【算法学习笔记】34：扩展欧几里得算法

裴蜀定理

描述

对于任意正整数 a a a、 b b b，一定存在整数系数 x x x， y y y，使得：
a x + b y = g c d ( a , b ) ax + by = gcd(a, b) ax+by=gcd(a,b)

并且 g c d ( a , b ) gcd(a, b) gcd(a,b)是对于任意的系数 x x x和 y y y放在 a a a和 b b b上能凑出的最小正整数。

证明

如下如果有整数系数 x x x、 y y y，那么 a x + b y ax + by ax+by一定是 g c d ( a , b ) gcd(a, b) gcd(a,b)的倍数，因为 a a a和 b b b都分别是 g c d ( a , b ) gcd(a, b) gcd(a,b)的倍数。因此能凑出来的数字最小就是 g c d ( a , b ) gcd(a, b) gcd(a,b)。

接下来证明一定存在 x x x、 y y y能凑出 g c d ( a , b ) gcd(a, b) gcd(a,b)。证明存在性的东西可以用构造法，只要把这个东西构造出来了，那么就一定存在了。这个构造的方法就是扩展欧几里得算法，使得对于任意的 a a a、 b b b，都能构造出来 x x x、 y y y使得 a x + b y = g c d ( a , b ) ax + by = gcd(a, b) ax+by=gcd(a,b)。

扩展欧几里得算法

欧几里得算法是 g c d ( a , b ) = g c d ( b , a m o d b ) gcd(a, b) = gcd(b, a~mod~b) gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)，递归出口是当 b b b为 0 0 0时返回 a a a，因为 0 0 0和任何数的最大公约数就是那个数。

扩展欧几里得算法则是在欧几里得算法的基础上，把系数 x x x和 y y y构造出来。

考虑到欧几里得算法的递归特性，可以用之前递归出的结果计算出前面的结果。

如，欧几里得算法计算gcd的递归出口是 b b b为 0 0 0时返回 a a a，此时 a a a和 b b b的最大公约数就是 a a a，要使得 a x + b y = a ax + by = a ax+by=a，显然有一组整数解 x = 1 x = 1 x=1且 y = 0 y = 0 y=0。

考虑除了递归出口之外的递归分支，需要计算 g c d ( b , a m o d b ) gcd(b, a~mod~b) gcd(b,a mod b)，假设此时已经求出一组解 y y y和 x x x（这里将 y y y和 x x x调换便于计算，不调换也是可以的，结论是另一种写法公式），即使得：
b y + ( a m o d b ) x = g c d ( b , a m o d b ) = g c d ( a , b ) by + (a~mod~b)x = gcd(b, a~mod~b) = gcd(a, b) by+(a mod b)x=gcd(b,a mod b)=gcd(a,b)

考虑到 a m o d b = a − ⌊ a b ⌋ ⋅ b a~mod~b = a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \cdot b a mod b=a−⌊ba⌋⋅b，整理一下 a a a和 b b b的系数，得到：
a x + ( y − ⌊ a b ⌋ ⋅ x ) b = g c d ( a , b ) ax + (y - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \cdot x) b = gcd(a, b) ax+(y−⌊ba⌋⋅x)b=gcd(a,b)

因此，从上一组解的 x x x不变， y y y减去 ⌊ a b ⌋ ⋅ x \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \cdot x ⌊ba⌋⋅x就是为 a a a和 b b b构造的系数解。

#include <iostream>

using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main() {
    int t; cin >> t;
    
    while (t -- ) {
        int a, b; cin >> a >> b;
        int x, y;
        exgcd(a, b, x, y);
        cout << x << ' ' << y << endl;
    }
    
    return 0;
}