线性方程组

给定以下线性方程组:
2 x + y = 5 x − 3 y = − 4 \begin{aligned} & 2 x+y=5 \\ & x-3 y=-4 \end{aligned} 2x+y=5x−3y=−4

求 x x x 和 y y y 的值。
线性方程组的矩阵求解法

考虑线性方程组:
x + 2 y = 3 3 x + 4 y = 7 \begin{array}{r} x+2 y=3 \\ 3 x+4 y=7 \end{array} x+2y=33x+4y=7

使用矩阵的方法求解 x x x 和 y y y 的值。
矩阵乘法

若
A = [ 1 2 3 4 ] A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right] A=[1324]

和
B = [ 2 0 1 3 ] B=\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{array}\right] B=[2103]

求 A × B A \times B A×B 。
向量的数乘

若 v ⃗ = [ 1 3 ] \vec{v}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right] v =[13], 求 5 × v ⃗ 5 \times \vec{v} 5×v 。
向量的加法

若 a ⃗ = [ 2 1 ] \vec{a}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right] a =[21] 和 b ⃗ = [ 3 − 2 ] \vec{b}=\left[\begin{array}{c}3 \\ -2\end{array}\right] b =[3−2] ，求 a ⃗ + b ⃗ \vec{a}+\vec{b} a +b 。
向量的线性组合 (编程题)

给定向量 v ⃗ 1 = [ 2 1 4 ] \vec{v}_1=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 4\end{array}\right] v 1= 214 和 v ⃗ 2 = [ 1 3 − 1 ] \vec{v}_2=\left[\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ -1\end{array}\right] v 2= 13−1 ，生成这两个向量的线性组合（常量自定义即可）。同时，编写一个程序来计算
向量空间 (张成空间)

是否可能通过 a ⃗ = [ 1 2 ] \vec{a}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right] a =[12] 和 b ⃗ = [ 2 4 ] \vec{b}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 4\end{array}\right] b =[24] 构造张成空间 R 2 \mathbb{R}^2 R2 ?
向量的线性相关和线性无关

判断向量 v ⃗ 1 = [ 1 2 3 ] \vec{v}_1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right] v 1= 123 和 v ⃗ 2 = [ 2 4 6 ] \vec{v}_2=\left[\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 6\end{array}\right] v 2= 246 是否线性相关。
向量乘法

求 u ⃗ = [ 1 2 ] \vec{u}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right] u =[12] 和 v ⃗ = [ 3 4 ] \vec{v}=\left[\begin{array}{l}3 \\ 4\end{array}\right] v =[34] 的点积。
向量的正交 (编程题)

给定向量 a ⃗ = [ 1 0 − 1 ] \vec{a}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right] a = 10−1 和 b ⃗ = [ 2 − 2 2 ] \vec{b}=\left[\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ 2\end{array}\right] b = 2−22 ，判断这两个向量是否正交。同时，编写一个程序来验证。

答案

1. 线性方程组

给定方程组:
2 x + y = 5 x − 3 y = − 4 \begin{aligned} & 2 x+y=5 \\ & x-3 y=-4 \end{aligned} 2x+y=5x−3y=−4

求解步骤:

为了消除 y y y ，将(1)式乘以 3 :
6 x + 3 y = 15 6 x+3 y=15 6x+3y=15
将(3)式和(2)式相加，得:
7 x = 11 ⟹ x = 11 7 7 x=11 \Longrightarrow x=\frac{11}{7} 7x=11⟹x=711
将 x = 11 7 x=\frac{11}{7} x=711 代入(1)式:
2 ( 11 7 ) + y = 5 ⟹ y = 5 − 22 7 = 35 − 22 7 = 13 7 2\left(\frac{11}{7}\right)+y=5 \Longrightarrow y=5-\frac{22}{7}=\frac{35-22}{7}=\frac{13}{7} 2(711)+y=5⟹y=5−722=735−22=713

2. 线性方程组的矩阵求解法

考虑方程组:
x + 2 y = 3 3 x + 4 y = 7 \begin{array}{r} x+2 y=3 \\ 3 x+4 y=7 \end{array} x+2y=33x+4y=7

写成矩阵形式 A X = B A X=B AX=B :
A = [ 1 2 3 4 ] X = [ x y ] B = [ 3 7 ] \begin{gathered} A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right] \\ X=\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] \\ B=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 7 \end{array}\right] \end{gathered} A=[1324]X=[xy]B=[37]
使用矩阵逆公式求 A − 1 A^{-1} A−1 :
A − 1 = 1 det ⁡ ( A ) [ d − b − c a ] A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(A)}\left[\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right] A−1=det(A)1[d−c−ba]
其中， a , b , c , d \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d} a,b,c,d 是矩阵 A \mathrm{A} A 的元素，且 det ⁡ ( A ) = a d − b c \operatorname{det}(A)=a d-b c det(A)=ad−bc
我们首先计算 det ⁡ ( A ) \operatorname{det}(A) det(A) :
det ⁡ ( A ) = 1 × 4 − 2 × 3 = 4 − 6 = − 2 \operatorname{det}(A)=1 \times 4-2 \times 3=4-6=-2 det(A)=1×4−2×3=4−6=−2
接下来计算逆矩阵:
A − 1 = 1 − 2 [ 4 − 2 − 3 1 ] A^{-1}=\frac{1}{-2}\left[\begin{array}{cc} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{array}\right] A−1=−21[4−3−21]
这给出:
A − 1 = [ − 2 1 1.5 − 0.5 ] A^{-1}=\left[\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{array}\right] A−1=[−21.51−0.5]
最后，计算 X = A − 1 B X=A^{-1} B X=A−1B 得到 x \mathrm{x} x 和 y \mathrm{y} y 的值。我们将 A − 1 A^{-1} A−1 与 B B B 相乘来得到解 X X X 。

经过计算，我们得到解为:
x = 1 , y = 1 x=1, \quad y=1 x=1,y=1

3. 矩阵乘法

给定矩阵
A = [ 1 2 3 4 ] A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right] A=[1324]

和
B = [ 2 0 1 3 ] B=\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{array}\right] B=[2103]

为了得到 A × B A \times B A×B 的结果，我们按照矩阵乘法的定义执行以下步骤:

取矩阵 A A A 的第一行与矩阵 B B B 的第一列相乘后求和，得到结果矩阵的第一个元素。
( 1 × 2 ) + ( 2 × 1 ) = 2 + 2 = 4 (1 \times 2)+(2 \times 1)=2+2=4 (1×2)+(2×1)=2+2=4
这是结果矩阵的左上角元素。
接下来，取矩阵 A A A 的第一行与矩阵 B B B 的第二列相乘后求和，得到结果矩阵的第二个元素。
( 1 × 0 ) + ( 2 × 3 ) = 0 + 6 = 6 (1 \times 0)+(2 \times 3)=0+6=6 (1×0)+(2×3)=0+6=6
这是结果矩阵的右上角元素。
对于结果矩阵的左下角元素，我们取矩阵 A A A 的第二行与矩阵 B B B 的第一列相乘后求和。
( 3 × 2 ) + ( 4 × 1 ) = 6 + 4 = 10 (3 \times 2)+(4 \times 1)=6+4=10 (3×2)+(4×1)=6+4=10
最后，对于结果矩阵的右下角元素，我们取矩阵 A A A 的第二行与矩阵 B B B 的第二列相乘后求和。
( 3 × 0 ) + ( 4 × 3 ) = 0 + 12 = 12 (3 \times 0)+(4 \times 3)=0+12=12 (3×0)+(4×3)=0+12=12
将以上结果汇总，我们得到矩阵 A × B A \times B A×B 为:
[ 4 6 10 12 ] \left[\begin{array}{cc} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{array}\right] [410612]

4. 向量的数乘

给定向量
v ⃗ = [ 1 3 ] \vec{v}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 3 \end{array}\right] v =[13]

我们要求 5 × v ⃗ 5 \times \vec{v} 5×v 。

向量的数乘是标量与向量的每个元素相乘。具体来说:

将向量 v ⃗ \vec{v} v 的第一个元素乘以 5 :
5 × 1 = 5 5 \times 1=5 5×1=5
将向量 v ⃗ \vec{v} v 的第二个元素乘以 5 :
5 × 3 = 15 5 \times 3=15 5×3=15
所以，结果向量为
5 × v ⃗ = [ 5 15 ] 5 \times \vec{v}=\left[\begin{array}{c} 5 \\ 15 \end{array}\right] 5×v =[515]

5. 向量的加法

给定向量
a ⃗ = [ 2 1 ] \vec{a}=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right] a =[21]

和
b ⃗ = [ 3 − 2 ] \vec{b}=\left[\begin{array}{c} 3 \\ -2 \end{array}\right] b =[3−2]

我们要求 a ⃗ + b ⃗ \vec{a}+\vec{b} a +b 。

两个向量的加法是它们的每个对应元素的和。具体来说:

将向量 a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec{b} b 的第一个元素相加:
2 + 3 = 5 2+3=5 2+3=5
将向量 a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec{b} b 的第二个元素相加:
1 − 2 = − 1 1-2=-1 1−2=−1
所以，结果向量为
a ⃗ + b ⃗ = [ 5 − 1 ] \vec{a}+\vec{b}=\left[\begin{array}{c} 5 \\ -1 \end{array}\right] a +b =[5−1]

6. 向量的线性组合

给定向量
v ⃗ 1 = [ 2 1 4 ] \vec{v}_1=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right] v 1= 214

和
v ⃗ 2 = [ 1 3 − 1 ] \vec{v}_2=\left[\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right] v 2= 13−1

我们需要生成这两个向量的线性组合。

线性组合的定义是:
c 1 v ⃗ 1 + c 2 v ⃗ 2 c_1 \vec{v}_1+c_2 \vec{v}_2 c1v 1+c2v 2

其中 c 1 c_1 c1 和 c 2 c_2 c2 是任意的常数。

为了形成这两个向量的线性组合，我们可以选择任意值的 c 1 c_1 c1 和 c 2 c_2 c2 。例如，如果我们选择 c 1 = 2 c_1=2 c1=2 和 c 2 = 3 c_2=3 c2=3 ，则线性组合为:
2 [ 2 1 4 ] + 3 [ 1 3 − 1 ] 2\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right]+3\left[\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right] 2 214 +3 13−1

计算每个组件:

第一个组件: 2 × 2 + 3 × 1 = 7 2 \times 2+3 \times 1=7 2×2+3×1=7
第二个组件: 2 × 1 + 3 × 3 = 11 2 \times 1+3 \times 3=11 2×1+3×3=11
第三个组件: 2 × 4 + 3 × ( − 1 ) = 5 2 \times 4+3 \times(-1)=5 2×4+3×(−1)=5
所以，结果向量为:
[ 7 11 5 ] \left[\begin{array}{c} 7 \\ 11 \\ 5 \end{array}\right] 7115

bash 复制代码

# Define the vectors v1 and v2
v1 = np.array([[2], [1], [4]])
v2 = np.array([[1], [3], [-1]])

# Compute the linear combination
c1 = 2
c2 = 3
result_linear_combination = c1 * v1 + c2 * v2
result_linear_combination

7. 向量空间 (张成空间)

考虑两个向量:
a ⃗ = [ 1 2 ] \vec{a}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right] a =[12]

和
b ⃗ = [ 2 4 ] \vec{b}=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 4 \end{array}\right] b =[24]

我们想确定这两个向量是否可以构成张成 R 2 \mathbb{R}^2 R2 。

首先，我们需要检查这两个向量是否线性相关。

两个向量线性相关的条件是其中一个向量是另一个向量的倍数。观察 b ⃗ \vec{b} b ，我们可以看到它确实是 a ⃗ \vec{a} a 的2倍。因此，这两个向量是线性相关的。

线性相关的向量不能构成张成空间 R 2 \mathbb{R}^2 R2 。所以，答案是这两个向量不能张成 R 2 \mathbb{R}^2 R2 。

8. 向量的线性相关和线性无关

考虑向量
v ⃗ 1 = [ 2 3 ] \vec{v}_1=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right] v 1=[23]

和
v ⃗ 2 = [ 4 6 ] \vec{v}_2=\left[\begin{array}{l} 4 \\ 6 \end{array}\right] v 2=[46]

为了确定这两个向量是否线性相关，我们需要看是否存在一个常数 k k k 使得
v ⃗ 2 = k v ⃗ 1 \vec{v}_2=k \vec{v}_1 v 2=kv 1

通过对比元素，我们可以发现 v ⃗ 2 \vec{v}_2 v 2 是 v ⃗ 1 \vec{v}_1 v 1 的2倍，所以 k = 2 k=2 k=2 。因此，这两个向量是线性相关的。

9. 向量乘法

给定向量
u ⃗ = [ 1 2 ] \vec{u}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right] u =[12]

和
v ⃗ = [ 3 4 ] \vec{v}=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}\right] v =[34]

我们想计算它们的点积。点积定义为两个向量的对应元素相乘后相加:
u ⃗ ⋅ v ⃗ = u 1 × v 1 + u 2 × v 2 = 1 × 3 + 2 × 4 = 3 + 8 = 11 \vec{u} \cdot \vec{v}=u_1 \times v_1+u_2 \times v_2=1 \times 3+2 \times 4=3+8=11 u ⋅v =u1×v1+u2×v2=1×3+2×4=3+8=11

向量的正交
考虑向量
a ⃗ = [ 1 0 − 1 ] \vec{a}=\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right] a = 10−1
和
b ⃗ = [ 2 − 2 2 ] \vec{b}=\left[\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right] b = 2−22
两个向量正交的条件是它们的点积为零。我们需要计算 a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec{b} b 的点积:
a ⃗ ⋅ b ⃗ = a 1 × b 1 + a 2 × b 2 + a 3 × b 3 = 1 × 2 + 0 × ( − 2 ) + ( − 1 ) × 2 = 2 − 2 = 0 \vec{a} \cdot \vec{b}=a_1 \times b_1+a_2 \times b_2+a_3 \times b_3=1 \times 2+0 \times(-2)+(-1) \times 2=2-2=0 a ⋅b =a1×b1+a2×b2+a3×b3=1×2+0×(−2)+(−1)×2=2−2=0
因为它们的点积为零，所以 a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec{b} b 是正交的。

bash 复制代码

a = np.array([[1], [0], [-1]])
b = np.array([[2], [-2], [2]])

# Calculate results
dot_product_ab = np.dot(a.T, b)[0][0]
dot_product_ab

线代作业啊啊

答案