概率论与数理统计：第二、三章:一维~n维随机变量及其分布

文章目录

• [Ch2. 一维随机变量及其分布](#Ch2. 一维随机变量及其分布)
• • 1.一维随机变量
  • • 1.随机变量
    • [2.分布函数 F ( x ) F(x) F(x)](#2.分布函数 F ( x ) F(x) F(x))
    • • (1)定义
      • (2)分布函数的性质 (充要条件)
      • (3)分布函数的应用------求概率
      • • 3.最大最小值函数
  • 2.一维离散型随机变量及其概率分布(分布律)
  • 3.一维连续型随机变量及其概率分布(概率密度)
  • 4.一般类型(混合型)随机变量及其分布
  • 5.常见的随机变量分布类型：八大分布
  • • 1.离散型 (5种)
    • • ①0-1分布
      • [②二项分布 X~B(n,p)](#②二项分布 X~B(n,p))
      • ③泊松分布
      • ④几何分布
      • ⑤超几何分布
    • [2. 连续型 (3种)](#2. 连续型 (3种))
    • • ①均匀分布
      • ②指数分布
      • ③正态分布
      • • 独立可加性 (XY独立且同类型分布)
  • 6.一维随机变量函数的分布
• [Ch3. 多维随机变量及其分布](#Ch3. 多维随机变量及其分布)
• • 1.二维(n维)随机变量
  • • 1.多维随机变量
    • 2.多维随机变量的分布函数
    • • (1)联合分布函数
      • (2)边缘分布函数
  • 2.二维离散型随机变量及其分布
  • • (1)联合分布律
    • (2)边缘分布律
    • (3)条件分布律
  • 3.二维连续型随机变量及其分布
  • • [(1)二维随机变量的概率密度 f(x,y)：联合概率密度](#(1)二维随机变量的概率密度 f(x,y)：联合概率密度)
    • • (1)定义
      • (2)性质
    • (2)边缘分布
    • • 1.边缘概率分布
      • 2.边缘概率密度
    • (3)条件分布
    • • 1.条件概率密度
      • 2.条件分布函数
    • (4)二维均匀分布
    • (5)二维正态分布
  • [4.独立性 【随机变量的独立性】](#4.独立性 【随机变量的独立性】)
  • • (1)定义 (相互独立的充要条件)
    • (2)独立的性质
  • [5.二维随机变量 函数的分布](#5.二维随机变量 函数的分布)
  • • (1)(离散型,离散型)→离散型
    • (2)(连续型,连续型)→连续型
    • • ①分布函数法
      • ②卷积公式
    • (3)(离散型,连续型)→连续型
    • • ①离散+连续：全概率公式

Ch2. 一维随机变量及其分布

1.一维随机变量

1.随机变量

①X=X(ω)

②一般用大写字母表示

2.分布函数 F ( x ) F(x) F(x)

(1)定义

1.定义：

称函数 F ( x ) = P { X ≤ x } ( − ∞ < x < + ∞ ) F(x)=P\{ X≤x\} \ (-∞<x<+∞) F(x)=P{X≤x} (−∞<x<+∞) 为随机变量X的分布函数，或称 X服从F(x)分布，记为X~F(x)

(2)分布函数的性质 (充要条件)

① 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 0≤F(x)≤1 0≤F(x)≤1：分布函数是事件的概率，满足有界性

② F ( x ) 单调不减 F(x)单调不减 F(x)单调不减：x从-∞取到+∞的过程中，F(x)单调不减，从0逐渐变大到1

③ F ( x ) 右连续 F(x)右连续 F(x)右连续：F(a+0)=F(a)

④ lim ⁡ x → − ∞ F ( x ) = F ( − ∞ ) = 0 ， lim ⁡ x → + ∞ F ( x ) = F ( + ∞ ) = 1 \lim\limits_{x→-∞}F(x)=F(-∞)=0，\lim\limits_{x→+∞}F(x)=F(+∞)=1 x→−∞limF(x)=F(−∞)=0，x→+∞limF(x)=F(+∞)=1

若函数F(x)满足性质②-④，则F(x)必为某个随机变量的分布函数。

⑤ f ( x ) = F ′ ( x ) f(x)=F'(x) f(x)=F′(x)

(3)分布函数的应用------求概率

1.一元分布函数：
P { X ≤ a } = F ( a ) P\{X≤a\}=F(a) P{X≤a}=F(a)

P { X < a } = F ( a − ) P\{X<a\}=F(a^-) P{X<a}=F(a−)

P { X = a } = P { X ≤ a } − P { X ＜ a } = F ( a ) − F ( a − ) P\{X=a\}=P\{X≤a\}-P\{X＜a\}=F(a)-F(a^-) P{X=a}=P{X≤a}−P{X＜a}=F(a)−F(a−)

【一点处的概率，用于离散型、混合型随机变量】

若 P { X = a } = 0 ，即 F ( a ) − F ( a − ) P\{X=a\}=0，即F(a)-F(a^-) P{X=a}=0，即F(a)−F(a−)，即要求左连续。

P { X > a } = 1 − P { X ≤ a } = 1 − F ( a ) P\{X>a\}=1-P\{X≤a\}=1-F(a) P{X>a}=1−P{X≤a}=1−F(a)

因为分布函数统一用F字母，所以不同分布函数是用F的不同角标来区分，如X和Y不同分布，则分布函数为 F X ( z ) 、 F Y ( z F_X(z)、F_Y(z FX(z)、FY(z)

2.二元分布函数：
F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { Z ( X , Y ) ≤ z } F_Z(z) = P\{Z≤z\}=P\{Z(X,Y)≤z\} FZ(z)=P{Z≤z}=P{Z(X,Y)≤z}

3.最大最小值函数

① P { m a x { X , Y } ≤ a } = P { X ≤ a ， Y ≤ a } P\{max\{X,Y\}≤a\}=P\{X≤a，Y≤a\} P{max{X,Y}≤a}=P{X≤a，Y≤a}

② P { m i n { X , Y } ≥ a } = P { X ≥ a ， Y ≥ a } P\{min\{X,Y\}≥a\}=P\{X≥a，Y≥a\} P{min{X,Y}≥a}=P{X≥a，Y≥a}

P { a < m a x { X , Y } ≤ b } = P { a < U ≤ b } = P { U ≤ b } − P { U ≤ a } = P { X ≤ b ， Y ≤ b } − P { X ≤ a ， Y ≤ a } P\{a<max\{X,Y\}≤b\}=P\{a<U≤b\}=P\{U≤b\}-P\{U≤a\}=P\{X≤b，Y≤b\}-P\{X≤a，Y≤a\} P{a<max{X,Y}≤b}=P{a<U≤b}=P{U≤b}−P{U≤a}=P{X≤b，Y≤b}−P{X≤a，Y≤a}

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例题1：08年7.   Z=max{X,Y}与Z=min{X,Y}的分布函数

分析：

F 2 ( x ) ： Z = m a x { X , Y } F²(x)：Z=max\{X,Y\} F2(x)：Z=max{X,Y}，独立，同分布
F ( x ) F ( y ) ： Z = m a x { X , Y } F(x)F(y)：Z=max\{X,Y\} F(x)F(y)：Z=max{X,Y}，独立，不同分布
1 − [ 1 − F ( x ) ] 2 ： Z = m i n { X , Y } 1-[1-F(x)]²：Z=min\{X,Y\} 1−[1−F(x)]2：Z=min{X,Y}，独立，同分布
1 − [ 1 − F ( x ) ] [ 1 − F ( y ) ] ： Z = m i n { X , Y } 1-[1-F(x)][1-F(y)]：Z=min\{X,Y\} 1−[1−F(x)][1−F(y)]：Z=min{X,Y}，独立，不同分布

答案：A

例题1变式------将Z改为 Z = m i n { X , Y } Z=min\{X,Y\} Z=min{X,Y}，再求Z的分布函数

分析：主要是看①max还是min，②是否同分布。就看这两个。最大值是乘积，最小值是 1-[ ]，同分布无角标，不同分布有角标

①分布函数的定义：分布函数F与概率P的关系

②最大值最小值的定义

③独立：P的乘积可拆为乘积的P，同理F可拆

④同分布：角标可以抹去了，合并。

答案：

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4.习题

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习题1：10年7.

分析： P X = 1 = F ( 1 ) − F ( 1 − 0 ) = 1 − e − 1 − 1 2 = 1 2 − e − 1 P{X=1}=F(1)-F(1-0)=1-e^{-1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}-e^{-1} PX=1=F(1)−F(1−0)=1−e−1−21=21−e−1

答案：C

习题2：19年14.   分类讨论、数学期望

分析：

答案： 2 3 \dfrac{2}{3} 32

习题3：09年8.

分析：

答案：B

习题4：23李林四(一)9.

分析：

答案：D

习题5：16年22(3)

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常见的两类随机变量------离散型随机变量、连续型随机变量

2.一维离散型随机变量及其概率分布(分布律)

1.离散型随机变量 ：如果随机变量X只能取有限个或可列个值 x 1 , x 2 , . . . x_1,x_2,... x1,x2,...，则称X为离散型随机变量

2.分布律 ：

(1)分布律的定义

称 P { X = x i } = p i ， i = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i\}=p_i，i=1,2,... P{X=xi}=pi，i=1,2,...为离散型随机变量X的分布律 或 X的概率分布，记为 X ∼ p i X \sim p_i X∼pi。其函数图形为"步步高的阶梯函数"。

离散型随机变量的概率分布是分布律。可用矩阵或表格表示。

(2)分布律的性质(充要条件)

① p k ≥ 0 p_k≥0 pk≥0

②规范性(归一性)： ∑ i = 1 + ∞ p i = 1 \sum\limits_{i=1}^{+∞}p_i=1 i=1∑+∞pi=1

3.特点

(1)分布函数 F ( x ) = ∑ x i ≤ x p i F(x)=\sum\limits_{x_i≤x}p_i F(x)=xi≤x∑pi，即F(x) = x扫过的离散点的概率之和。F(x)是"步步高的阶梯函数"。

(2)归一性： ∑ i = 1 n p i = 1 \sum\limits_{i=1}^np_i=1 i=1∑npi=1

(3)概率：

①一点处概率： P { X = a } = F ( a ) − F ( a − 0 ) P\{X=a\}=F(a)-F(a-0) P{X=a}=F(a)−F(a−0)

②区间上概率： P { X ∈ B } = ∑ x i ∈ B p i P\{X∈B\}=\sum\limits_{x_i∈B}p_i P{X∈B}=xi∈B∑pi

4.离散型随机变量的概率分布（分布律）

①先求该离散型随机变量的取值范围，一一列举：

Z=XY的取值范围：-1，0，1

②求每一个取值的概率：

P{XY=-1}=...

P{XY=0}=...

P{XY=1}=...

③列分布律：

Z=XY	-1	0	1
P

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例题1：23李林四(一)16.   数学期望+分布律

分析：

答案： 3 − 3 2 \dfrac{3-\sqrt{3}}{2} 23−3

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3.一维连续型随机变量及其概率分布(概率密度)

1.定义：

若随机变量X的分布函数可表示为 F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t ( − ∞ < x < + ∞ ) F(x)=\int_{-∞}^xf(t)dt \ (-∞<x<+∞) F(x)=∫−∞xf(t)dt (−∞<x<+∞)，

其中f(x)是非负可积函数，则称X为连续型随机变量，称f(x)为连续型随机变量X的概率密度函数 ，简称概率密度，记为 X~f(x)

2.概率密度f(x)的性质、充要条件：

①非负性： f ( x ) ≥ 0 f(x)≥0 f(x)≥0

②归一性： ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-∞}^{+∞}f(x){\rm d}x=1 ∫−∞+∞f(x)dx=1   【常用于求解题目中的未知数a、b，作为隐藏条件】

③ P { a < X ≤ b } = F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( x ) d x P\{a<X≤b\} = F(b) - F(a)= \int_{a}^{b}f(x){\rm d}x P{a<X≤b}=F(b)−F(a)=∫abf(x)dx

④在f(x)的连续点x处， F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x) = f(x) F′(x)=f(x)

其中①② 非负性和归一性，是f(x)成为概率密度的充要条件
已知f(x)为概率密度，则 f ( a x + b ) 为概率密度 ⇔ a = ± 1 f(ax+b)为概率密度\Leftrightarrow a=±1 f(ax+b)为概率密度⇔a=±1

【若|a|≠1，或f(x²) 或f²(x)均不是概率密度】

F 1 ( x ) F 2 ( x ) F_1(x)F_2(x) F1(x)F2(x)为 m a x { X 1 , X 2 } max\{X₁,X₂\} max{X1,X2}的分布函数， f 1 ( x ) F 2 ( x ) + F 1 ( x ) f 2 ( x ) f_1(x)F_2(x)+F_1(x)f_2(x) f1(x)F2(x)+F1(x)f2(x)为它的概率密度

3.求解f(x)

①F(x)求导：先求F(x)，则 f ( x ) = F ′ ( x ) f(x)=F'(x) f(x)=F′(x)

②由二维概率密度求边缘概率密度：已知f(x,y)表达式，则 f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f_X(x)=\int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dy fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy

4.特点

(1)分布函数 F ( x ) = P { X ≤ x } = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x)=P\{X≤x\}=\int_{-∞}^xf(t)dt F(x)=P{X≤x}=∫−∞xf(t)dt，记为 X ∼ f ( x ) X\sim f(x) X∼f(x)。F(x)是连续函数。

(2)f(x)非负、可积，且有归一性： ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-∞}^{+∞}f(x){\rm d}x=1 ∫−∞+∞f(x)dx=1

(3)概率：

①一点处概率： P { X = a } = 0 P\{X=a\}=0 P{X=a}=0 。(即＜、≤的概率相等)

②区间上概率： P { X ∈ B } = ∫ B f ( x ) d x P\{X∈B\}=\int_Bf(x){\rm d}x P{X∈B}=∫Bf(x)dx

5.概率P、分布函数F、概率密度f的关系

① P { X ≤ a } = F ( a ) = ∫ − ∞ a f ( x ) d x P\{X≤a\}=F(a)=\int_{-∞}^af(x)dx P{X≤a}=F(a)=∫−∞af(x)dx
P { X > a } P\{X>a\} P{X>a} = 1 − P { X ≤ a } = 1 − F ( a ) =1-P\{X≤a\}=1-F(a) =1−P{X≤a}=1−F(a) = ∫ a + ∞ f ( x ) d x =\int_a^{+∞}f(x)dx =∫a+∞f(x)dx
P P P{ a < X ≤ b a<X≤b a<X≤b } = F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( x ) d x = F(b)-F(a) =\int_a^bf(x)dx =F(b)−F(a)=∫abf(x)dx

② F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x)=\int_{-∞}^xf(t)dt F(x)=∫−∞xf(t)dt

f ( x ) = F ′ ( x ) f(x)=F'(x) f(x)=F′(x)

f可以唯一确定F，但F不能推出f。如U(a,b)和U[a,b]，f的x一个开区间，一个闭区间，都能得到同样的F(x)

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例题1：02年10.

分析：

A. ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ ( f 1 ( x ) + f 2 ( x ) ) d x = ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( x ) d x + ∫ − ∞ + ∞ f 2 ( x ) d x = 2 ≠ 1 ∴ f 1 ( x ) + f 2 ( x ) \int_{-∞}^{+∞}f(x)dx=\int_{-∞}^{+∞}(f_1(x)+f_2(x))dx=\int_{-∞}^{+∞}f_1(x)dx+\int_{-∞}^{+∞}f_2(x)dx=2≠1 \quad ∴f_1(x)+f_2(x) ∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞+∞(f1(x)+f2(x))dx=∫−∞+∞f1(x)dx+∫−∞+∞f2(x)dx=2=1∴f1(x)+f2(x)不是概率密度

B. ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( x ) f 2 ( x ) d x ≠ 1 ∴ f 1 ( x ) f 2 ( x ) \int_{-∞}^{+∞}f(x)dx=\int_{-∞}^{+∞}f_1(x)f_2(x)dx≠1\quad ∴f_1(x)f_2(x) ∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞+∞f1(x)f2(x)dx=1∴f1(x)f2(x)不是概率密度

C. F ( + ∞ ) = F 1 ( + ∞ ) + F 2 ( + ∞ ) = 2 ≠ 1 ∴ F 1 ( x ) + F 2 ( x ) F(+∞)=F_1(+∞)+F_2(+∞)=2≠1 \quad ∴F_1(x)+F_2(x) F(+∞)=F1(+∞)+F2(+∞)=2=1∴F1(x)+F2(x)不是分布函数

D.① 0 ≤ F 1 ( x ) F 2 ( x ) ≤ 1 0≤F_1(x)F_2(x)≤1 0≤F1(x)F2(x)≤1

② F 1 ( x ) F 2 ( x ) F_1(x)F_2(x) F1(x)F2(x)单调不减

③ F 1 ( x ) F 2 ( x ) F_1(x)F_2(x) F1(x)F2(x)右连续

④ F ( + ∞ ) = F 1 ( + ∞ ) F 2 ( + ∞ ) = 1 ， F ( − ∞ ) = F 1 ( − ∞ ) F 2 ( − ∞ ) = 0 F(+∞)=F_1(+∞)F_2(+∞)=1，F(-∞)=F_1(-∞)F_2(-∞)=0 F(+∞)=F1(+∞)F2(+∞)=1，F(−∞)=F1(−∞)F2(−∞)=0

∴ F 1 ( x ) F 2 ( x ) F_1(x)F_2(x) F1(x)F2(x)必为某个随机变量的分布函数。

答案：D

例题2：11年7.

分析：

①如果对乘法的求导法则熟悉，则会发现D的 f 1 ( x ) F 2 ( x ) + f 2 ( x ) F 1 ( x ) = [ F 1 ( x ) F 2 ( x ) ] ′ f_1(x)F_2(x)+f_2(x)F_1(x) = [F_1(x)F_2(x)]' f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)=[F1(x)F2(x)]′

②验证性质： ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( x ) F 2 ( x ) + f 2 ( x ) F 1 ( x ) d x = F 1 ( x ) F 2 ( x ) ∣ − ∞ + ∞ = 1 × 1 − 0 × 0 = 1 \int_{-∞}^{+∞}f_1(x)F_2(x)+f_2(x)F_1(x)\rm dx=F_1(x)F_2(x)|_{-∞}^{+∞}=1×1-0×0=1 ∫−∞+∞f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)dx=F1(x)F2(x)∣−∞+∞=1×1−0×0=1

满足 f ( x ) ≥ 0 f(x)≥0 f(x)≥0、 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-∞}^{+∞}f(x){\rm d}x=1 ∫−∞+∞f(x)dx=1，为概率密度

答案：D

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6.习题

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习题1：2016年23.

求概率密度，先求分布函数，再求导。

答案：

（1）F~T~(t) = P{T≤t} = P{ max{X~1~，X~2~，X~3~}≤t } = P{ X~1~≤t，X~2~≤t，X~3~≤t } = P{X~1~≤t}·P{X~2~≤t}·P{X~3~≤t} = P^3^{X≤t} = F^3^~X~(t)

（2）aT为θ的无偏估计 ⇦⇨ E(aT)=θ

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4.一般类型(混合型)随机变量及其分布

1.定义

2.解题

只能用定义 F ( X ) = P { X ≤ x } F(X)=P\{X≤x\} F(X)=P{X≤x}，分区间讨论。最好画图。注意自变量取遍(-∞,+∞)

3.类型

①离散型→离散型

②连续型→连续型 或 混合型

5.常见的随机变量分布类型：八大分布

1.离散型 (5种)

①0-1分布

0-1分布的概率分布为：

① P { X = 1 } = p ， P { X = 0 } = 1 − p P\{X=1\}=p，P\{X=0\}=1-p P{X=1}=p，P{X=0}=1−p

或 ② P { X = k } = p k ( 1 − p ) 1 − k ， k = 0 , 1 P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}，k=0,1 P{X=k}=pk(1−p)1−k，k=0,1

②二项分布 X~B(n,p)

n重伯努利实验：干一件事，要么成功，要么失败。成功概率为p，失败概率为1-p。则干这件事n次，成功了k次的概率为

P { X = k } = C n k p k ( 1 − p ) n − k ( k = 0 , 1 , 2 , . . . , n ) P\{X=k\}={\rm C}_n^kp^k(1-p)^{n-k} \qquad (k=0,1,2,...,n) P{X=k}=Cnkpk(1−p)n−k(k=0,1,2,...,n)

其中， C n k = n ⋅ ( n − 1 ) ⋅ . . . ⋅ ( n − k + 1 ) k ! {\rm C}_n^k=\dfrac{n·(n-1)·...·(n-k+1)}{k!} Cnk=k!n⋅(n−1)⋅...⋅(n−k+1)

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习题1：09年14.   二项分布的期望与方差、E(S²)=D(X)、无偏估计

分析：

答案：-1

习题2：16年8.

分析：

答案：A

习题3：01年19.    考点：二项分布、泊松分布、条件概率

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③泊松分布

若随机变量X的概率分布为
P { X = k } = λ k k ! e − λ ( k = 0 , 1 , 2 , . . . ; λ > 0 ) P\{X=k\}=\dfrac{λ^k}{k!}e^{-λ} \qquad (k=0,1,2,...;λ>0) P{X=k}=k!λke−λ(k=0,1,2,...;λ>0)

则称X服从参数为λ的泊松分布 (Poisson)，记作 X ∼ P ( λ ) X\sim P(λ) X∼P(λ)。E(X)=λ，D(X)=λ。

λ称为强度。泊松分布的数学期望 E(X)=λ。

应用：

①某场合下，单位时间内源源不断的质点来流的数量

②稀有事件发生的概率

泊松分布由二项分布近似而来。

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习题1：01年19.    考点：二项分布、泊松分布、条件概率

分析：

X服从泊松分布，X~P(λ)
Y服从二项分布，Y~B(n,p)

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④几何分布

【几何分布 G ( p ) G(p) G(p)，首中即停止的伯努利试验。】

若X的概率分布为 P { X = k } = ( 1 − p ) k − 1 p ( k = 1 , 2 , . . . ; 0 < p < 1 ) P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p \qquad (k=1,2,...;0<p<1) P{X=k}=(1−p)k−1p(k=1,2,...;0<p<1)，则称X服从参数为p的几何分布，记为 X ∼ G ( p ) X\sim G(p) X∼G(p)

几何分布是离散型的等待分布

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例题1：  几何分布推广，首二中即停止： P = C k − 1 1 ( 1 − p ) k − 2 p 2 P=C_{k-1}^1(1-p)^{k-2}p^2 P=Ck−11(1−p)k−2p2

答案：

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⑤超几何分布

超几何分布 H ( n , N , M ) H(n,N,M) H(n,N,M)

P { X = k } = C M k C N − M n − k C N n P\{X=k\}=\dfrac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n} P{X=k}=CNnCMkCN−Mn−k

2. 连续型 (3种)

①均匀分布

均匀分布，是一维的几何概型

②指数分布

1.指数分布的概率密度 ：

若连续型 随机变量X的概率密度为
f ( x ) = { λ e − λ x , x > 0 0 , x ≤ 0 f(x)=\begin{cases} λe^{-λx}, & x>0\\ 0, & x≤0 \end{cases} f(x)={λe−λx,0,x>0x≤0

其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布 ，记为X~E(λ)

2.指数分布的分布函数 ：
F ( x ) = { 1 − e − λ x , x > 0 0 , x ≤ 0 F(x)=\begin{cases} 1-e^{-λx}, & x>0\\ 0, & x≤0 \end{cases} F(x)={1−e−λx,0,x>0x≤0

指数分布是连续型等待分布。

指数分布的λ是失效率，指数分布的数学期望 E ( X ) = 1 λ E(X)=\dfrac{1}{λ} E(X)=λ1

3.指数分布的无记忆性
P { X > s + t ∣ X > t } = P { X > s + t } P { X > t } = e − λ ( s + t ) e − λ t = e − λ s = P { X > s } P\{X>s+t|X>t\}=\dfrac{P\{X>s+t\}}{P\{X>t\}}=\dfrac{e^{-λ(s+t)}}{e^{-λt}}=e^{-λs}=P\{X>s\} P{X>s+t∣X>t}=P{X>t}P{X>s+t}=e−λte−λ(s+t)=e−λs=P{X>s}

① P { X > X 1 ∣ X > X 2 } = P { X > X 1 − X 2 } P\{X>X_1|X>X_2\}=P\{X>X_1-X_2\} P{X>X1∣X>X2}=P{X>X1−X2}

②指数分布的λ是失效率，在失效率λ不变的情况下，该理想元件是无损耗的。因此工作1年失效的概率和工作2年失效的概率相等，因此有无记忆性。

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习题1：19年22(1)

分析：Z = 指数分布×两点分布

答案：

(1) E(X)~1，∴ F ( x ) = { 1 − e − x , x > 0 0 , x ≤ 0 F(x)=\begin{cases} 1-e^{-x}, & x>0\\ 0, & x≤0 \end{cases} F(x)={1−e−x,0,x>0x≤0

f Z ( z ) = F Z ′ ( z ) f_Z(z)=F_Z'(z) fZ(z)=FZ′(z)

对于F~Z~(z)：

F~Z~(z) = P{Z≤z} = P{XY≤z} = P{Y=-1}·P{XY≤z|Y=-1} + P{Y=1}·P{XY≤z|Y=1} = p·P{-X≤z} + (1-p)·P{X≤z}

对于P{-X≤z} ：

P{-X≤z} = P{-z≤X} = P{X≥-z} = 1-P{X≤-z} =1-F~X~(-z) [连续型随机变量，某一点的概率为0]

∴F~Z~(z) =p·[1-F~X~(-z)] + (1-p)·F~X~(z)

对z的取值进行分类讨论：

当z>0时，F~Z~(z) =p·[1-0] + (1-p)·(1-e^-z^) = p+(1-p)·(1-e^-z^)

当z≤0时，F~Z~(z) =p·[1-(1-e^z^)] + (1-p)·0 = pe^z^

∴ F Z ( z ) = { p + ( 1 − p ) ⋅ ( 1 − e − z ) , z > 0 p e z , z ≤ 0 F_Z(z) =\begin{cases} p+(1-p)·(1-e^{-z}) , & z>0\\ pe^z, & z≤0 \end{cases} FZ(z)={p+(1−p)⋅(1−e−z),pez,z>0z≤0

∴ f Z ( z ) = F Z ′ ( z ) { ( 1 − p ) ⋅ e − z , z > 0 p e z , z ≤ 0 f_Z(z) =F_Z'(z)\begin{cases} (1-p)·e^{-z} , & z>0\\ pe^z, & z≤0 \end{cases} fZ(z)=FZ′(z){(1−p)⋅e−z,pez,z>0z≤0

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③正态分布

若X的概率密度为：
f ( x ) = 1 2 π σ e − 1 2 ( x − μ σ ) 2 = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ( − ∞ < x < + ∞ ) f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2π}σ}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-μ}{σ})^2}=\dfrac{1}{\sqrt{2π}σ}e^{-\frac{{(x-μ^)}^2}{2σ^2}} \quad(-∞<x<+∞) f(x)=2π σ1e−21(σx−μ)2=2π σ1e−2σ2(x−μ)2(−∞<x<+∞)

其中-∞<μ<+∞，σ>0，则称X服从参数为N(μ,σ²)的正态分布，或称X为正态变量，记为 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(μ,σ²) X∼N(μ,σ2)。

①f(x)关于x=μ对称。

②当 x = μ x=μ x=μ时，f(x)取最大值 f ( μ ) = 1 2 π σ f(μ)=\dfrac{1}{\sqrt{2π}σ} f(μ)=2π σ1，只与 σ σ σ有关。

1.标准正态分布

X~N(0,1)，则标准正态分布的概率密度φ(x)为：
φ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 ， ( − ∞ < x < + ∞ ) Ф ( x ) = ∫ − ∞ x 1 2 π e − x 2 2 d x ∫ − ∞ + ∞ φ ( x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − x 2 2 d x = 1 φ(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}，\quad (-∞<x<+∞)\\[5mm] Ф(x)=\int_{-∞}^x\dfrac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\\[5mm] \int_{-∞}^{+∞}φ(x)dx=\int_{-∞}^{+∞}\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}{\rm d}x = 1 φ(x)=2π 1e−2x2，(−∞<x<+∞)Ф(x)=∫−∞x2π 1e−2x2dx∫−∞+∞φ(x)dx=∫−∞+∞2π 1e−2x2dx=1

上α分位点

若X~N(0,1)，点 μ α μ_α μα右侧概率为α ( P { X > μ α } = α P\{X>μ_α\}=α P{X>μα}=α)，则称 μ α μ_α μα为标准正态分布的上α分位点(上侧α分位数)

公式：

推论：

① Ф ( 0 ) = 1 2 Ф(0)=\dfrac{1}{2} Ф(0)=21

② Ф ( x ) + Ф ( − x ) = 1 Ф(x)+Ф(-x)=1 Ф(x)+Ф(−x)=1

结论：对于标准正态分布 X ∼ N ( 0 , 1 ) X\sim N(0,1) X∼N(0,1)

① P = ∫ − ∞ + ∞ φ ( x ) d x = 1 P=\int_{-∞}^{+∞}φ(x)dx=1 P=∫−∞+∞φ(x)dx=1

② E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x φ ( x ) d x = 0 E(X)=\int_{-∞}^{+∞}xφ(x)dx=0 E(X)=∫−∞+∞xφ(x)dx=0

（理解1：φ(x)是偶函数，xφ(x)为奇函数，在对称区间上积分为0. 理解2： ∫ − ∞ + ∞ x φ ( x ) d x \int_{-∞}^{+∞}xφ(x)dx ∫−∞+∞xφ(x)dx即为标准正态分布的数学期望，X~N(0,1)，则期望为0）

2.正态分布的独立可加性

若X与Y分别服从正态分布 N ( μ 1 , σ 1 2 ) N(μ_1,σ_1^2) N(μ1,σ12)与 N ( μ 2 , σ 2 2 ) N(μ_2,σ_2^2) N(μ2,σ22)，且X与Y相互独立。

则 Z = X − Y Z=X-Y Z=X−Y也服从正态分布， Z ∼ N ( μ 1 − μ 2 , σ 1 2 + σ 2 2 ) Z\sim N( μ_1-μ_2, σ_1^2+σ_2^2) Z∼N(μ1−μ2,σ12+σ22)

独立可加性 (XY独立且同类型分布)

若X与Y独立，且满足以下5种同类型分布，则具有独立可加性.

分布	X,Y独立	⇨ 独立可加性
①二项分布	X~B(m,p)， Y~B(n,p)	X+Y~ B(m+n,p)
②泊松分布	X~P(λ₁)， Y~P(λ₂)	X+Y~ P(λ₁+λ₂)
③正态分布	X~N(μ₁,σ₁²)， Y~N(μ₂,σ₂²)	X ± Y ∼ N ( μ 1 ± μ 2 ， σ 1 2 + σ 2 2 ) X±Y\sim N(μ₁±μ₂，σ²₁+σ₂²) X±Y∼N(μ1±μ2，σ12+σ22)
④卡方分布	X~χ²(m)， Y~χ²(n)	X+Y~ χ²(m+n)
⑤指数分布	X~E(λ₁)， X~E(λ₂)	m i n { X , Y } min\{X,Y\} min{X,Y} ∼ E ( λ 1 + λ 2 ) \sim E(λ₁+λ₂) ∼E(λ1+λ2)

3.正态分布 μ，σ 对图像的影响

期望μ：对称轴位置

方差σ：方差越大，越分散（越不集中，在均值附近的面积越小）

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例题1：23李林六套卷(三)9. 独立可加性

分析：

答案：C

习题1：17年14.   标准正态分布

分析：

答案：2

习题2：19年23(1)

习题3：12年23.   正态分布的独立可加性

分析：

(3)注意样本与总体独立同分布

答案：

(1)∵X与Y相互独立且分别服从正态分布

∴由正态分布的独立可加性知 Z=X-Y 也服从正态分布，Z~N(0,3σ^2^)

(3) E ( σ ^ 2 ) = E ( ∑ i = 1 n Z i 2 3 n ) = 1 3 n E ( ∑ i = 1 n Z i 2 ) = 1 3 n ∑ i = 1 n E ( Z i 2 ) = 1 3 n ∑ i = 1 n E ( Z 2 ) = 1 3 n × n × [ D ( Z ) + E 2 ( Z ) ] = 1 3 × ( 3 σ 2 + 0 ) = σ 2 E(\hat{σ}^2)=E(\dfrac{{\sum\limits_{i=1}^n}Z_i^2}{3n})=\dfrac{1}{3n}E(\sum\limits_{i=1}^n{Z_i^2})=\dfrac{1}{3n}\sum\limits_{i=1}^nE({Z_i^2})=\dfrac{1}{3n}\sum\limits_{i=1}^nE({Z^2})=\dfrac{1}{3n}×n×[D(Z)+E^2(Z)]=\dfrac{1}{3}×(3σ^2+0)=σ^2 E(σ^2)=E(3ni=1∑nZi2)=3n1E(i=1∑nZi2)=3n1i=1∑nE(Zi2)=3n1i=1∑nE(Z2)=3n1×n×[D(Z)+E2(Z)]=31×(3σ2+0)=σ2

∴ σ ^ 2 \hat{σ}^2 σ^2是σ^2^的无偏估计

习题4：13年07.   正态分布 μ，σ 对图像的影响

答案：A

习题5：06年14.   正态分布 μ，σ 对图像的影响

答案：A

习题6：16年7.   正态分布 μ，σ 对图像的影响

分析：将X标准化为标准正态分布

答案：B

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6.一维随机变量函数的分布

Ch3. 多维随机变量及其分布

多维随机变量：联合、边缘、条件、独立性、函数分布

1.二维(n维)随机变量

1.多维随机变量

X：一维随机变量

(X,Y)：二维随机变量

(X₁,X₂,...,X~n~)：n维随机变量

2.多维随机变量的分布函数

(1)联合分布函数

(1)概念
F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)=P\{X≤x,Y≤y\} F(x,y)=P{X≤x,Y≤y} (-∞<x<+∞,-∞<y<+∞)

(2)性质

③二维规范性/归一性：若为二维连续型随机变量， F ( + ∞ , + ∞ ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 F(+∞,+∞)=\int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}f(x,y){\rm d}x{\rm d}y = 1 F(+∞,+∞)=∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dxdy=1

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例题1：10年22.(1)

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(2)边缘分布函数

F X ( x ) = P { X ≤ x , Y ≤ + ∞ } = F ( x , + ∞ ) F_X(x)=P\{X≤x,Y≤+∞\}=F(x,+∞) FX(x)=P{X≤x,Y≤+∞}=F(x,+∞)
F Y ( y ) = P { X ≤ + ∞ , Y ≤ y } = F ( + ∞ , y ) F_Y(y)=P\{X≤+∞,Y≤y\}=F(+∞,y) FY(y)=P{X≤+∞,Y≤y}=F(+∞,y)

边缘分布函数，考试常考

常见的两类二维随机变量：离散型随机变量、连续型随机变量

2.二维离散型随机变量及其分布

(1)联合分布律

p i j = P { X = x i , Y = y j } i , j = 1 , 2 , . . . p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_j\} \quad i,j=1,2,... pij=P{X=xi,Y=yj}i,j=1,2,...

(X,Y)的分布律 或 X和Y的联合分布律 ，记为 ( X , Y ) ∼ p i j (X,Y)\sim p_{ij} (X,Y)∼pij

联合分布律的求法：求出每个P{ }的值，画分布律

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例题1：09年22.(2)

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(2)边缘分布律

联合分布律的右边缘 p i ⋅ p_{i·} pi⋅、下边缘 p ⋅ j p_{·j} p⋅j，称为X、Y的边缘分布律

联合分布律： p i j = P { X = x i , Y = y j } p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_j\} pij=P{X=xi,Y=yj}

边缘分布率：

① p i ⋅ = P { X = x i } p_{i·}=P\{X=x_i\} pi⋅=P{X=xi}

② p ⋅ j = P { Y = y j } p_{·j}=P\{Y=y_j\} p⋅j=P{Y=yj}

(3)条件分布律

条件 = 联合 边缘 条件=\dfrac{联合}{边缘} 条件=边缘联合

3.二维连续型随机变量及其分布

(1)二维随机变量的概率密度 f(x,y)：联合概率密度

(1)定义

设F(x,y) 是 二维随机变量(X,Y) 的 分布函数 ，若存在非负函数f(x,y),使得对于任意实数x、y，有 F ( x , y ) = ∫ − ∞ y ∫ − ∞ x f ( u , v ) d u d v F(x,y)=\int_{-∞}^y\int_{-∞}^xf(u,v)dudv F(x,y)=∫−∞y∫−∞xf(u,v)dudv

则称(X,Y)为二维连续型 随机变量，称函数f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的概率密度 （随机变量X和Y的联合概率密度）

(2)性质

1.非负性：f(x,y)≥0

2.规范性/归一性：
F ( x , y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(x,y)=\int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dxdy=F(+∞,+∞)=1 F(x,y)=∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dxdy=F(+∞,+∞)=1

3.设D是xOy平面上的一个区域，则(X,Y)落在D内的概率为
P { ( X , Y ) ∈ D } = ∬ D f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)∈D\}=\iint\limits_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y P{(X,Y)∈D}=D∬f(x,y)dxdy

举例： 若 Z = 2 X − Y ，则 F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { 2 X − Y ≤ z } = ∬ 2 x − y ≤ z f ( x , y ) d x d y 若Z=2X-Y，则F_Z(z)=P\{Z≤z\}=P\{2X-Y≤z\}=\iint\limits_{2x-y≤z}f(x,y)dxdy 若Z=2X−Y，则FZ(z)=P{Z≤z}=P{2X−Y≤z}=2x−y≤z∬f(x,y)dxdy

当(X,Y)服从二维均匀分布 时， P { ( X , Y ) ∈ D } = ∬ D f ( x , y ) d x d y = S ( D ) S ( A ) P\{(X,Y)∈D\}=\iint\limits_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y=\dfrac{S(D)}{S(A)} P{(X,Y)∈D}=D∬f(x,y)dxdy=S(A)S(D)

4.偏导

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例题1：03年5.   二维连续型随机变量的分布：f(x,y)的性质   注意积分区域的限：D∩定义域

分析：设D是xOy平面上的一个区域，则(X,Y)落在D内的概率为 P { ( X , Y ) ∈ D } = ∬ D f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)∈D\}=\iint\limits_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y P{(X,Y)∈D}=D∬f(x,y)dxdy

答案： 1 4 \dfrac{1}{4} 41

例题2：12年07.   f(x,y)的性质： P { ( X , Y ) ∈ D } = ∬ D f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)∈D\}=\iint\limits_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y P{(X,Y)∈D}=D∬f(x,y)dxdy

分析：

答案：A

例题3：16年22.(2)

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(2)边缘分布

1.边缘概率分布

F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) = ∫ − ∞ x [ ∫ − ∞ + ∞ f ( u , v ) d v ] d u F_X(x)=F(x,+∞)=\int_{-∞}^x[\int_{-∞}^{+∞}f(u,v)dv]du FX(x)=F(x,+∞)=∫−∞x[∫−∞+∞f(u,v)dv]du
F Y ( y ) = F ( + ∞ , y ) F_Y(y)=F(+∞,y) FY(y)=F(+∞,y)

2.边缘概率密度

f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f_X(x) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y){\rm d}y fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy 【注意上下限是代y的取值，x是常数】

f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f_Y(y) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y){\rm d}x fY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dx

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例题1：由联合概率密度求边缘概率密度

口诀：求谁不积谁，后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限

例题2：10年22.(2)

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(3)条件分布

1.条件概率密度

f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) f_{X|Y}(x\ |\ y) = \dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)} fX∣Y(x ∣ y)=fY(y)f(x,y)

f Y ∣ X ( y ∣ x ) = f ( x , y ) f X ( x ) f_{Y|X}(y\ |\ x) = \dfrac{f(x,y)}{f_X(x)} fY∣X(y ∣ x)=fX(x)f(x,y) 【条件= 联合/边缘】

概率密度乘法公式：

2.条件分布函数

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例题1：07年10.   条件概率密度

分析：

∵ 随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，则X与Y相互独立。

∴ f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) f Y ( y ) = f X ( x ) f_{X|Y}(x\ |\ y) = \dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\dfrac{f_X(x)·f_Y(y)}{f_Y(y)}=f_X(x) fX∣Y(x ∣ y)=fY(y)f(x,y)=fY(y)fX(x)⋅fY(y)=fX(x)

答案：A

例题2：22年10.

答案：D

例题3：10年22.(2)

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(4)二维均匀分布

设D是坐标平面xOy上面积为A的有界区域D，若二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f ( x , y ) = { 1 A , ( x , y ) ∈ D ， 0 , ( x , y ) ∉ D f(x,y)= \left \{\begin{array}{cc} \dfrac{1}{A}, &(x,y)∈D，\\ 0, & (x,y)∉D \end{array}\right. f(x,y)={A1,0,(x,y)∈D，(x,y)∈/D

则称(X,Y)在区域D上服从均匀分布，记为 (X,Y) ~ U~D~

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例题1：16年22.

答案：查看李艳芳的讲解

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(5)二维正态分布

1.定义：

若二维随机变量(X,Y)的概率密度为

则称(X,Y)为服从参数μ~1~,μ~2~,σ~1~,σ~2~,ρ的二维正态分布，记作 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 ; σ 1 , σ 2 ; ρ ) (X,Y)\sim N(μ_1,μ_2;σ_1,σ_2;ρ) (X,Y)∼N(μ1,μ2;σ1,σ2;ρ)

2.性质

(1)二维正态分布：X与Y相互独立 ⇦⇨ X与Y不相关，ρ~XY~=0

(2)若(X,Y)服从二维正态分布，则：

①X、Y各自服从一维正态分布：

即若有 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 ; σ 1 , σ 2 ; ρ ) (X,Y)\sim N(μ_1,μ_2;σ_1,σ_2;ρ) (X,Y)∼N(μ1,μ2;σ1,σ2;ρ)，则 X ∼ N ( μ 1 , σ 1 ) X\sim N(μ_1,σ_1) X∼N(μ1,σ1)， Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 ) Y\sim N(μ_2,σ_2) Y∼N(μ2,σ2)

②X,Y的线性组合 a X + b Y ( a ≠ 0 或 b ≠ 0 ) aX+bY\quad (a≠0或b≠0) aX+bY(a=0或b=0) 也服从正态分布

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例题1：15年14.   二维正态分布， ρ = 0 ρ=0 ρ=0则X与Y独立

分析：

答案： 1 2 \dfrac{1}{2} 21

例题2：11年14.

分析：∵ρ=0 ∴X与Y相互独立 ∴E(XY²)=E(X)·E(Y²)=E(X)·[D(X)+E²(Y)]=μ(σ²+μ²)

答案：μ(σ²+μ²)

例题3：07年10.

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4.独立性 【随机变量的独立性】

(1)定义 (相互独立的充要条件)

对于(X,Y)是二维随机变量：

①普通：
P { X ≤ x ， Y ≤ y } = P { X ≤ x } ⋅ P { Y ≤ y } ⇔ X , Y 独立 P\{X≤x，Y≤y\}=P\{X≤x\}·P\{Y≤y\}\Leftrightarrow X,Y独立 P{X≤x，Y≤y}=P{X≤x}⋅P{Y≤y}⇔X,Y独立
F ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ F Y ( y ) ⇔ X , Y 独立 F(x,y)=F_X(x)·F_Y(y)\Leftrightarrow X,Y独立 F(x,y)=FX(x)⋅FY(y)⇔X,Y独立

②离散： ∀ i , j ∀i,j ∀i,j，有 p i j = p i ⋅ ⋅ p ⋅ j ⇔ X , Y 独立 p_{ij}=p_{i·}·p_{·j}\Leftrightarrow X,Y独立 pij=pi⋅⋅p⋅j⇔X,Y独立
若 ョ i , j ョi,j ョi,j，使得 p i j ≠ p i ⋅ ⋅ p ⋅ j p_{ij}≠p_{i·}·p_{·j} pij=pi⋅⋅p⋅j，则X,Y不独立

③连续： f ( x , y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) ⇔ X , Y 独立 f(x,y)=f_X(x)·f_Y(y)\Leftrightarrow X,Y独立 f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)⇔X,Y独立

(2)独立的性质

两变量独立，则P{ }可拆：P{X≤a}·P{Y≤b} = P{X≤a,Y≤b}

注意，F要先转换为P，然后P可拆。

详情查看此文：https://blog.csdn.net/Edward1027/article/details/126604163

5.二维随机变量 函数的分布

常考三类多维随机变量

(1)(离散型,离散型)→离散型

比较简单

(2)(连续型,连续型)→连续型

①分布函数法

P { ( X , Y ) ∈ D } = ∬ D f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)∈D\}=\iint\limits_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y P{(X,Y)∈D}=D∬f(x,y)dxdy

① F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { g ( x , y ) ≤ z } = ∬ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)=P\{Z≤z\}=P\{g(x,y)≤z\}=\iint\limits_{g(x,y)≤z}f(x,y){\rm d}x{\rm d}y FZ(z)=P{Z≤z}=P{g(x,y)≤z}=g(x,y)≤z∬f(x,y)dxdy

② f Z ( z ) = F Z ′ ( z ) f_Z(z)=F_Z'(z) fZ(z)=FZ′(z)

②卷积公式

卷积公式：专门针对 加、减、乘、除

口诀：积谁不换谁，换完求偏导 (对z求偏导，乘其系数的绝对值)

(3)(离散型,连续型)→连续型

①离散+连续：全概率公式

X和Y，一格离散，一个连续：Z=XY，先用全概率公式，再用独立性

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例题1：基础30讲 3.11   离散+连续：全概率公式 ("全集分解思想")

答案：

习题1：09年8.   离散+连续：全概率公式

分析：

答案：B

习题2：23李林4套卷(二)22.(1)   离散+连续：全概率公式

答案：

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