2022 ICPC 济南 E. Identical Parity (扩欧)
大意：给出一个 n 和一个 k ， 问是否能构造一个长 n 的排列使得所有长 k 的连续子序列和的奇偶性相同。
思路：通过分析可知 ， 任两个间隔 k - 1 的元素奇偶性必然相同 ， 这样的话 ， 问题就转化成了
（ n % k ）个（ ⌊ n k ⌋ + 1 ）和（ k − n % k ）个（ ⌊ n k ⌋ ）是否能组成（ ⌊ n 2 ⌋ ）和（ n − ⌊ n 2 ⌋ ）的问题 （n ~\% ~k ~）个（\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor +1）和（k-n~\%~k）个（\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor）是否能组成（\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor）和（n - \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor）的问题 （n % k ）个（⌊kn⌋+1）和（k−n % k）个（⌊kn⌋）是否能组成（⌊2n⌋）和（n−⌊2n⌋）的问题
很自然的就可以想到 01 背包去解决这个问题 ， 但是显然 n 和 k 的范围太大了 ， 无法使用 01 背包去解决这个问题。 于是转化问题 ， 考虑现有范围的 x 和 y 是否能满足以下式子。
（ ⌊ n k ⌋ + 1 ） ∗ x + （ ⌊ n k ⌋ ） ∗ y = （ ⌊ n 2 ⌋ ） （\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor +1）*x~+~（\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor）*y = （\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor） （⌊kn⌋+1）∗x + （⌊kn⌋）∗y=（⌊2n⌋）
带入扩欧得到通解：
x = x 0 ∗ c g c d ( a , b ) + k ∗ b g c d ( a , b ) x=x_0*{c\over gcd(a,b)}+{k*b\over gcd(a,b)} x=x0∗gcd(a,b)c+gcd(a,b)k∗b
y = y 0 ∗ c g c d ( a , b ) − k ∗ a g c d ( a , b ) y=y_0*{c\over gcd(a,b)}-{k*a\over gcd(a,b)} y=y0∗gcd(a,b)c−gcd(a,b)k∗a
根据已有的 x 的范围 和 y 的范围分别求出两个 k 的范围 ， 判断这两个区间是否相交即可。
易错点：是否可以通过 x 的范围求出对应 k 的范围然后带入求 y 的范围 ？显然是可以的 ， 但是这样求出的 y 的范围区间是不连续的 ， 也就不能判交。
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define int long long
const int N = 2e6 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef pair<int,int>PII;
int n , t , k;
int exgcd(int a , int b , int &x , int &y){
if(b == 0){ x = 1; y = 0; return a;}
int g = exgcd(b , a % b , y , x);
y -= a / b * x;
return g;
}
signed main(){
IOS
cin >> t;
while(t --){
cin >> n >> k;
if(n % k == 0){
int num = n / k , od , ev;
ev = n / 2;
od = n - ev;
if(ev % num == 0 && od % num == 0){
cout << "Yes" << "\n";
}else{
cout << "No" << "\n";
}
}else{
int a = n / k , b = n / k + 1 , c = n / 2;
int cntb = n % k , cnta = k - n % k;
int x , y , gcds;
gcds = exgcd(a , b , x , y);
a /= gcds;b /= gcds;c /= gcds;
int k1_max = floor((double)(cnta - x * c) / (double) b);
int k1_min = ceil((double)(0 - x * c) / (double) b);
int k2_max = floor((double)(y * c) / (double) a);
int k2_min = ceil((double)(y * c - cntb) / (double) a);
if(k1_min > k1_max || k2_min > k2_max){
cout << "No\n";
}else{
if(min(k2_max , k1_max) >= max(k1_min , k2_min)){
cout << "Yes\n";
}else{
cout << "No\n";
}
}
}
}
return 0;
}
//freopen("文件名.in","r",stdin);
//freopen("文件名.out","w",stdout);