洛谷 P5201 [USACO19JAN] Shortcut G
题意
在一个带权无向连通图上，每个点有 a i a_i ai 只奶牛，奶牛会走最短路径到 1 1 1，如果有多条路径，选择字典序最小的，定义移动总时间为所有奶牛走到 1 1 1 的时间之和。你可以修建一条从任意一点到 1 1 1 的边权为 t t t 的边，奶牛只有在平时走到 1 1 1 的路上看到这条边才会走。求最多能减少多少移动总时间。
题解
题目保证了对于每个点都有唯一的路径走到 1 1 1，那么可以建出一棵树，根节点为 1 1 1。
然后统计一下子树中奶牛数量总和，对于每个点尝试建时间为 t t t 的新边，可以 O ( 1 ) O(1) O(1) 求出减少的移动总时间。设 j j j 为 i i i 的子树中的节点，则减少的时间为 ( d i s i − t ) ∑ j a j (dis_i-t)\sum\limits_{j}a_j (disi−t)j∑aj。
时间复杂度 O ( n ) O(n) O(n)。
代码
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 50005;
int n, m, t, a[N], vis[N];
LL dis[N], cnt[N], ans = 0;
int cn1 = 0, fi1[N], nx1[N << 1], to1[N << 1], va1[N << 1], cn2 = 0, fi2[N], nx2[N << 1], to2[N << 1];
void ad1(int u, int v, int w) {
cn1++, nx1[cn1] = fi1[u], fi1[u] = cn1, to1[cn1] = v, va1[cn1] = w;
cn1++, nx1[cn1] = fi1[v], fi1[v] = cn1, to1[cn1] = u, va1[cn1] = w;
}
void ad2(int u, int v) { cn2++, nx2[cn2] = fi2[u], fi2[u] = cn2, to2[cn2] = v; }
struct node {
int r;
LL dis;
bool operator < (const node &T) const { return dis > T.dis; }
};
priority_queue<node> pq;
void dij(int r) {
memset(dis, 0x3f, sizeof(dis)), dis[r] = 0;
pq.push((node){r, 0});
while (!pq.empty()) {
node h = pq.top();
pq.pop();
if (vis[h.r]) continue;
vis[h.r] = 1;
for (int i = fi1[h.r]; i; i = nx1[i])
if (dis[to1[i]] > dis[h.r] + va1[i])
dis[to1[i]] = dis[h.r] + va1[i], pq.push((node){to1[i], dis[to1[i]]});
}
}
void dfs(int r) {
cnt[r] = a[r];
for (int i = fi2[r]; i; i = nx2[i]) dfs(to2[i]);
for (int i = fi2[r]; i; i = nx2[i]) cnt[r] += cnt[to2[i]];
if (t < dis[r]) ans = max(ans, (dis[r] - t) * cnt[r]);
}
int main() {
scanf("%d%d%d", &n, &m, &t);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1, u, v, w; i <= m; i++) scanf("%d%d%d", &u, &v, &w), ad1(u, v, w);
dij(1);
for (int i = 2; i <= n; i++) {
int x = n;
for (int j = fi1[i]; j; j = nx1[j])
if (dis[i] == dis[to1[j]] + va1[j])
x = min(x, to1[j]);
ad2(x, i);
}
dfs(1);
printf("%lld", ans);
return 0;
}