线性变换

一个将向量空间V映射到向量空间W的映射L，如果对所有的 v 1 , v 2 ∈ V v_1,v_2\in V v1,v2∈V及所有的标量 α \alpha α和 β \beta β，有 L ( α v 1 + β v 2 ) = α L ( v 1 ) + β L ( v 2 ) L(\alpha v_1+\beta v_2)=\alpha L(v_1)+\beta L(v_2) L(αv1+βv2)=αL(v1)+βL(v2)

则称L为V到W上的一个线性变换，记为 L : V → W L:V\rightarrow W L:V→W

判断方法：若L为V到W上的一个线性变换，等价于：
L ( v 1 + v 2 ) = L ( v 1 ) + L ( v 2 ) ; L ( λ v 1 ) = λ L ( v 1 ) L(v_1+v_2)=L(v_1)+L(v_2); L(\lambda v_1) = \lambda L(v_1) L(v1+v2)=L(v1)+L(v2);L(λv1)=λL(v1)

表示矩阵

对任一矩阵 A m ∗ n A_{m*n} Am∗n，可以定义一个由 R n R^n Rn到 R m R^m Rm的线性变换 L A L_A LA，称A为 L A L_A LA的表示矩阵。而每一线性变换均可由矩阵来定义，如果是 R n R^n Rn上的线性算子，则其对应矩阵为n阶方阵。

线性算子

如果V与W相同，称 L : V → V L:V\rightarrow V L:V→V为V上的一个线性算子，是一个向量空间到其自身的线性变换。

R 2 R^2 R2中特殊的线性变换

示意图见原文

旋转变换算子

A = ( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) A=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} A=(cosθsinθ−sinθcosθ)

绕逆时针旋转 θ \theta θ角

反射变换算子

B 1 = ( 1 0 0 − 1 ) B_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} B1=(100−1)

x轴对称
B 2 = ( − 1 0 0 1 ) B_2=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} B2=(−1001)

y轴对称

投影变换算子

C 1 = ( 1 0 0 0 ) C_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} C1=(1000)

只取了x坐标，所以是投影到x轴
C 2 = ( 0 0 0 1 ) C_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} C2=(0001)

只取了y坐标，所以是投影到y轴

伸压变换算子

D 1 = ( t 0 0 1 ) D_1=\begin{pmatrix} t & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} D1=(t001)

x坐标缩放t倍，y不变
D 2 = ( 0 0 0 t ) D_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & t \end{pmatrix} D2=(000t)

x坐标不变，y缩放t倍

剪切变换算子

E 1 = ( 1 0 k 1 ) E_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{pmatrix} E1=(1k01)

x不变，将x坐标的k倍加到y上，离y轴越远(x绝对值越大)形变越大（垂直变换）
E 2 = ( 1 k 0 1 ) E_2=\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} E2=(10k1)

y不变，将y坐标的k倍加到x上，离x轴越远(y绝对值越大)形变越大（水平变换）