特殊的矩阵与特殊的矩阵关系———实对称、正定、对角、零矩阵

一、特殊的矩阵

1、实对称矩阵

定义:都是实数,且

性质:

(1)可以用特征值来求A的大小

(2)可以得到A的秩

(3)必定可以相似对角化

运用:

与实对称矩阵A合同的矩阵B,必定是实对称矩阵,这一性质可以用来排除某些选项

2、对角矩阵

定义:只有主对角线上有元素的矩阵

性质:

(1)对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算,且结果仍为对角阵

运用:

(1)特征值,秩

(2)证明A,B相似的中介

3、正定矩阵

定义:二次型,恒有,则称实对称矩阵A为正定矩阵

n阶正定矩阵的充分必要条件

(1)A的正惯性指数是n

(2)A与E合同

(3)特征值均为正数

(4)各阶顺序主子式均大于0

必要条件:

(1)

(2)

4、零矩阵

定义:所有元素均为0

特殊的性质:

(1)若, 则。这是错误的!逆命题也是不对的。

(2)若 ,则B可逆。是错误的!

(3)若存在非零解,则A的秩小于n
5、可逆矩阵

(1)

(2)

如果A可逆,则Ax = 0 ,存在非零解
6、正交矩阵

(1)

(2)

(3)

二、特殊矩阵关系

1、相似

(1)

(2) 可用来判断A,B是否相似

2、合同

(1)正、负惯性指数相同

(2)有相同的规范型

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