[1 行列式和矩阵的比较](#1 行列式和矩阵的比较)

[2 简单总结矩阵与行列式的不同](#2 简单总结矩阵与行列式的不同)

[3 加减乘除的不同](#3 加减乘除的不同)

[3.1 加法不同](#3.1 加法不同)

[3.2 减法不同](#3.2 减法不同)

[3.3 标量乘法/数乘](#3.3 标量乘法/数乘)

[3.3.1 标准的数乘对比](#3.3.1 标准的数乘对比)

[3.3.2 其他数乘对比](#3.3.2 其他数乘对比)

[3.4 乘法](#3.4 乘法)

[4 初等线性变换的不同](#4 初等线性变换的不同)

[4.1 对矩阵进行线性变换](#4.1 对矩阵进行线性变换)

[4.2 对行列式进行线性变换呢？](#4.2 对行列式进行线性变换呢？)

1 行列式和矩阵的比较

如果矩阵行数列数相等，那么这个矩阵是方阵，只有方阵才有行列式
行列式必须是行列数相等。
行列式是方阵的一种特殊运算，加减乘除规则都和矩阵不同

2 简单总结矩阵与行列式的不同

区别1

矩阵是一个n*m的数表矩阵是多个向量 ; 矩阵的行数和列数可以不同;
行列式是一个n阶的方阵;

区别2

矩阵不能从整体上被看成一个数, 矩阵是多个向量 ;
行列式最终可以算出来变成一个数;

区别3

加法不同
减法不同
数乘不同
乘法完全不同，不可比

区别4

线性变化的交换，行列式不同
线性变化的倍数，行列式不同
线性变化的倍加，行列式不变，是相同的

3 加减乘除的不同

3.1 加法不同

矩阵加法，两个矩阵都是n*m，A+B = 对应元素相加
行列式加法，两个矩阵都是n*m，A+B = 对应元素相加

3.2 减法不同

减法的差别，参考加法

3.3 标量乘法/数乘

3.3.1 标准的数乘对比

矩阵的标量乘法 λ*A=λ*每个元素，*A*B=A*λ*B
行列式的标量乘法，λ*|A|=λ*某1行/列

3.3.2 其他数乘对比

矩阵的标量乘法（λ*A）=λ*（A）和标准的数乘无差别
行列式的标量乘法，|λ*A|=λ^n*|A| ，其中n是满秩矩阵A的秩/维度
原因是，每行的λ 都可以提出来，因此是n 个λ 相乘=λ^n

3.4 乘法

矩阵乘法

矩阵乘法：点乘
矩阵乘法：叉乘

行列数乘法： |Ann*Bnn| =|Ann|*|Bnn|
行列数乘法： |2Ann*Bnn| =|2Ann|*|Bnn| =2^n*|Ann|*|Bnn|

4 初等线性变换的不同

线性变换包含，行的线性变换和列的线性变换

行的线性变换

行之间，交换

某行乘以倍数

某行乘倍数+到其他行

列的线性变换

列之间，交换

某列乘以倍数

某列乘倍数+到其他列

4.1 对矩阵进行线性变换

无论是线性行变换，还是线性列变换，矩阵的不变
矩阵进行线性变换后的结果

线性变换前后系统的特征值不变；
线性变换前后系统的传递函数矩阵不变；

4.2 对行列式进行线性变换呢？

**交换：**如果交换行列式|A| 的任意两行/列，增加一个负号-
**倍数：**如果行列式|A| 某1行或列*λ，|A| 变成 λ*|A|
**倍加：**如果行列式|A| 某1行或列*λ后，再加到另外某1行/列，|A| 不变还是=|A|
总结，只有进行倍加的线性变换之后，行列式才不变化

解释原因

因为行列式其实代表有向的面积比，所以交换行列式|A| 的任意两行/列，增加一个负号-
因为行列式的标量乘法 λ*|A|= 把行列式的某1行/列* λ，所以行列式|A| 某1行或列*λ，|A| 变成 λ*|A|

因为行列式其实代表有向的面积比，所以行列式|A| 某1行或列*λ后，再加到另外某1行/列，|A| 不变还是=|A|

线性代数的学习和整理12: 矩阵与行列式，计算上的差别对比