的边缘分布函数
P { Y ≤ y } = F Y ( y ) P\{Y\le y\}=F_Y(y) P{Y≤y}=FY(y), Y Y Y的边缘分布函数
（3） ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维随机变量
设 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)为二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的联合分布函数，则
（1） 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 0\le F(x,y)\le1 0≤F(x,y)≤1
（2） F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)关于 x , y x,y x,y不减
（3） F ( x ) F(x) F(x)关于 x , y x,y x,y右连续
（4） F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 , F ( − ∞ , + ∞ ) = 0 , F ( + ∞ , − ∞ ) = 0 F(-\infin,-\infin)=0,F(-\infin,+\infin)=0,F(+\infin,-\infin)=0 F(−∞,−∞)=0,F(−∞,+∞)=0,F(+∞,−∞)=0
F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(+\infin,+\infin)=1 F(+∞,+∞)=1
二维离散型变量及分布
1.二维离散型变量
( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维随机变量，若 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)可能取值为有限个或可列个，称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维离散型变量
2.二维离散型变量联合分布律与边缘分布律
( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维联合分布函数为 P { X ≤ x , Y ≤ y } = F ( x , y ) P\{X\le x,Y\le y\}=F(x,y) P{X≤x,Y≤y}=F(x,y)
若 ∃ f ( x , y ) ≥ 0 \exists f(x,y)\ge 0 ∃f(x,y)≥0使得 ∫ − ∞ x d x ∫ − ∞ y f ( x , y ) d y = F ( x , y ) \int_{-\infin}^{x}dx\int_{-\infin}^yf(x,y)dy=F(x,y) ∫−∞xdx∫−∞yf(x,y)dy=F(x,y)
称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维连续型变量， f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)称为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的联合密度函数（ f ( x , y ) ≥ 0 且 ∫ − ∞ ∞ d x ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y = 1 f(x,y)\ge0且\int_{-\infin}^{\infin}dx\int_{-\infin}^{\infin}f(x,y)dy=1 f(x,y)≥0且∫−∞∞dx∫−∞∞f(x,y)dy=1）
∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y = f X ( x ) \int_{-\infin}^{+\infin}f(x,y)dy=f_X(x) ∫−∞+∞f(x,y)dy=fX(x)， X X X的边缘密度函数
∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x = f Y ( y ) \int_{-\infin}^{+\infin}f(x,y)dx=f_Y(y) ∫−∞+∞f(x,y)dx=fY(y)， Y Y Y的边缘密度函数
二维连续型变量均匀分布
定义 D D D为 x o y xoy xoy面内有限区域，其面积为 A A A。若二维连续型随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的联合密度为
f ( x , y ) = { 1 A , ( x , y ) ∈ D 0 , ( x , y ) ∉ D f(x,y)=\left\{ \begin{array}{l} \frac 1 A,(x,y)\in D \\0,(x,y)\notin D \end{array} \right. f(x,y)={A1,(x,y)∈D0,(x,y)∈/D
称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)在 D D D上服从均匀分布，记 ( X , Y ) ∼ U ( D ) (X,Y)\sim U(D) (X,Y)∼U(D)
二维正太分布
设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维连续型随机变量，若 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的联合密度函数为
f ( x , y ) = 1 2 π σ 1 σ 2 1 − ρ 2 e 1 − 2 ( 1 − ρ 2 ) ( x − μ 1 ) 2 σ 1 2 − 2 ρ x − μ 1 σ 1 y − μ 2 σ 2 + ( y − μ 2 ) 2 σ 2 2 f(x,y)=\frac 1 {2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}e^{\frac 1 {-2(1-\rho^2)}\\frac{(x-\\mu_1)\^2}{\\sigma_1\^2}-2\\rho\\frac{x-\\mu_1}{\\sigma_1}\\frac{y-\\mu_2}{\\sigma_2}+\\frac{(y-\\mu_2)\^2}{\\sigma_2\^2}} f(x,y)=2πσ1σ21−ρ2 1e−2(1−ρ2)1σ12(x−μ1)2−2ρσ1x−μ1σ2y−μ2+σ22(y−μ2)2
称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)服从以 μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 , ρ \mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho μ1,μ2,σ12,σ22,ρ为参数的二维正太分布，记 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 , ρ ) (X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho) (X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)