平面的四种方程及一些应用
点法式方程
平面经过点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0)且法向量为 ( a , b , c ) (a,b,c) (a,b,c)，则平面的点法式方程为：
a ( x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) = 0 \bm{a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0} a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0
一般式方程
平面的一般式方程：
a x + b y + c z + d = 0 \bm{ax+by+cz+d=0} ax+by+cz+d=0
一般式方程是从点法式方程衍生的，因此 d = − ( a x 0 + b y 0 + c z 0 ) d=-(ax_0+by_0+cz_0) d=−(ax0+by0+cz0)
注意 a , b , c 不全为 0 a,b,c不全为0 a,b,c不全为0，即 a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0 a^2+b^2+c^2 \ne 0 a2+b2+c2=0
三点式方程
三个不共线的点确定一个平面，我们记这三个点为： ( x 1 , y 1 , z 1 ) , ( x 2 , y 2 , z 2 ) , ( x 3 , y 3 , z 3 ) (x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2),(x_3,y_3,z_3) (x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3)，记平面上的任意一点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)，那么这四个点会共面，就是说P与其他三个已知点中任意一个组成的向量、与已知三个点之中任意组成两个向量共面，共面意味着混合积为0，那么就有平面的三点式方程 （这里还有其他等价写法）：
∣ x − x 1 y − y 1 z − z 1 x 2 − x 1 y 2 − y 1 z 2 − z 1 x 3 − x 1 y 3 − y 1 z 3 − z 1 ∣ = 0 \bm{\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0} x−x1x2−x1x3−x1y−y1y2−y1y3−y1z−z1z2−z1z3−z1 =0
由此可求出一般式方程的系数：
{ a = ( y 2 − y 1 ) ( z 3 − z 1 ) − ( z 2 − z 1 ) ( y 3 − y 1 ) b = ( x 3 − x 1 ) ( z 2 − z 1 ) − ( x 2 − x 1 ) ( z 3 − z 1 ) c = ( x 2 − x 1 ) ( y 3 − y 1 ) − ( x 3 − x 1 ) ( y 2 − y 1 ) d = − ( a x 1 + b y 1 + c z 1 ) \bm{\begin{cases} a = (y_2 - y_1)(z_3 - z_1) - (z_2 -z_1)(y_3 - y_1) \\ b = (x_3 - x_1)(z_2 - z_1) - (x_2 - x_1)(z_3 - z_1)\\ c = (x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (x_3 - x_1)(y_2 - y_1) \\ d = -(ax_1 + by_1 + cz_1) \end{cases}} ⎩ ⎨ ⎧a=(y2−y1)(z3−z1)−(z2−z1)(y3−y1)b=(x3−x1)(z2−z1)−(x2−x1)(z3−z1)c=(x2−x1)(y3−y1)−(x3−x1)(y2−y1)d=−(ax1+by1+cz1)
截距式方程
x / a + y / b + z / c = 1 \displaystyle \bm{x/a+y/b+z/c=1} x/a+y/b+z/c=1
其中a,b,c分别是该平面在x,y,z轴的截距（比如a是与x轴交点的横坐标）
一些应用
已知平面方程，找出平面上不共线的三个点
已知平面的一般式方程 a x + b y + c z + d = 0 \bm{ax+by+cz+d=0} ax+by+cz+d=0，由于 a , b , c 不全为 0 \bm{a,b,c}不全为0 a,b,c不全为0，可以直接分类讨论：
a ≠ 0 \bm{a \ne 0} a=0时，点 ( − d a , 0 , 0 ) , ( − c + d a , 0 , 1 ) , ( − b + d a , 1 , 0 ) \bm{(-\frac{d}{a},0,0),(-\frac{c+d}{a},0,1),(-\frac{b+d}{a},1,0)} (−ad,0,0),(−ac+d,0,1),(−ab+d,1,0)在平面上且三点不共线；
b ≠ 0 \bm{b \ne 0} b=0时，点 ( 0 , − d b , 0 ) , ( 0 , − c + d b , 1 ) , ( 1 , − a + d b , 0 ) \bm{(0,-\frac{d}{b},0),(0,-\frac{c+d}{b},1),(1,-\frac{a+d}{b},0)} (0,−bd,0),(0,−bc+d,1),(1,−ba+d,0)在平面上且三点不共线；
c ≠ 0 \bm{c \ne 0} c=0时，点 ( 0 , 0 , − d c ) , ( 0 , 1 , − b + d c ) , ( 1 , 0 , − a + d c ) \bm{(0,0, -\frac{d}{c}),(0,1,-\frac{b+d}{c}),(1,0,-\frac{a+d}{c})} (0,0,−cd),(0,1,−cb+d),(1,0,−ca+d)在平面上且三点不共线。