大家好，我是 方圆。关于各类区间和问题有很多种解法，我们可以根据题目要求选择解题的方向：
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数组不变，区间查询：前缀和、树状数组和线段树
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数组单点查询，区间查询：树状数组 和线段树
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数组区间修改，单点查询：差分 和线段树
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数组区间修改，区间查询：线段树
树状数组是其中能解决问题最多的，而且它相比于线段树代码量更少更简单，是我们 优先选择的方法 。在本文我们对线段树进行介绍，并在文末附上相关的习题供大家练习。如果大家想要找刷题路线的话，可以参考 Github: LeetCode。
树状数组
树状数组（BIT, Binary Indexed Tree）是简洁优美的数据结构，它能在很少的代码量下支持 单点修改 和 区间查询 ，我们先以 a[] {1, 2, 3, 4, 5, 6} 数组为例建立树状数组看一下树状数组的样子：
可以发现：不是所有节点都是连接在一起的，c1, c2, c3, c4 和 c5, c6 分别构成了两棵树；奇数索引位置的节点只管辖一个数组元素（我们例子中以 1 为起始索引）。那么这个树状数组是怎么计算和推导出来的呢？
管辖的区间
树状数组的每个元素会管辖多少个数组元素？也就是说每个元素的区间长度是多少？我们从上图中已经知道了奇数的树状数组元素只管辖一个元素，区间为 cx = x, x，那么我们只需再研究下偶数元素管辖的区间长度即可。
- cy 所管辖的区间长度为 2k ，其中 k 为 y 的 2 进制表示中最低位 1 后面所有 0 的数量；cy 所管辖的区间为：y - 2^k^ + 1, y
我们以 c4 为例，它管辖多少个元素呢？4 的 2 进制表示为 0100，最低位 1 后面 0 的数量为 2，即 k = 2，那么 2k = 22 = 4，所以它管辖的区间长度为 4，也就是 4 个数组元素，区间为 4 - 4 + 1, 4 = 1, 4。
父节点是谁？
现在我们知道每个元素所管辖的区间范围了，那么我们怎么才能知道它的父节点是谁呢？就比如说我们现在得到了 c1 元素，我们想知道它的父节点，要怎么计算呢？
- cx 的父节点为 cx + lowbit(x)
怎么回事？其中的 lowbit(x) 是什么东西？其实它的值和 2k 一致，其中 k 为 x 的 2 进制表示中最低位 1 后面所有 0 的数量，熟悉不熟悉？这个 lowbit(x) 和我们上文中计算该元素所管辖区间长度的值一致！这不就简单了！
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lowbit(x) 的计算方法：lowbit(x) = x & -x
我们以计算 c2 为例，lowbit(2) = 2 & -2，其中 2 的 2 进制表示为 0010，-2 的 2 进行表示为 1110，它的计算方法为将 2 的所有非符号位二进制全部取反后再加 1，即 1101 + 1 = 1110，执行 & 运算后结果为 0010，十进制表示为 2，与 21 值一致。lowbit 的计算用代码表示为：
javaint lowbit(int x) { return x & -x; }
我们以 c1 节点为例计算下它的父节点是谁，lowbit(1) = 1 & -1 = 0001 & 1111 = 0001 = 1，那么它的父节点为 c1 + 1 = c2，与图上表示的一致。
现在我们已经知道如何通过计算来创建树状数组了， 接下来我们要看下它的应用。
区间查询
区间查询我们先讨论计算前 N 项和的方法，比如我们现在要查询前 6 项和，我们来看下它查询的过程：
- 从 c6 开始找子节点，有 c6 管辖的区间为 5, 6，那么再往下找需要找 c4，它的区间为 1, 4，计算这两个节点的和即可。
那么从 c6 跳到 c4 是如何计算出来的呢？我们可以通过 c6 区间的下界减 1 来得到，转换成公式表示即为 x - lowbit(x) = 6 - 2 = 4，当它跳到 c4 时发现已经满足求和条件，不再向下跳而结束查找，而且我们可以通过计算 4 - lowbit(4) = 4 - 4 = 0 ，可以发现当 x - lowbit(x) = 0 时为结束查找的条件。我们用代码来表示为：
java
int query(int x) {
int res = 0;
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) {
res += c[i];
}
return res;
}那么我们计算区间 3, 6 的和该如何计算呢？我们从图中可以发现，先计算出1, 6 和 1, 2 的和，再使用前者减去后者即为所得，用代码表示为：
java
int query(int left, int right) {
return query(right) - query(left - 1);
}单点修改
如果我们要修改 ax 的值，我们仅需要修改所有管辖了 ax 的 cy 即可，而 ax 可能会被多个 cy 管辖，这些所有的 cy 节点该如何确定呢？我们可以回头再去看看前面的树状数组配图，比如我们要修改 a1 的值，那么我们需要修改 c1, c2 和 c4 ，能不能发现它是在不断的 跳父节点 修改？所以，如果我们要修改数组中某个元素的值，树状数组的更新则是不断地更新父节点值。好，我们直接上代码吧：
java
// 将 index 索引处的值更新为 num
void update(int index, int num) {
a[index] = num;
add(index, num - a[index]);
}
// 更新 c[index] 的值，变化差值为 val
void add(int index, int val) {
for (int i = index; i <= c.length; i += lowbit(i)) {
c[i] += val;
}
}建树
好了，区间查询和单点修改我们都讲完了，但是从头到尾我们还没说过树状数组是怎么建立的呢。我们可以想一下，c 数组初始化时每个索引处的值都为 0，建树仅需要将 a 数组中所有值都在树状数组中执行单点修改即可：
java
public BinaryIndexedTree(int[] a) {
this.a = a;
this.c = new int[a.length + 1];
for (int i = 0; i < a.length; i++) {
add(i + 1, a[i]);
}
}到这里我们基本上已经将树状数组讲解完毕了，它的全量代码如下：
java
public class BinaryIndexedTree {
int[] a;
int[] c;
public BinaryIndexedTree(int[] a) {
this.a = a;
this.c = new int[a.length + 1];
for (int i = 0; i < a.length; i++) {
add(i + 1, a[i]);
}
}
// 将 index 索引处的值更新为 num
void update(int index, int num) {
a[index] = num;
add(index, num - a[index]);
}
// 更新 c[index] 的值，变化差值为 val
void add(int index, int val) {
for (int i = index; i < c.length; i += lowbit(i)) {
c[i] += val;
}
}
int query(int left, int right) {
return query(right) - query(left - 1);
}
// 查询前缀和的方法
int query(int x) {
int res = 0;
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) {
res += c[i];
}
return res;
}
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
}我们需要掌握或背过这个模板，并不断的做题练习。
相关题目
本题是最典型的树状数组的应用，涉及单点修改和区间查询，使用线段树修改对应索引位置的数即可。
本题是求区间和线段树的变体，它求的是区间异或结果，异或运算的特点是二进制位相同的异或计算结果为 0，不同的异或计算结果为 1，我们可以根据这个特点计算进行区间异或计算，比如说我们要查询区间 3, 5 的异或结果，那么可以使用 1, 5 区间结果异或 1, 2 区间结果，相当于在区间 1, 5 中去掉了 1, 2。
本题是对上述使用线段树的变体，前两道题中的线段树记录的是所有数组中的元素值，而本题的线段树记录的是数组中各个元素出现的次数，而且题目要求所有数字不同，这体现在线段树中就是出现过的数字被标记为 1，未出现过的数字被标记为 0。全局倒置和局部倒置相当于是计算逆序对的数量，全局倒置是在线段树中查询区间 (x, n] 中出现数字的数量（x 为当前数），局部倒置更加简单，判断当前数是否比前一个数小即可。
本题和上一题类似，也是标记数值出现的次数，但是解法可能没办法一下就想到。我们每次标记士兵 i 和士兵 k，当 ratingi < ratingk 时统计区间 (i, k) 内士兵 j 的数量，当 ratingi > ratingk 时查询区间 (k, i) 内士兵 j 的数量，并且每次统计完成后需要将线段树标记清零，避免造成不符合题意的统计结果，时间复杂度为 O(n2logm)。
说实话，这道题我第一次看答案都没写出来。现在我们从头捋一下，一步步地把题解写出来。根据题目中提到子数组 区间和 ，且不涉及区间的修改，我们能够想到使用前缀和的方法来求解，根据 前缀和作差能够计算出任意区间和 的特点，我们再进一步考虑如何实现。
我们记前 i 项的前缀和为 s，s = sum0, i，其中 0 <= i <= nums.length - 1，其中必然存在某区间满足题意要求，我们记 s = sum0, k + sumk + 1, i，其中 k < i，若 sumk + 1, i 符合题意要求，则有：
那么我们可以根据以上结果得出，任意区间 0, i 内符合题意的数量等于该区间内前缀和满足 s - upper, s - lower 条件的数量（i 为我们当前处理的索引位置，s 为当前 i 项前缀和，k 为已经处理过的索引位置），这样我们能够使用树状数组标记前缀和的值（sum0, k），并计算区间内值的数量得出结果。但是由于数组中每个数范围很大，会导致值域爆炸，所以需要采用离散化的方法，这样才能在树状数组中对值进行标记。
离散化 是指当我们只关心数据的大小关系 时，用排名 代替原数据进行处理的一种预处理方法。离散化本质上是一种哈希，它在保持原序列大小关系的前提下把其映射成正整数。当原数据很大或含有负数、小数时，难以表示为数组下标，导致一些算法和数据结构（如BIT）无法运作，这时我们就可以考虑将其离散化。
好了，基本思路已经确定了，我们看下具体代码实现，关注其中的注释即可：
java
public int countRangeSum(int[] nums, int lower, int upper) {
// 使用 set 记录下所有的前缀和前缀和需要满足的题意范围的值，供我们做离散化使用
// 之所以使用 set 是因为我们只需要知道它在树状数组中的位置，而不要求它的数量
Set<Long> set = new HashSet<>();
long preSum = 0L;
// 需要将前缀和 0 也标记进来，它是原数组索引 0 处值的前缀和
set.add(preSum);
for (int j : nums) {
preSum += j;
set.add(preSum);
set.add(preSum - upper);
set.add(preSum - lower);
}
// 所有的值都有了，我们进行离散化处理
ArrayList<Long> list = new ArrayList<>(set);
Collections.sort(list);
// 使用 hashmap 来保存值对应在树状数组的索引
HashMap<Long, Integer> map = new HashMap<>();
for (int i = 0; i < list.size(); i++) {
map.put(list.get(i), i + 1);
}
int res = 0;
BinaryIndexedTree tree = new BinaryIndexedTree();
// 前缀和从 0 开始计算
preSum = 0L;
// 标记数组索引 0 前的前缀和在树状数组中的位置
tree.update(map.get(0L));
for (int num : nums) {
preSum += num;
int left = map.get(preSum - upper);
int right = map.get(preSum - lower);
res += tree.query(left, right);
// 更新该前缀和在树状数组中的位置
tree.update(map.get(preSum));
}
return res;
}
static class BinaryIndexedTree {
int[] tree;
public BinaryIndexedTree() {
// 数组长度为 1e5 我们需要把对应的范围值也保存上，所以需要 * 3
tree = new int[(int) 3e5 + 1];
}
public void update(int index) {
for (int i = index; i < tree.length; i += lowbit(i)) {
tree[i] += 1;
}
}
public int query(int left, int right) {
return query(right) - query(left - 1);
}
public int query(int index) {
int res = 0;
for (int i = index; i > 0; i -= lowbit(i)) {
res += tree[i];
}
return res;
}
private int lowbit(int i) {
return i & -i;
}
}