Greiner–Hormann裁剪算法深度探索：C++实现与应用案例

介绍

在计算几何中，裁剪是一个核心的主题。特别是，多边形裁剪已经被广泛地应用于计算机图形学，地理信息系统和许多其他领域。Greiner-Hormann裁剪算法是其中之一，提供了一个高效的方式来计算两个多边形的交集、并集等。在本文中，我们将深入探讨这一算法，并为您提供一个基于C++的实现。

算法概述

Greiner-Hormann算法基于边界交点的概念，即两个多边形的交点。算法的关键思想是找到这些交点，并根据需要合并多边形的顶点。

找到所有的交点：遍历多边形A和B的所有边，找到它们的交点。
排序交点：按照它们在多边形边上的位置对交点进行排序。
连接交点：使用链接交点来形成新的多边形。
得到结果多边形：得到交集、并集或差集，取决于所需的操作。

C++实现

为了简单起见，我们假设点是一个简单的结构，并有一个函数来计算两条线段的交点。

cpp 复制代码

struct Point {
    double x, y;

    Point(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}
};

bool findIntersection(Point p1, Point q1, Point p2, Point q2, Point &intersec) {
    // ... (交点的计算代码)
}

为了表示多边形，我们使用点的列表：

cpp 复制代码

using Polygon = std::vector<Point>;

现在，让我们开始寻找两个多边形之间的所有交点。

cpp 复制代码

std::vector<Point> findIntersections(const Polygon &polyA, const Polygon &polyB) {
    std::vector<Point> intersections;

    for(size_t i = 0; i < polyA.size(); i++) {
        Point p1 = polyA[i];
        Point q1 = (i == polyA.size() - 1) ? polyA[0] : polyA[i + 1];

        for(size_t j = 0; j < polyB.size(); j++) {
            Point p2 = polyB[j];
            Point q2 = (j == polyB.size() - 1) ? polyB[0] : polyB[j + 1];

            Point intersec;
            if(findIntersection(p1, q1, p2, q2, intersec)) {
                intersections.push_back(intersec);
            }
        }
    }
    
    return intersections;
}

此代码片段首先初始化一个空的交点列表。然后，它遍历polyA和polyB的每条边，使用findIntersection函数来确定它们是否有交点。如果找到交点，它会添加到交点列表中。

排序交点

为了确保算法的正确性，我们需要按照它们在多边形上的位置对交点进行排序。这确保了当我们形成新的多边形时，交点被正确地处理。

cpp 复制代码

void sortIntersections(Polygon &poly, std::vector<Point> &intersections) {
    std::sort(intersections.begin(), intersections.end(), [&poly](const Point &a, const Point &b) -> bool {
        // 为每个交点找到其在多边形上的位置
        size_t posA = std::distance(poly.begin(), std::find(poly.begin(), poly.end(), a));
        size_t posB = std::distance(poly.begin(), std::find(poly.begin(), poly.end(), b));
        return posA < posB;
    });
}

此函数接受多边形和其交点列表作为参数，然后按照交点在多边形上的位置进行排序。

连接交点以形成新的多边形

一旦我们有了排序后的交点，我们就可以开始构造新的多边形。

cpp 复制代码

Polygon constructNewPolygon(const Polygon &polyA, const Polygon &polyB, const std::vector<Point> &intersections) {
    Polygon result;

    // 使用一个标记数组来跟踪哪些交点已经被处理
    std::vector<bool> visited(intersections.size(), false);

    // 开始于多边形A的第一个点
    result.push_back(polyA[0]);

    for (size_t i = 1; i <= polyA.size(); i++) {
        Point current = (i == polyA.size()) ? polyA[0] : polyA[i];

        // 查找是否有交点
        auto it = std::find(intersections.begin(), intersections.end(), current);
        if (it != intersections.end() && !visited[std::distance(intersections.begin(), it)]) {
            // 标记交点为已访问
            visited[std::distance(intersections.begin(), it)] = true;

            // 将交点添加到结果多边形中
            result.push_back(*it);

            // 转到另一个多边形并遍历其边，直到遇到另一个交点
            const Polygon &otherPoly = (polyA == polyB) ? polyB : polyA;

            size_t j = std::distance(otherPoly.begin(), std::find(otherPoly.begin(), otherPoly.end(), *it));
            do {
                j = (j + 1) % otherPoly.size();
                result.push_back(otherPoly[j]);
            } while (std::find(intersections.begin(), intersections.end(), otherPoly[j]) == intersections.end());
        } else {
            result.push_back(current);
        }
    }

    return result;
}

这个函数首先初始化了一个空的多边形和一个标记数组，用于跟踪哪些交点已经被处理。然后，它遍历polyA的每个顶点，并检查它是否是一个交点。如果是，并且还没有被访问过，它将开始遍历polyB，直到找到另一个交点为止。

结论和进一步的应用

从上面的C++实现中，我们可以看到Greiner-Hormann裁剪算法是如何工作的。这种算法的优点是它对于复杂的多边形也能高效工作，而且它的理论基础使得它可以很容易地适应各种应用场景。

例如，此算法不仅限于2D平面上的裁剪。通过在三维空间中考虑多边形，或者在N维空间中进行一些扩展，我们可以将此方法用于更高维度的空间。

此外，这种算法在图形渲染、地理信息系统、碰撞检测等领域都有应用。其准确性和效率使它成为处理这些问题的理想选择。

总结

Greiner-Hormann裁剪算法为我们提供了一个强大的工具，可以用来解决多边形裁剪中的各种问题。不仅如此，由于其底层原理和结构的普遍性，它可以被扩展到多种不同的应用中。上面提供的C++实现只是开始，您可以根据需要对其进行扩展或修改，使其适应您的特定需求。

感谢您的耐心阅读！希望这篇文章为您提供了有价值的信息和启示。