主成分分析是指在尽量减少失真的前提下，将高维数据压缩成低微的方式。
减少失真是指最大化压缩后数据的方差。
记 P P P矩阵为 n × m n\times m n×m（ n n n行 m m m列）的矩阵，表示一共有 m m m组数据，每组数据有 n n n个维度。
欲将此数据集降为 k k k维，即求 k × m k\times m k×m的矩阵 A A A。
思路是获得一种针对 n n n维的变换方法，将 n n n位列向量转为 k k k位列向量。然后对全部 m m m组数据分别应用此变换，这样就得到答案。
变换方法是使用形如 A = X P A=XP A=XP的算式。问题变为求 k × n k\times n k×n矩阵 X X X。
引入协方差的概念。
协方差 是刻画两个列向量 X = { x 1 , x 2 , ... , x n } T , Y = { y 1 , y 2 , ... , y n } T X=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}^\text{T},Y=\{y_1,y_2,\dots,y_n\}^\text{T} X={x1,x2,...,xn}T,Y={y1,y2,...,yn}T的相异程度。对于同一行来说，两个列向量在此行的数值相差越大，就会使协方差越大。
C o v ( X , Y ) = ∑ i = 1 n ( x i − x ^ ) ( y i − y ^ ) Cov(X,Y)=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\hat{x})(y_i-\hat{y})} Cov(X,Y)=i=1∑n(xi−x^)(yi−y^)
接下来的部分需要线性代数理论进行推导，在此只给出结论。
对于数据集的 n n n个维度来说，方差越大，说明数据之间的差异越大，说明越能区分不同数据，说明此维度越重要，越应该被保留。可以用协方差刻画差异。
本例中将关于 n n n维的所有协方差写成一个 n n n阶方阵 Q Q Q，其中 Q i , j Q_{i,j} Qi,j表示 C o v ( P i , P j ) Cov(P_i,P_j) Cov(Pi,Pj)， P i P_i Pi表示 P P P的第 i i i行，也就是所有数据的第 i i i个维度。
至此便直接给出计算方法。
- 计算 Q Q Q；
- 求 Q Q Q的 n n n个特征值及其对应的特征（行）向量，将它们按照特征值从大到小的顺序排列，组成新的方阵 R R R；
- 取 R R R的前 k k k行，即 k × n k\times n k×n的矩阵 X X X；
- A = X P A=XP A=XP。