圆的反演 hdu 6097

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题目大意

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6097

有一个圆C,它的圆心是O(0,0), 半径是r。

在C内部或边界上有两点P和Q,OP=OQ。

求解圆C上一点D,使得PD+QD最小。图中红色相加最短。

错解

直觉上感觉D是PQ中垂线与圆的交点。

这个直觉是错误的。

一个特殊例子,当PQ是直径时,显然D点是P或Q时取得最值。

利用圆的反演及相似三角形转化圆外点问题

反演定义:有一个圆C以O为圆心半径为r,那么任意点P对于圆C的反演点P'存在于射线OP方向上,且OP' = r*r/OP

寻找相似三角形

图中P'是P关于圆O的反演点。
则存在圆上 1 点 D 使得 △ P ′ D O ∼ △ D P O 相似比为 r O P 则存在圆上1点D使得 \triangle P'DO \sim \triangle DPO 相似比为\frac {r}{OP} 则存在圆上1点D使得△P′DO∼△DPO相似比为OPr

证明也很简单:

根据已知条件,P'是P的反演点可得到

OP' = r*r/OP => OP'/r=r/OP = OD/OP

根据两边之比相等且夹角相等,可以得到上述相似三角形的结论。

问题转化

根据上述结论,Q'D/DQ=P'D/DP=r/OP(已知量)

得到 Q ′ D + P ′ D D Q + D P = r O P \frac {Q'D+P'D}{DQ+DP} = \frac {r}{OP} DQ+DPQ′D+P′D=OPr

那么想要 DQ+DP 最小只要保证Q'D+P'D最小即可,问题就转化成求Q'D+P'D的最小值。

问题求解

对Q'和P'作边线可以发现下述两种情况。

相交

当与圆相交时,最短就是两点的连线,那么D就是圆上与连线的交点。

相离

直觉D点是Q'P'中垂线与圆的交点。

证明如下:

假设Q'P'平等于Y轴,引入辅助线l平行于Q'P'与圆相切。

设向量P'D=(x,-y), Q'D = (x,y), 引入变量y*表示D在直线l上移动。

距离之和可以表示为关于 y ∗ 的函数 f ( y ∗ ) = x 2 + ( − y + y ∗ ) 2 + x 2 + ( y + y ∗ ) 2 距离之和可以表示为关于y*的函数 f(y*) = \sqrt{x^2+(-y+y*)^2}+\sqrt{x^2+(y+y*)^2} 距离之和可以表示为关于y∗的函数f(y∗)=x2+(−y+y∗)2 +x2+(y+y∗)2

对f(y*)求导等于0

f ′ ( y ∗ ) = − y + y ∗ x 2 + ( − y + y ∗ ) 2 + y + y ∗ x 2 + ( y + y ∗ ) 2 f'(y*) = \frac {-y+y*}{\sqrt{x^2+(-y+y*)^2}}+\frac {y+y*}{\sqrt{x^2+(y+y*)^2}} f′(y∗)=x2+(−y+y∗)2 −y+y∗+x2+(y+y∗)2 y+y∗

当y*=0时,f'(y*)=0。

在圆上移动会比直线上更远。

上述结论得证。

如何求P'D+Q'D。

设P'Q'中点为M, 则DM = OM-r。

根据勾股定理可求得P'D。

代码实现

cpp 复制代码
#include<stdio.h>
#include<cmath>

class Point {
public:
	double x, y;

	Point() {}
	Point(double a, double b) :x(a), y(b) {}

	void in() {
		scanf(" %lf %lf", &x, &y);
	}

	double dis() {
		return sqrt(x * x + y * y);
	}

	void operator -=(Point& p) {
		x -= p.x;
		y -= p.y;
	}

	void operator +=(Point& p) {
		x += p.x;
		y += p.y;
	}
	void operator *=(double d) {
		x *= d;
		y *= d;
	}

	void operator /=(double d) {
		this ->operator*= (1 / d);
	}
};



class Circle
{
public:
	Point center;
	double r;
	
	Circle(Point &c, double a):center(c), r(a){}
	Circle();
	void in() {
		center.in();
		scanf("%lf", &r);
	}

};

Circle::Circle()
{
}


void solve() {
	Point P, Q, P1, Q1, M;
	int T;
	Circle c;

	scanf("%d", &T);

	while (T--) {
		scanf("%lf", &c.r);
		c.center = Point(0, 0);
		int a, b;
		scanf("%d %d", &a, &b);
		P.x = a;
		P.y = b;

		scanf("%d %d", &a, &b);
		Q.x = a;
		Q.y = b;
		if (P.dis() < 1e-6) {
			printf("%8f\n", 2*c.r);
			continue;
		}

		// 求反演点
		double k = c.r * c.r / P.dis() / P.dis();
		P1 = P;
		P1 *= k;
		Q1 = Q;
		Q1 *= k;

		// 计算中点
		M = P1;
		M += Q1;
		M /= 2;
		P1 -= Q1;
		double d = P1.dis();
		// 判断相离情况
		if (M.dis() > c.r) {
			double md = M.dis() - c.r;
			Q1 = Point(md, d/2);
			d = Q1.dis() * 2;
		}

		d *= P.dis() / c.r;
		printf("%.8f\n", d);
	}
}

int main() {
	solve();
	return 0;
}

/*
4
4
4 0
0 4
4
0 3
3 0
4
0 2
2 0
4
0 1
1 0

*/

本人码农,希望通过自己的分享,让大家更容易学懂计算机知识。

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