第五十六天| 第九章 动态规划 part14 1143. 最长公共子序列 1035. 不相交的线 53. 最大子序和
一、1143. 最长公共子序列
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题目链接：
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题目介绍：
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思路：
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本题和"最长重复子数组"区别在于**这里不要求是连续的了，但要有相对顺序**，即："ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。
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dp五部曲：
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（1）确定dp数组及下标含义：
dp[i][j]：表示的是以下标i-1为结尾的text1和以下标j-1为结尾的text2的最长公共子序列的长度 -
（2）确定递推公式：
本题不再要求连续，因此dp[i][j]可以由三个方向推出如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1; 如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。 即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]); -
（3）初始化dp数组：
根据dp数组的含义，char1[0, i-1]和空数组的公共子序列长度为0；同理，char2[0, j-1]和空数组的公共子序列长度也为0。因此，dp[i][0] = 0，dp[0][j] = 0。其他位置在后续均可以覆盖，因此都初始化为0。 -
（4）确定遍历顺序：
- 根据递推公式可知是正序
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和重复子数组(连续公共子序列)不同，本题的最终结果是在二维dp数组的最右下角，因为根据递推公式，如果不相同还是会根据左边的和上边的推导出来。
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代码：
java
class Solution {
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
char[] char1 = text1.toCharArray();
char[] char2 = text2.toCharArray();
// (1)确定dp数组及下标含义
// dp[i][j]：表示的是以下标i-1为结尾的text1和以下标j-1为结尾的text2的最长公共子序列的长度
int[][] dp = new int[char1.length + 1][char2.length + 1];
// (3)初始化dp数组
// 根据dp数组的含义，char1[0, i-1]和空数组的公共子序列长度为0；同理，char2[0, j-1]和空数组的公共子序列长度也为0。因此，dp[i][0] = 0，dp[0][j] = 0。其他位置在后续均可以覆盖，因此都初始化为0。
// (4)确定遍历顺序
// 根据递推公式可知是正序
for (int i = 1; i <= char1.length; i++) {
for (int j = 1; j <= char2.length; j++) {
// (2)确定递推公式
// 本题不再要求连续，因此dp[i][j]可以由三个方向推出
if (char1[i-1] == char2[j-1]) {
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}
}
}
// 和重复子数组(连续公共子序列)不同，本题的最终结果是在二维dp数组的最右下角，因为根据递推公式，如果不相同还是会根据左边的和上边的推导出来。
return dp[char1.length][char2.length];
}
}二、1035. 不相交的线
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题目介绍：
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在两条独立的水平线上按给定的顺序写下
nums1和nums2中的整数。现在，可以绘制一些连接两个数字
nums1[i]和nums2[j]的直线，这些直线需要同时满足满足：nums1[i] == nums2[j]- 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。
以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。
示例 1：
输入：nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4] 输出：2 解释：可以画出两条不交叉的线，如上图所示。 但无法画出第三条不相交的直线，因为从 nums1[1]=4 到 nums2[2]=4 的直线将与从 nums1[2]=2 到 nums2[1]=2 的直线相交。
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思路：
- 套壳的"最长公共子序列"
- 思路和解法与上道题目是一样的
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代码：
java
class Solution {
public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];
for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
for (int j = 1; j <= nums2.length; j++) {
if (nums1[i-1] == nums2[j-1]) {
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}
}
}
return dp[nums1.length][nums2.length];
}
}三、53. 最大子序和
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题目介绍：
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给你一个整数数组
nums，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。子数组 是数组中的一个连续部分。
示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 输出：6 解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
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思路：
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dp五部曲：
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（1）确定dp数组及下标含义
dp[i]：表示的是以nums[i]为结尾的最大连续子序列之和 -
（2）确定递推公式
dp[i]只能由两个方向推出来： 一个是：因为是连续的所以是dp[i-1] + nums[i] 另一个是：当前nums[i] -
（3）初始化dp数组
dp[0]：表示的是以nums[0]为结尾的最大连续子序列的和，所以dp[0] = nums[0] -
（4）遍历顺序：正序
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代码：
java
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
int result = nums[0];
// (1)确定dp数组及下标含义
// dp[i]：表示的是以nums[i]为结尾的最大连续子序列之和
int[] dp = new int[nums.length];
// (3)初始化dp数组
// dp[0]：表示的是以nums[0]为结尾的最大连续子序列的和，所以dp[0] = nums[0].
dp[0] = nums[0];
// (4)遍历顺序：正序
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
// (2)确定递推公式
// dp[i]只能由两个方向推出来：
// 一个是：因为是连续的所以是dp[i-1] + nums[i]
// 另一个是：当前nums[i]
dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]);
if (dp[i] > result) result = dp[i];
}
return result;
}
}总结：
- 子数组 ：求解的就是**连续子序列**
- 子序列：没有强调的连续，只要是子序列即可