拉格朗日插值算法原理及简单示例

拉格朗日插值法，是一种通过巧妙地构造一组基函数并将它们线性组合起来，得到一个曲线精准通过所有离散点的表达式的方法，通常用来预测中间未知点的值。

一、算法原理

给定一组点\((x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)\)，构造一个次数不超过 n 的多项式\(L(x)\)，满足 \(L(x_i)=y_i, i=1,2,...,n\)，函数曲线严格穿过了所有已知点。

表达式的构造采用这样一种巧妙的形式，基于已知点自变量构造分式，使其在已知点处恒为1，其他恒为0，即

\[L(x)=\sum_{i=0}^{n}{\left( y_i\cdot\prod_{j=0 \\ j\ne i}^{n} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}\right)} \]

其中\(\prod_{j=0 \\ j\ne i}^{n} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}\)称为拉格朗日基函数，它在\(x_i\)的值为1，其他为0。

这样，函数刚好在\(x_i\)处取得值\(y_i\)。

二、示例

现基于三个点(1,2)、(2,3)、(3,5)，构造拉格朗日插值函数，并计算在 x=2.5 处的函数值。

根据已知点，由拉格朗日插值算法构造函数为

\[\begin{aligned} L(x) &=y_0\cdot\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}+y_1\cdot\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}+y_2\cdot\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} \\ &=2\cdot\frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}+3\cdot\frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}+5\cdot \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)} \end{aligned} \]

当x=2.5时，计算得y=3.875。

三、Python实现

python 复制代码

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拉格朗日插值算法示例：基于三个点(1,2)、(2,3)、(3,5)，构造拉格朗日插值函数，并计算在 x=2.5 处的函数值。
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def lagrange_interpolation(x_points, y_points, x):
    """
    拉格朗日插值法（三点版）
    :param x_points: 已知点的x坐标列表，长度为3
    :param y_points: 已知点的y坐标列表，长度为3
    :param x: 需要插值的x值
    :return: 插值得到的y值
    """
    # 解包三个已知点的x坐标
    x0, x1, x2 = x_points
    # 解包三个已知点的y坐标
    y0, y1, y2 = y_points

    # 计算三个拉格朗日基函数
    l0 = ((x - x1) * (x - x2)) / ((x0 - x1) * (x0 - x2))
    l1 = ((x - x0) * (x - x2)) / ((x1 - x0) * (x1 - x2))
    l2 = ((x - x0) * (x - x1)) / ((x2 - x0) * (x2 - x1))

    # 计算插值结果
    y = y0 * l0 + y1 * l1 + y2 * l2
    return y


# 示例：三个已知点 (1,2)、(2,3)、(3,5)
x_points = [1, 2, 3]
y_points = [2, 3, 5]

# 计算x=2.5处的插值结果
interpolated_x = 2.5
interpolated_y = lagrange_interpolation(x_points, y_points, interpolated_x)

# 输出结果
print(f"已知点：x={x_points}, y={y_points}")
print(f"插值点 x={interpolated_x} 对应的y值为：{interpolated_y:.4f}")

# 验证：计算已知点的插值结果（应该等于原y值）
print("\n验证已知点插值结果：")
for x in x_points:
    y = lagrange_interpolation(x_points, y_points, x)
print(f"x={x} 插值结果：y={y:.4f} (原y值：{y_points[x_points.index(x)]})")

End.