二叉树(相关术语、创建、遍历、最大深度问题)梳理总结

Dream_sky分享2023-09-22 16:44

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文章目录

  • 一、二叉树
    • [1.1 树的基本定义](#1.1 树的基本定义)
    • [1.2 树的相关术语](#1.2 树的相关术语)
    • [1.3 二叉树的基本定义](#1.3 二叉树的基本定义)
    • [1.4 二叉查找树的创建](#1.4 二叉查找树的创建)
      • [1.4.1 实现思路](#1.4.1 实现思路)
      • [1.4.2 代码实现](#1.4.2 代码实现)
      • [1.4.3 测试](#1.4.3 测试)
    • [1.5 二叉树的基础遍历](#1.5 二叉树的基础遍历)
      • [1.5.1 前序遍历](#1.5.1 前序遍历)
      • [1.5.2 中序遍历](#1.5.2 中序遍历)
      • [1.5.1 后序遍历](#1.5.1 后序遍历)
    • [1.6 二叉树的层序遍历](#1.6 二叉树的层序遍历)
      • [1.6.1 实现步骤](#1.6.1 实现步骤)
      • [1.6.2 代码实现及测试](#1.6.2 代码实现及测试)
    • [1.7 二叉树的最大深度问题](#1.7 二叉树的最大深度问题)
      • [1.7.1 实现步骤](#1.7.1 实现步骤)
      • [1.7.2 代码实现及测试](#1.7.2 代码实现及测试)

一、二叉树

1.1 树的基本定义

树是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做"树"是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

树具有以下特点：

​1. 每个结点有零个或多个子结点；

​2. 没有父结点的结点为根结点；

​3. 每一个非根结点只有一个父结点；

​4. 每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树；

1.2 树的相关术语

结点的度： 一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；

叶结点： 度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点

分支结点： 度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点

结点的层次： 从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推

结点的层序编号： 将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。

树的度： 树中所有结点的度的最大值

树的高度(深度)： 树中结点的最大层次

森林： m（m>=0）个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林；给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树

孩子结点： 一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点

双亲结点(父结点)： 一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点

兄弟结点： 同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点

1.3 二叉树的基本定义

二叉树就是度不超过2的树(每个结点最多有两个子结点)

满二叉树：

一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

完全二叉树：

叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树

1.4 二叉查找树的创建

1.4.1 实现思路

插入方法put实现思想：

  1. 如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用

  2. 如果当前树不为空，则从根结点开始：

    2.1 如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；

    2.2 如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；

    2.3 如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可。

查询方法get实现思想：

从根节点开始：

  1. 如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
  2. 如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
  3. 如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。

删除方法delete实现思想：

  1. 找到被删除结点；
  2. 找到被删除结点右子树中的最小结点minNode
  3. 删除右子树中的最小结点
  4. 让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
  5. 让被删除结点的父节点指向最小结点minNode

查找二叉树中最小的键 : 找出指定树x中，最小键所在的结点
查找二叉树中最大的键 : 找出指定树x中，最大键所在的结点

1.4.2 代码实现

java 复制代码 
public class BinaryTree<Key extends Comparable<Key>, Value> {
    //记录根结点
    private Node root;
    //记录树中元素的个数
    private int N;

    private class Node {
        //存储键
        public Key key;
        //存储值
        private Value value;
        //记录左子结点
        public Node left;
        //记录右子结点
        public Node right;

        public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) {
            this.key = key;
            this.value = value;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }
    }

    //获取树中元素的个数
    public int size() {
        return N;
    }

    //向树中添加元素key-value
    public void put(Key key, Value value) {
        root = put(root, key, value);
    }

    //向指定的树x中添加key-value,并返回添加元素后新的树
    private Node put(Node x, Key key, Value value) {
        //如果x子树为空，
        if (x == null) {
            N++;
            return new Node(key, value, null, null);
        }

        //如果x子树不为空
        //比较x结点的键和key的大小：

        int cmp = key.compareTo(x.key);
        if (cmp > 0) {
            //如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树
            x.right = put(x.right, key, value);

        } else if (cmp < 0) {
            //如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树
            x.left = put(x.left, key, value);
        } else {
            //如果key等于x结点的键，则替换x结点的值为value即可
            x.value = value;
        }
        return x;
    }

    //查询树中指定key对应的value
    public Value get(Key key) {
        return get(root, key);
    }

    //从指定的树x中，查找key对应的值
    public Value get(Node x, Key key) {
        //x树为null
        if (x == null) {
            return null;
        }

        //x树不为null

        //比较key和x结点的键的大小
        int cmp = key.compareTo(x.key);
        if (cmp > 0) {
            //如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树
            return get(x.right, key);

        } else if (cmp < 0) {
            //如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树
            return get(x.left, key);
        } else {
            //如果key等于x结点的键，就找到了键为key的结点，只需要返回x结点的值即可
            return x.value;
        }

    }


    //删除树中key对应的value
    public void delete(Key key) {
        delete(root, key);
    }

    //删除指定树x中的key对应的value，并返回删除后的新树
    public Node delete(Node x, Key key) {
        //x树为null
        if (x == null) {
            return null;
        }

        //x树不为null
        int cmp = key.compareTo(x.key);
        if (cmp > 0) {
            //如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树
            x.right = delete(x.right, key);

        } else if (cmp < 0) {
            //如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树
            x.left = delete(x.left, key);
        } else {
            //如果key等于x结点的键，完成真正的删除结点动作，要删除的结点就是x；

            //让元素个数-1
            N--;
            //得找到右子树中最小的结点
            if (x.right == null) {
                return x.left;
            }

            if (x.left == null) {
                return x.right;
            }

            Node minNode = x.right;
            while (minNode.left != null) {
                minNode = minNode.left;
            }

            //删除右子树中最小的结点
            Node n = x.right;
            while (n.left != null) {
                if (n.left.left == null) {
                    n.left = null;
                } else {
                    //变换n结点即可
                    n = n.left;
                }
            }

            //让x结点的左子树成为minNode的左子树
            minNode.left = x.left;
            //让x结点的右子树成为minNode的右子树
            minNode.right = x.right;
            //让x结点的父结点指向minNode
            x = minNode;


        }

        return x;
    }

    //查找整个树中最小的键
    public Key min() {
        return min(root).key;
    }

    //在指定树x中找出最小键所在的结点
    private Node min(Node x) {

        //需要判断x还有没有左子结点，如果有，则继续向左找，如果没有，则x就是最小键所在的结点
        if (x.left != null) {
            return min(x.left);
        } else {
            return x;
        }
    }

    //在整个树中找到最大的键
    public Key max() {
        return max(root).key;
    }

    //在指定的树x中，找到最大的键所在的结点
    public Node max(Node x) {
        //判断x还有没有右子结点，如果有，则继续向右查找，如果没有，则x就是最大键所在的结点
        if (x.right != null) {
            return max(x.right);
        } else {
            return x;
        }
    }

    //获取整个树中所有的键
    public Queue<Key> preErgodic() {
        Queue<Key> keys = new Queue<>();
        preErgodic(root, keys);
        return keys;
    }

    //获取指定树x的所有键，并放到keys队列中
    private void preErgodic(Node x, Queue<Key> keys) {
        if (x == null) {
            return;
        }

        //把x结点的key放入到keys中
        keys.enqueue(x.key);

        //递归遍历x结点的左子树
        if (x.left != null) {
            preErgodic(x.left, keys);
        }

        //递归遍历x结点的右子树
        if (x.right != null) {
            preErgodic(x.right, keys);
        }

    }

    //使用中序遍历获取树中所有的键
    public Queue<Key> midErgodic() {
        Queue<Key> keys = new Queue<>();
        midErgodic(root, keys);
        return keys;
    }

    //使用中序遍历，获取指定树x中所有的键，并存放到key中
    private void midErgodic(Node x, Queue<Key> keys) {
        if (x == null) {
            return;
        }
        //先递归，把左子树中的键放到keys中
        if (x.left != null) {
            midErgodic(x.left, keys);
        }
        //把当前结点x的键放到keys中
        keys.enqueue(x.key);
        //在递归，把右子树中的键放到keys中
        if (x.right != null) {
            midErgodic(x.right, keys);
        }

    }

    //使用后序遍历，把整个树中所有的键返回
    public Queue<Key> afterErgodic() {
        Queue<Key> keys = new Queue<>();
        afterErgodic(root, keys);
        return keys;
    }

    //使用后序遍历，把指定树x中所有的键放入到keys中
    private void afterErgodic(Node x, Queue<Key> keys) {
        if (x == null) {
            return;
        }

        //通过递归把左子树中所有的键放入到keys中
        if (x.left != null) {
            afterErgodic(x.left, keys);
        }
        //通过递归把右子树中所有的键放入到keys中
        if (x.right != null) {
            afterErgodic(x.right, keys);
        }
        //把x结点的键放入到keys中
        keys.enqueue(x.key);
    }


    //使用层序遍历，获取整个树中所有的键
    public Queue<Key> layerErgodic() {
        //定义两个队列，分别存储树中的键和树中的结点
        Queue<Key> keys = new Queue<>();
        Queue<Node> nodes = new Queue<>();

        //默认，往队列中放入根结点
        nodes.enqueue(root);

        while (!nodes.isEmpty()) {
            //从队列中弹出一个结点，把key放入到keys中
            Node n = nodes.dequeue();
            keys.enqueue(n.key);
            //判断当前结点还有没有左子结点，如果有，则放入到nodes中
            if (n.left != null) {
                nodes.enqueue(n.left);
            }
            //判断当前结点还有没有右子结点，如果有，则放入到nodes中
            if (n.right != null) {
                nodes.enqueue(n.right);
            }
        }
        return keys;
    }


    //获取整个树的最大深度
    public int maxDepth() {
        return maxDepth(root);
    }


    //获取指定树x的最大深度
    private int maxDepth(Node x) {
        if (x == null) {
            return 0;
        }
        //x的最大深度
        int max = 0;
        //左子树的最大深度
        int maxL = 0;
        //右子树的最大深度
        int maxR = 0;

        //计算x结点左子树的最大深度
        if (x.left != null) {
            maxL = maxDepth(x.left);
        }
        //计算x结点右子树的最大深度
        if (x.right != null) {
            maxR = maxDepth(x.right);
        }
        //比较左子树最大深度和右子树最大深度，取较大值+1即可

        max = maxL > maxR ? maxL + 1 : maxR + 1;

        return max;
    }

}

1.4.3 测试

java 复制代码 
public class BinaryTreeTest {
    public static void main(String[] args) {
        //创建二叉查找树对象
        BinaryTree<Integer, String> tree = new BinaryTree<>();

        //测试插入
        tree.put(1, "张三");
        tree.put(2, "李四");
        tree.put(3, "王五");
        System.out.println("插入完毕后元素的个数：" + tree.size());

        //测试获取
        System.out.println("键2对应的元素是：" + tree.get(2));

        //测试删除
        tree.delete(3);
        System.out.println("删除后的元素个数：" + tree.size());
        System.out.println("删除后键3对应的元素:" + tree.get(3));
    }
}

1.5 二叉树的基础遍历

我们可以把二叉树的遍历分为以下三种方式：

  1. 前序遍历；先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树
  2. 中序遍历；先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树
  3. 后序遍历；先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点

下面我们对各种遍历进行测试,测试添加顺序如图所示

1.5.1 前序遍历

代码已在这里实现
测试

java 复制代码 
public class BinaryTreeErgodicTest {

    //测试前序遍历
    public static void main(String[] args) {
        //创建树对象
        BinaryTree<String, String> tree = new BinaryTree<>();
        //往树中添加数据
        tree.put("E", "5");
        tree.put("B", "2");
        tree.put("G", "7");
        tree.put("A", "1");
        tree.put("D", "4");
        tree.put("F", "6");
        tree.put("H", "8");
        tree.put("C", "3");

        //遍历
        Queue<String> keys = tree.preErgodic();
        for (String key : keys) {
            String value = tree.get(key);
            System.out.println(key+"----"+value);
        }
    }
}

发现结果顺序与图中结果一致,成功

1.5.2 中序遍历

代码已在这里实现
测试

java 复制代码 
public class BinaryTreeErgodicTest {
    //测试中序遍历
   public static void main(String[] args) {
        //创建树对象
        BinaryTree<String, String> tree = new BinaryTree<>();
        //往树中添加数据
        tree.put("E", "5");
        tree.put("B", "2");
        tree.put("G", "7");
        tree.put("A", "1");
        tree.put("D", "4");
        tree.put("F", "6");
        tree.put("H", "8");
        tree.put("C", "3");

        //遍历
        Queue<String> keys = tree.midErgodic();
        for (String key : keys) {
            String value = tree.get(key);
            System.out.println(key+"----"+value);
        }
    }
}

发现结果顺序与图中结果一致,成功

1.5.1 后序遍历

代码已在这里实现
测试

java 复制代码 
public class BinaryTreeErgodicTest {
 //测试后序遍历
    public static void main(String[] args) {
        //创建树对象
        BinaryTree<String, String> tree = new BinaryTree<>();
        //往树中添加数据
        tree.put("E", "5");
        tree.put("B", "2");
        tree.put("G", "7");
        tree.put("A", "1");
        tree.put("D", "4");
        tree.put("F", "6");
        tree.put("H", "8");
        tree.put("C", "3");

        //遍历
        Queue<String> keys = tree.afterErgodic();
        for (String key : keys) {
            String value = tree.get(key);
            System.out.println(key+"----"+value);
        }
    }
 }

发现结果顺序与图中结果一致,成功

1.6 二叉树的层序遍历

所谓的层序遍历，就是从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值，有二叉树如下：

那么层序遍历的结果是：EBGADFHC

1.6.1 实现步骤

  1. 创建队列，存储每一层的结点；
  2. 使用循环从队列中弹出一个结点：
    • 获取当前结点的key；
    • 如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列中
    • 如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列中

1.6.2 代码实现及测试

代码已在这里实现

java 复制代码 
public class BinaryTreeErgodicTest {
 //测试层序遍历
    public static void main(String[] args) {
        //创建树对象
        BinaryTree<String, String> tree = new BinaryTree<>();
        //往树中添加数据
        tree.put("E", "5");
        tree.put("B", "2");
        tree.put("G", "7");
        tree.put("A", "1");
        tree.put("D", "4");
        tree.put("F", "6");
        tree.put("H", "8");
        tree.put("C", "3");

        //遍历
        Queue<String> keys = tree.layerErgodic();
        for (String key : keys) {
            String value = tree.get(key);
            System.out.println(key+"----"+value);
        }
    }

 }

1.7 二叉树的最大深度问题

1.7.1 实现步骤

  1. 如果根结点为空，则最大深度为0；

  2. 计算左子树的最大深度；

  3. 计算右子树的最大深度；

  4. 当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1

1.7.2 代码实现及测试

代码已在这里实现

java 复制代码 
public class BinaryTreeMaxDepthTest {


    public static void main(String[] args) {
        //创建树对象
        BinaryTree<String, String> tree = new BinaryTree<>();
        //往树中添加数据
        tree.put("E", "5");
        tree.put("B", "2");
        tree.put("G", "7");
        tree.put("A", "1");
        tree.put("D", "4");
        tree.put("F", "6");
        tree.put("H", "8");
        tree.put("C", "3");

        int maxDepth = tree.maxDepth();
        System.out.println(maxDepth);
    }


}


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