贝塞尔曲线的来源
贝塞尔曲线最早是由贝塞尔在1962年提出来的，目的是获取汽车的外形。贝塞尔曲线看上去非常复杂，其实想法非常简单，（如下图1所示）就是先用折线先绘制出大致的轮廓，然后用曲线来逼近。
图1
这个方式是不是有点熟悉，刚看到的时候，我就想到了计算圆的面积时，我们会使用多边形来逼近圆的曲线（如图2所示）；贝塞尔曲线刚好相反，它是使用曲线来逼近多边形，刚好反着来了😂。
图2
构造贝塞尔曲线
思路虽然简单，但是如何把这个曲线画出来，或者说如何用一个函数来表示这条曲线就很困难了。不过这个不需要我们关心，有大佬已经解决了。我们直接来看看贝塞尔曲线的定义式，如下图3：
图3
先别急着划走，这个公式不用记 ，因为它太复杂而且计算量大，因此在工程开发中我们不会用它。一般在工程中，我们使用德卡斯特里奥算法（de Casteljau) 来构造贝塞尔曲线。听起来更复杂了，别急让我们举个🌰。下面以2次贝塞尔曲线为例。
图4
图5
看图4，德卡斯特里奥算法（de Casteljau) 的意义就是满足 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P 0 Q 0 P 0 P 1 = P 1 Q 1 P 1 P 2 = Q 0 B Q 0 Q 1 = t \frac{P_0Q_0}{P_0P_1} = \frac{P_1Q_1}{P_1P_2} = \frac{Q_0B}{Q_0Q_1} = t </math>P0P1P0Q0=P1P2P1Q1=Q0Q1Q0B=t 的情况下，随着 t 从 0 到 1 逐渐变大，B点经过的点组成的曲线就是我们需要的贝塞尔曲线了。图5是我们常见的动图，之前看的时候一直很懵逼，现在了解了贝塞尔曲线是如何画出来的，是不是清楚多了。
更高阶的贝塞尔曲线绘制方式和上面的一样，只是多了几条边，绘制的动图如下：
3次贝塞尔曲线
4次贝塞尔曲线
5次贝塞尔曲线
贝塞尔曲线的函数表示
看到这里，我们已经对贝塞尔曲线有了一个大概的了解。但是还是一个关键的问题，我们怎么画出贝塞尔曲线呢？或者说有什么函数可以让我们画出这个曲线吗？这个其实更简单，我们高中就学过了。还是以二次贝塞尔曲线为例，它的参数方程如下，其中 P0、P1、P2代表控制点。
我们假设三个控制点的坐标是 P0 (-1, 0)、 P1 (0, 1) 、P2 (1, 0)，把值带入上面的参数方程，就可以得到如下结果：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> ( x y ) = ( 1 − t ) 2 ( − 1 0 ) + 2 t ( 1 − t ) ( 0 1 ) + t 2 ( 1 0 ) \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right) = (1 - t)^{2} \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right) + 2t(1 - t) \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right) + t^{2} \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right) </math>(xy)=(1−t)2(−10)+2t(1−t)(01)+t2(10)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> ( x y ) = ( − ( 1 − 2 t ) 2 + t 2 2 t ( 1 − t ) ) \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-(1 - 2t)^{2} + t ^ 2\\ 2t(1 - t)\end{array}\right) </math>(xy)=(−(1−2t)2+t22t(1−t))
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> { x = 2 t − 1 y = − 2 t 2 + 2 t \begin{cases} x = 2t - 1 \\ y = -2t^2 + 2t\end{cases} </math>{x=2t−1y=−2t2+2t
最后化解可得到我们熟悉的 y = f(x) 函数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ： y = − 1 2 x 2 + 1 2 ：y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} </math>：y=−21x2+21 效果图如下图。可以看出二次贝塞尔曲线实际上就是我们高中学的抛物线。唯一不同的是，我们高中求的抛物线，会经过 P0、P1、P2三个点，而贝塞尔曲线只会经过 P0、P1两个端点。
类似的：
一次贝塞尔曲线就是一次函数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ： y = a 0 x + a 1 ：y = a_0x + a_1 </math>：y=a0x+a1 ；
三次贝塞尔曲线就是三次函数： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> y = a 0 x 3 + a 1 x 2 + a 2 x + a 3 y = a_0x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3 </math>y=a0x3+a1x2+a2x+a3
四次贝塞尔曲线就是四次函数： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> y = a 0 x 4 + a 1 x 3 + a 2 x 2 + a 3 x + a 4 y = a_0x^4 + a_1x^3 + a_2x^2 + a_3x + a_4 </math>y=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4
n次贝塞尔曲线就是n次函数： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> y = a 0 x n + a 1 x n − 1 + . . . + a n y = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n} </math>y=a0xn+a1xn−1+...+an
总结
贝塞尔曲线实际上并不复杂，我们可以简单的把n次贝塞尔曲线看成对应的n次函数的曲线。因为贝塞尔曲线的这个特点，也造成了贝塞尔曲线的最大缺陷------------不能局部修改，即改变其中一个参数时会改变整条曲线。后面为了解决贝塞尔曲线的这个问题，提出了B样条曲线，下篇文章我们就介绍B样条曲线。
最后这篇文章为了方便读者的理解，省略了很多贝塞尔曲线特性的介绍，如果对贝塞尔曲线感兴趣，可以在B站上看看它的完整课程。