三角函数的和角公式
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ正弦和公式
cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ余弦和公式
距离公式及余弦定理证明余弦差公式
O是原心，A和B是以O为圆心，1为半径的点。
∣ A B ∣ 2 = ( cos α − cos β ) 2 + ( sin α − sin β ) 2 |AB|^2=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2 ∣AB∣2=(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2
= cos 2 α − 2 c o s α cos β + cos 2 β + sin 2 α − 2 sin α sin β + sin 2 β =\cos^2\alpha -2cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\beta =cos2α−2cosαcosβ+cos2β+sin2α−2sinαsinβ+sin2β
2 − 2 cos α cos β − 2 sin α sin β 2-2\cos\alpha\cos\beta-2\sin\alpha\sin\beta 2−2cosαcosβ−2sinαsinβ 因为 s i n 2 α + c o s 2 α = = 1 sin^2\alpha+cos^2\alpha==1 sin2α+cos2α==1
根据余弦定理：
∣ A B ∣ 2 = ∣ O A ∣ 2 + ∣ O B ∣ 2 − 2 ∣ O A ∣ ∣ O A ∣ cos ( α − β ) |AB|^2=|OA|^2+|OB|^2-2|OA||OA|\cos(\alpha-\beta) ∣AB∣2=∣OA∣2+∣OB∣2−2∣OA∣∣OA∣cos(α−β)
= 1 + 1 − 2 cos ( α − β ) =1+1-2\cos(\alpha-\beta) =1+1−2cos(α−β)
联立两式得 cos ( α − β ) = c o s α cos β + sin α sin β \cos(\alpha-\beta)=cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ 余弦差公式
余弦和公式
cos ( α − ( − β ) ) = c o s α cos ( − β ) + sin α sin ( − β ) = cos α cos β − sin α sin β \cos(\alpha-(-\beta))=cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta cos(α−(−β))=cosαcos(−β)+sinαsin(−β)=cosαcosβ−sinαsinβ余弦和公式
正弦和公式
sin ( α + β ) = cos ( ( π ÷ 2 − α ) − β ) = sin α cos β + cos α sin α \sin(\alpha+\beta)=\cos((\pi\div 2-\alpha)-\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\alpha sin(α+β)=cos((π÷2−α)−β)=sinαcosβ+cosαsinα
二维矢量逆时针旋转
v ⃗ = ( r cos α , r sin α ) \vec v=(r\cos\alpha,r\sin\alpha) v =(rcosα,rsinα),旋转 β \beta β后，变成：
x'= r cos ( α + β ) = r cos α cos β − r sin α sin β r\cos(\alpha+\beta) =r\cos\alpha\cos\beta-r\sin\alpha\sin\beta rcos(α+β)=rcosαcosβ−rsinαsinβ 余弦和定理
y'= r sin ( α + β ) = r sin α cos β + r cos α sin β r\sin(\alpha+\beta)=r\sin\alpha\cos\beta+r\cos\alpha\sin\beta rsin(α+β)=rsinαcosβ+rcosαsinβ 正弦定理
令x= r cos α r\cos\alpha rcosα,y=r sin α \sin\alpha sinα
x'= x cos β − y sin β x\cos\beta-y\sin\beta xcosβ−ysinβ
y'= y c o s β + x s i n β ycos\beta+xsin\beta ycosβ+xsinβ
x ′ y ′ \] = \[ cos θ − sin θ sin θ cos θ \] \[ x y \] \\begin{bmatrix} x' \\\\ y' \\end{bmatrix} =\\begin{bmatrix} \\cos\\theta \& -\\sin\\theta \\\\ \\sin\\theta \& \\cos\\theta \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x \\\\ y \\end{bmatrix} \[x′y′\]=\[cosθsinθ−sinθcosθ\]\[xy
旋转 9 0 ∘ 90^\circ 90∘ (-y,x)
旋转 − 9 0 ∘ -90^\circ −90∘(y,-x)
三维旋转
绕x轴旋转
R x ( θ ) = 1 0 0 0 cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ \mathbf{R}_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} Rx(θ)= 1000cosθsinθ0−sinθcosθ
x ′ y ′ z ′ = R x ( θ ) x y z = x y cos θ − z sin θ y sin θ + z cos θ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \mathbf{R}_x(\theta) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x \\ y \cos\theta - z \sin\theta \\ y \sin\theta + z \cos\theta \end{bmatrix} x′y′z′ =Rx(θ) xyz = xycosθ−zsinθysinθ+zcosθ
绕y轴旋转
R y ( θ ) = cos θ 0 sin θ 0 1 0 − sin θ 0 cos θ \mathbf{R}_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix} Ry(θ)= cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ
x ′ y ′ z ′ = R y ( θ ) x y z = x cos θ + z sin θ y − x sin θ + z cos θ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} =\mathbf{R}_y(\theta)\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x \cos\theta + z \sin\theta \\ y \\ -x \sin\theta + z \cos\theta \end{bmatrix} x′y′z′ =Ry(θ) xyz = xcosθ+zsinθy−xsinθ+zcosθ
绕z轴旋转
R z ( θ ) = cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 \mathbf{R}_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Rz(θ)= cosθsinθ0−sinθcosθ0001
x ′ y ′ z ′ = R z ( θ ) x y z = x cos θ − y sin θ x sin θ + y cos θ z \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} =\mathbf{R}_z(\theta) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x \cos\theta - y \sin\theta \\ x \sin\theta + y \cos\theta \\ z \end{bmatrix} x′y′z′ =Rz(θ) xyz = xcosθ−ysinθxsinθ+ycosθz
矩阵形式的罗德里格斯公式
R = u x 2 ( 1 − c ) + c u x u y ( 1 − c ) − u z s u x u z ( 1 − c ) + u y s u x u y ( 1 − c ) + u z s u y 2 ( 1 − c ) + c u y u z ( 1 − c ) − u x s u x u z ( 1 − c ) − u y s u y u z ( 1 − c ) + u x s u z 2 ( 1 − c ) + c \boxed{ \mathbf{R} = \begin{bmatrix} u_x^2(1-c)+c & u_x u_y(1-c)-u_z s & u_x u_z(1-c)+u_y s \\ u_x u_y(1-c)+u_z s & u_y^2(1-c)+c & u_y u_z(1-c)-u_x s \\ u_x u_z(1-c)-u_y s & u_y u_z(1-c)+u_x s & u_z^2(1-c)+c \end{bmatrix} } R= ux2(1−c)+cuxuy(1−c)+uzsuxuz(1−c)−uysuxuy(1−c)−uzsuy2(1−c)+cuyuz(1−c)+uxsuxuz(1−c)+uysuyuz(1−c)−uxsuz2(1−c)+c
其中
c=cosθ，s=sinθ。
扩展阅读
| 我想对大家说的话 |
|---|
| 工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。 |
| 学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作 |
| 有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适） 专注 |
| 员工说：技术至上，老板不信；投资人的代表说：技术至上，老板会信。 |
| 闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。 |
| 子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。 |
| 如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛 |
| 失败+反思=成功 成功+反思=成功 |
视频课程
先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法 用**C++**实现。
