数学建模__动态规划

牛右刀薛面2023-09-16 16:35

动态规划就是，将任务每一步均记录下来，以便将来重复使用时能够直接调用

问题描述：给定n个物品，每个物品的重量是Wi,价值是Vi，但是背包最多能装下capacity重量的物品，问我们如何选择才能利益最大化。

这里涉及到建模过程，本文章主要讲解代码实现，建模过程较为简略。

使用dp $i$ $j$ 来表示在容量为j的情况下，前i件物品的最大化利益。

情况一：放入第i件物品前，发现j<weight $i$ ，因此dp $i$ $j$ 此时仍然是dp $i-1$ $j$ （也就是dp $i$ $j$ 没有发生变化）。

情况二：放入第i件物品时，发现j >= weight $i$ ，此时你放入这件物品与否要看放进去以后利益是如何变化的。

①不放入，那么dp $i$ $j$ 的值还是dp $i-1$ $j$ 。

②放入，那么dp $i$ $j$ 的值是dp $i-1$ $j-weight\[i$ ]+value $i$ 。（想一想对不对）

那么具体实现代码如下

py 复制代码

weight = [1,2,5,6,7,9]
value = [1,6,18,22,28,36]

num = 6
capicity = 13


def fun(num, capicity, weight, value):
    #构造一个num+1行，capicity+1列的二维数组
    #便于下标从1开始使用
    dp = np.array([[0]*(capicity+1)]*(num+1))
 

    #dp[i][j]表示第前i件物品在容量为j下的最大价值
    #最终需要知道dp[num][capicity]也就是dp[6][13]，在容量为13情况下前6件物品的最大价值是多少。
    #进一步的需要知道dp[][]
    for i in range(1,num+1):
        for j in range(1, capicity+1):
            if j >= weight[i-1]:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i-1]]+price[i-1])
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]

    print(dp)

fun(num, capicity, weight, value)

核心就在于这个动态转移方程。

d p $i$ $j$ = m a x { d p $i - 1$ $j$ , d p $i - 1$ $j − w e i g h t \[ i$ ] + v a l u e $i$ } dp $i$ $j$ = max\{dp $i-1$ $j$ ,dp $i-1$ $j-weight\[i$ ]+value $i$ \} dp $i$ $j$ =max{dp $i-1$ $j$ ,dp $i-1$ $j−weight\[i$ ]+value $i$ }

虽写下这篇笔记，但有关动态规划的问题还需多多研究，加深理解。