算法通关村十三关-白银:数字与数学高频问题

有很多解题技巧,需要持续积累

1.数组实现加法专题

如果让你用数组来表示一个数,如何实现加法呢?

理论上仍然从数组末尾向前挨着计算就行了,但是实现的时候会发现很多问题,例如需要进位该怎么办?

进一步拓展,两个数相加,一个用数组存储,另一个是普通的整数,如何处理?

再拓展,如果两个整数使用字符串表示呢?如果是要按照二进制加法的规则来呢?

1.1数组实现整数加法

LeetCode66
https://leetcode.cn/problems/plus-one/

思路分析

从后向前一直加就行,如果有进位就需要进位

重点关注:当进位导致数组长度变化的情况,如 [9,9,9],加1后变为[1,0,0,0],数组长度发生变化

代码实现

Java中巧妙处理数组长度变化

Java 复制代码
digits = new int[len+1];
digits[0] = 1
python 复制代码
def plusOne(digits):
    n = len(digits)
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        digits[i] += 1
        digits[i] %= 10
        if digits[i] != 0:
            return digits
    return [1] + digits
python 复制代码
def plusOne(digits):
    n = len(digits)
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        if digits[i] < 9:
            digits[i] += 1
            return digits
        digits[i] = 0
    digits.insert(0, 1)
    return digits

1.2字符串加法

给定两个字符串形式的非负整数 num1 和 num2,计算它们的和并同样以字符串形式返回

思路分析

从低到高逐位相加,如果当前和超过10,则向高位进一位

通过代码写出来

定义两个指针i和j,分别指向num1和num2的末尾,即最低位

定义一个变量add维护当前是否有进位

从末尾到开头逐位相加

注:两个数组位数不同,补0处理

代码实现

python 复制代码
def addString(num1, num2):
    i, j = len(num1) - 1, len(num2) - 1,
    ans = ""
    add = 0
    while i >= 0 or j >= 0 or add:
        x = num1[i] if i >= 0 else '0'
        y = num2[j] if j >= 0 else '0'
        result = int(x) + int(y) + add
        ans = str(result % 10) + ans
        add = result // 10
        i -= 1
        j -= 1
    return ans

1.3二进制加法

LeetCode67
https://leetcode.cn/problems/add-binary/

思路分析

方法1:中规中矩,参考上面字符串加法

方法2:先将其转换成十进制,加完之后转换成二进制

这么做实现非常容易,而且可以使用语言提供的方法直接转换

工程里可以这么干,稳定可靠,但是算法里不行,太简单了

代码实现

方法1:

python 复制代码
def addBinary(a, b):
    i, j = len(a) - 1, len(b) - 1,
    ans = []
    add = 0
    while i >= 0 or j >= 0 or add:
        result = add
        result += int(a[i]) if i >= 0 else 0
        result += int(b[j]) if j >= 0 else 0
        ans.append(str(result % 2))
        add = result // 2
        i -= 1
        j -= 1
    ans.reverse()
    return "".join(ans)


if __name__ == '__main__':
    print(addBinary('100', '111'))

2.幂运算

形式 a^b ,a的b次方,a为底数,b为指数

合法,不会出现a=0且b<=0的情况

关注底数和指数的数据类型和取值范围

如有的问题中,底数是正整数,指数是非负整数

有的问题中,底数是实数,指数是整数

LeetCode中,幂运算相关的问题主要是判断一个数是不是特定正整数的整数次幂,以及快速幂的处理

2.1求2的幂

LeetCode 231 2 的幂
https://leetcode.cn/problems/power-of-two/

思路分析

如果存在一个整数x,使得 2^x = n,则认为n是2的幂次方

方法1:除法

用除法逐步缩小n的值

首先判断 n 是否是正整数,n为0或者为负整数,返回false

n 是正整数,连续对n进行除以2的操作,直到n不能被2整除,如果 n==1,返回true,否则返回false

方法2:位运算

该方法与前面统计数字转换成二进制之后1的个数思路一致

当 n>0 时,考虑 n 的二进制表示

如果 n = 2^k,则n的二进制表示为1后面跟 k 个0

仅当 n 的二进制表示中只有最高位是1,其余位都是0,此时满足 n&(n-1)=0

代码实现

python 复制代码
class Solution:
    def isPowerOfTwo(self, n: int) -> bool:
        # 方法1:除法
        if n <= 0:
            return False
        while n % 2 == 0:
            n //= 2
        return n == 1
python 复制代码
class Solution:
    def isPowerOfTwo(self, n: int) -> bool:
        # 方法2:位运算
        return n>0 and n&(n-1) == 0

2.2求3的幂

LeetCode326
https://leetcode.cn/problems/power-of-three/

思路分析

方法1:除法

同上面求2的幂

方法2:技巧

给定的n是int型,其最大值为 2^31-1

不超过 2^31 的最大的3的幂是 3^19 = 1162261467

如果在 1~2^31-1内的数,如果是3的幂,则一定是能被 1162261467 整除

代码实现

方法1:除法

python 复制代码
class Solution:
    def isPowerOfThree(self, n: int) -> bool:
        # 方法1:除法
        if n<=0:
            return False
        while n%3==0:
            n//=3
        return n == 1

方法2:技巧

python 复制代码
class Solution:
    def isPowerOfThree(self, n: int) -> bool:
        # 方法2:技巧
        return n>0 and 3**19 % n == 0

拓展思考

这里将3换成 4,5,6,7,8,9可以吗?如果不可以,那如果只针对素数 3,5,7,11,13可以吗?

2.4求4的幂

LeetCode342
https://leetcode.cn/problems/power-of-four/submissions/

思路分析

方法1:除法

与求2的幂思路一致,数学方法一直除

方法2:利用2的次幂进行拓展来优化

如果n是4的幂,那么n一定是2的幂 满足 n&(n-1)==0

如果n是4的幂,n的二进制表示只有1个1,1后面必须有偶数个0,且1出现在从低位开始(从0开始)的第偶数个二进制位上

如 16 的二进制表示 10000

n为32为有符号整数,构建辅助二进制数

MASK = 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010

MASK = AAAAAAAA 16进制

方法3:取模

4^x≡(3+1) ^x ≡1^x≡1(mod 3)

如果 n是2的幂却不是 2 的幂,那么它可以表示成 4^× * 2,它除以3的余数一定为2。

因此我们可以通过n除以 3 的余数是否为 1来判断 n 是否是 4 的幂。

代码实现

方法1:

python 复制代码
class Solution:
    def isPowerOfFour(self, n: int) -> bool:
        # 方法1:除法
        if n<= 0:
            return False
        while n % 4 == 0:
            n //= 4
        return n == 1

方法2:

python 复制代码
class Solution:
    def isPowerOfFour(self, n: int) -> bool:
        # 方法2:2的幂的拓展
        return n>0 and n&(n-1)==0 and n&(0xaaaaaaaa) == 0

方法3:

python 复制代码
class Solution:
    def isPowerOfFour(self, n: int) -> bool:
        # 方法3:取模
        return n>0 and n&(n-1)==0 and n % 3 == 1
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