文章目录
- 引言
- 二、特征值与特征向量的性质
-
- [2.1 一般性质](#2.1 一般性质)
- [2.2 实对称矩阵特征值与特征向量的性质](#2.2 实对称矩阵特征值与特征向量的性质)
- 写在最后
引言
承接前文，了解了一些基本概念后，我们来继续学习有关特征值和特征向量的内容。
二、特征值与特征向量的性质
2.1 一般性质
定理 1 ------ 设 A \pmb{A} A 为 n n n 阶矩阵， λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,⋯,λn 为 A \pmb{A} A 的特征值，则有：
（1） λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n = t r ( A ) ; \lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=tr(\pmb{A}); λ1+λ2+⋯+λn=tr(A);
（2） λ 1 λ 2 ⋯ λ n = ∣ A ∣ . \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=|\pmb{A}|. λ1λ2⋯λn=∣A∣.
若 A \pmb{A} A 可逆，则 ∣ A ∣ ≠ 0 |\pmb{A}| \ne 0 ∣A∣=0 ，可知 A \pmb{A} A 的特征值均不为 0 。
定理 2 ------ 设 A \pmb{A} A 为 n n n 阶矩阵， λ 0 \lambda_0 λ0 为 A \pmb{A} A 的 k k k 阶特征值，则
（1）若 k = 1 k=1 k=1 ，即 λ 0 \lambda_0 λ0 为单特征值，则属于特征值 λ 0 \lambda_0 λ0 的线性无关的特征向量只有一个。
（2）若 k > 1 k>1 k>1 ，则属于特征值 λ 0 \lambda_0 λ0 的线性无关的特征向量个数不超过 k k k 个。
言下之意就是说，一个特征值对应多个特征向量，这些特征向量有些相关，有些无关。
实际上，一个特征值对应于无数个特征向量。
定理 3 ------ 设 A \pmb{A} A 为 n n n 阶矩阵，且 A α = λ 0 α \pmb{A\alpha}=\lambda_0\pmb{\alpha} Aα=λ0α （ α \pmb{\alpha} α 为非零向量）， f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0 ，令 f ( A ) = a n A n + ⋯ + a 1 A + a 0 E f(\pmb{A})=a_n\pmb{A}^n+\cdots+a_1\pmb{A}+a_0\pmb{E} f(A)=anAn+⋯+a1A+a0E ，则
（1）若 A \pmb{A} A 可逆，则有 A − 1 α = 1 λ 0 α \pmb{A^{-1}\alpha}=\frac{1}{\lambda_0}\pmb{\alpha} A−1α=λ01α ，即 1 / λ 0 1/\lambda_0 1/λ0 为 A − 1 \pmb{A}^{-1} A−1 的特征值， α \pmb{\alpha} α 为 A − 1 \pmb{A}^{-1} A−1 的特征向量；
（2）若 A \pmb{A} A 可逆，则有 A ∗ α = ∣ A ∣ λ 0 α \pmb{A^{*}\alpha}=\frac{|\pmb{A}|}{\lambda_0}\pmb{\alpha} A∗α=λ0∣A∣α ，即 ∣ A ∣ / λ 0 |\pmb{A}|/\lambda_0 ∣A∣/λ0 为 A ∗ \pmb{A}^{*} A∗ 的特征值， α \pmb{\alpha} α 为 A ∗ \pmb{A}^{*} A∗ 的特征向量；
（3） f ( A ) α = f ( λ 0 ) α f(\pmb{A})\pmb{\alpha}=f(\lambda_0)\pmb{\alpha} f(A)α=f(λ0)α ，即 f ( λ 0 ) f(\lambda_0) f(λ0) 为 f ( A ) f(\pmb{A}) f(A) 的特征值， α \pmb{\alpha} α 为 f ( A ) f(\pmb{A}) f(A) 的特征向量。
定理 4 ------ 设 A \pmb{A} A 为 n n n 阶矩阵，则 A \pmb{A} A 的不同特征值对应的特征向量线性无关。
证明： 设 λ 1 ≠ λ 2 \lambda_1 \ne \lambda_2 λ1=λ2 为 A \pmb{A} A 的两个不同特征值， λ 1 \lambda_1 λ1 对应的线性无关的特征向量为 ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ r \pmb{\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_r} ξ1,ξ2,⋯,ξr ， λ 2 \lambda_2 λ2 对应的线性无关的特征向量为 η 1 , η 2 , ⋯ , η s \pmb{\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_s} η1,η2,⋯,ηs ，令 k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ⋯ + k r ξ r + l 1 η 1 + l 2 η 2 + ⋯ + l s η s = 0 (1) k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_r\xi_r+l_1\eta_1+l_2\eta_2+\cdots+l_s\eta_s=\pmb{0}\tag{1} k1ξ1+k2ξ2+⋯+krξr+l1η1+l2η2+⋯+lsηs=0(1) 由 A ξ 1 = λ 1 ξ 1 , A ξ 2 = λ 1 ξ 2 , ⋯ , A ξ r = λ 1 ξ r , A η 1 = λ 2 η 1 , A η 2 = λ 2 η 2 , ⋯ , A η s = λ 2 η s \pmb{A\xi_1}=\lambda_1\pmb{\xi_1},\pmb{A\xi_2}=\lambda_1\pmb{\xi_2},\cdots,\pmb{A\xi_r}=\lambda_1\pmb{\xi_r},\pmb{A\eta_1}=\lambda_2\pmb{\eta_1},\pmb{A\eta_2}=\lambda_2\pmb{\eta_2},\cdots,\pmb{A\eta_s}=\lambda_2\pmb{\eta_s} Aξ1=λ1ξ1,Aξ2=λ1ξ2,⋯,Aξr=λ1ξr,Aη1=λ2η1,Aη2=λ2η2,⋯,Aηs=λ2ηs ，将 (1) 两边左乘 A \pmb{A} A 得 λ 1 ( k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ⋯ + k r ξ r ) + λ 2 ( l 1 η 1 + l 2 η 2 + ⋯ + l s η s ) = 0 (2) \lambda_1(k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_r\xi_r)+\lambda_2(l_1\eta_1+l_2\eta_2+\cdots+l_s\eta_s)=\pmb{0}\tag{2} λ1(k1ξ1+k2ξ2+⋯+krξr)+λ2(l1η1+l2η2+⋯+lsηs)=0(2) (2) - (1) × λ 2 \times\lambda_2 ×λ2 得 ( λ 1 − λ 2 ) ( k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ⋯ + k r ξ r ) = 0 (\lambda_1-\lambda_2)(k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_r\xi_r)=\pmb{0} (λ1−λ2)(k1ξ1+k2ξ2+⋯+krξr)=0 ，由 λ 1 ≠ λ 2 \lambda_1 \ne \lambda_2 λ1=λ2 可得 k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ⋯ + k r ξ r = 0 k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_r\xi_r=\pmb{0} k1ξ1+k2ξ2+⋯+krξr=0 ，由线性无关可得 k 1 = k 2 = ⋯ = k r = 0 k_1=k_2=\cdots=k_r=0 k1=k2=⋯=kr=0 ，同理， l 1 = l 2 = ⋯ = l s = 0 l_1=l_2=\cdots=l_s=0 l1=l2=⋯=ls=0 ，故 ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ r , η 1 , η 2 , ⋯ , η s \pmb{\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_r},\pmb{\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_s} ξ1,ξ2,⋯,ξr,η1,η2,⋯,ηs 线性无关。
定理 5 ------ 设 A \pmb{A} A 为 n n n 阶矩阵，则 A \pmb{A} A 可相似对角化（或与对角矩阵相似）的充分必要条件是 A \pmb{A} A 有 n n n 个线性无关的特征向量。
定理 6 ------ 设 A \pmb{A} A 为 n n n 阶矩阵， λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1,λ2 为 A \pmb{A} A 的两个不相等的特征值，有 A α = λ 1 α , A β = λ 2 β \pmb{A\alpha}=\lambda_1\pmb{\alpha},\pmb{A\beta}=\lambda_2\pmb{\beta} Aα=λ1α,Aβ=λ2β （ α , β \pmb{\alpha,\beta} α,β 为非零向量）。对任意的 a ≠ 0 , b ≠ 0 a\ne0,b\ne0 a=0,b=0 ，向量 a α + b β a\pmb{\alpha}+b\pmb{\beta} aα+bβ 一定不是 A \pmb{A} A 的特征向量。
证明： （反证法）不妨设 a α + b β a\pmb{\alpha}+b\pmb{\beta} aα+bβ 为特征向量，即有 A ( a α + b β ) = λ 0 ( a α + b β ) \pmb{A}(a\pmb{\alpha}+b\pmb{\beta})=\lambda_0(a\pmb{\alpha}+b\pmb{\beta}) A(aα+bβ)=λ0(aα+bβ) ，化简可得 a ( λ 1 − λ 0 ) α + b ( λ 2 − λ 0 ) β = 0 a(\lambda_1-\lambda_0)\pmb{\alpha}+b(\lambda_2-\lambda_0)\pmb{\beta}=\pmb{0} a(λ1−λ0)α+b(λ2−λ0)β=0 ，由定理 5 ， α , β \pmb{\alpha,\beta} α,β 线性无关，又是有 { a ( λ 1 − λ 0 ) = 0 a ( λ 2 − λ 0 ) = 0 \begin{cases} a(\lambda_1-\lambda_0)=0 \\ a(\lambda_2-\lambda_0)=0\\ \end{cases} {a(λ1−λ0)=0a(λ2−λ0)=0 从而有 λ 1 = λ 2 = λ 0 \lambda_1=\lambda_2=\lambda_0 λ1=λ2=λ0 ，与已知矛盾，故原命题成立。
2.2 实对称矩阵特征值与特征向量的性质
根据百度百科，实对称矩阵定义为：元素均为实数且转置等于本身的矩阵。
定理 1 ------ 设 A \pmb{A} A 为实对称矩阵，则 A \pmb{A} A 的特征值均为实数。
证明共轭和本身相等即可证明为实数。
定理 2 ------ 设 A \pmb{A} A 为实对称矩阵，则 A \pmb{A} A 的不同特征值对应的特征向量正交。
证明： 设 λ 1 ≠ λ 2 \lambda_1 \ne \lambda_2 λ1=λ2 为 A \pmb{A} A 的两个不同特征值，其对应的特征向量分别为 α 1 , α 2 \pmb{\alpha_1,\alpha_2} α1,α2 ，由 A α 1 = λ 1 α 1 \pmb{A\alpha_1}=\lambda_1\pmb{\alpha_1} Aα1=λ1α1 两边转置得 α 1 T A T = λ 1 α 1 T \pmb{\alpha_1^TA^T}=\lambda_1\pmb{\alpha_1^T} α1TAT=λ1α1T ，由实对称矩阵，可得 α 1 T A = λ 1 α 1 T \pmb{\alpha_1^TA}=\lambda_1\pmb{\alpha_1^T} α1TA=λ1α1T ，两边右乘 α 2 \pmb{\alpha_2} α2 ，得 α 1 T A α 2 = λ 1 α 1 T α 2 \pmb{\alpha_1^TA\alpha_2}=\lambda_1\pmb{\alpha_1^T\alpha_2} α1TAα2=λ1α1Tα2 ，由 A α 2 = λ 2 α 2 \pmb{A\alpha_2}=\lambda_2\pmb{\alpha_2} Aα2=λ2α2 可得 λ 2 α 1 T α 2 = λ 1 α 1 T α 2 \lambda_2\pmb{\alpha_1^T\alpha_2}=\lambda_1\pmb{\alpha_1^T\alpha_2} λ2α1Tα2=λ1α1Tα2 ，从而有 ( λ 2 − λ 1 ) α 1 T α 2 = 0 (\lambda_2-\lambda_1)\pmb{\alpha_1^T\alpha_2}=0 (λ2−λ1)α1Tα2=0 ，即 α 1 T α 2 = 0 \pmb{\alpha_1^T\alpha_2}=0 α1Tα2=0 ，故原命题得证。
定理 3 ------ 设 A \pmb{A} A 为实对称矩阵，则 A \pmb{A} A 一定可以相似对角化。特别地，存在正交矩阵 Q \pmb{Q} Q ，使得 Q T A Q = [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] , \pmb{Q}^T\pmb{AQ}=\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}, QTAQ= λ10⋮00λ2⋮0⋯⋯⋯00⋮λn , 其中 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,⋯,λn 为矩阵 A \pmb{A} A 的特征值。
写在最后
性质蛮多的，让我想起了当初学矩阵的秩的性质的时候，不过耐心看下来，各条性质之间都或多或少有关联。下一篇文章我们来看看关于矩阵的对角化理论。