EM@三角恒等变换P1

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常用的三角恒等变换

三角恒等式

不同的三角函数之间存在很多对任意的角度取值都成立的等式，被称为三角恒等式。
其中最著名的是毕达哥拉斯恒等式，它说明对于任何角，正弦的平方加上余弦的平方总是1;这可从斜边为1的直角三角形应用勾股定理得出。

毕达哥拉斯恒等式

sin ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x = 1 \sin^2x+\cos^2x=1 sin2x+cos2x=1

衍生恒等式

两边同除以 sin ⁡ 2 x \sin^2x sin2x: 1 + cot ⁡ 2 x = csc ⁡ 2 x 1+\cot^2x=\csc^2x 1+cot2x=csc2x
两边同除以 cos ⁡ 2 x \cos^2x cos2x, tan ⁡ 2 x + 1 = sec ⁡ 2 x \tan^2x+1=\sec^2x tan2x+1=sec2x

和差公式

cos ⁡ ( x ± y ) = cos ⁡ x cos ⁡ y ∓ sin ⁡ x sin ⁡ y \cos(x\pm y)=\cos x\cos y \mp\sin x\sin y cos(x±y)=cosxcosy∓sinxsiny,记为 C x ± y C_{{x}\pm{{y}}} Cx±y
sin ⁡ ( x ± y ) = sin ⁡ x cos ⁡ y ± cos ⁡ x sin ⁡ y \sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y sin(x±y)=sinxcosy±cosxsiny,记为 S x ± y S_{{x}\pm{y}} Sx±y
tan ⁡ ( x ± y ) \tan(x\pm y) tan(x±y)= tan ⁡ x ± tan ⁡ y 1 ∓ tan ⁡ x tan ⁡ y {\frac {\tan x\pm\tan y}{1\mp\tan x\tan y}} 1∓tanxtanytanx±tany,记为 T x ± y T_{{x}\pm{y}} Tx±y

推导

和角余弦

以和角余弦展开公式为例,用平面向量和单位圆为工具推导
以直角坐标系 x O y xOy xOy的坐标原点为中心作单位圆;并以 O x Ox Ox为始边作两个角 x , y {x},{y} x,y;它们的终边分别于单位圆交于 P , Q P,Q P,Q两点
显然 P ( cos ⁡ x , sin ⁡ x ) P(\cos{{x}},\sin{x}) P(cosx,sinx), Q ( cos ⁡ y , sin ⁡ y ) Q(\cos{{y}},\sin{y}) Q(cosy,siny); ∣ O P → ∣ |\overrightarrow{OP}| ∣OP ∣= ∣ O Q → ∣ |\overrightarrow{OQ}| ∣OQ ∣= 1 1 1
令向量夹角 θ = < O Q → , O P → > \theta=<\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OP}> θ=<OQ ,OP >, ( θ ∈ [ 0 , π ) ) (\theta\in[0,\pi)) (θ∈[0,π))
角 x − y {x}-{y} x−y= ± θ + 2 k π \pm\theta+2k\pi ±θ+2kπ, ( k ∈ Z ) (k\in\mathbb{Z}) (k∈Z)
- 若 x > y {x}>{y} x>y,则 x − y = θ + 2 k π {x}-{y}=\theta+2k\pi x−y=θ+2kπ
- 若 x < y {x}<{y} x<y,则 x − y = − θ + 2 k π {x}-{y}=-\theta+2k\pi x−y=−θ+2kπ
- cos ⁡ ( x − y ) \cos({x}-{y}) cos(x−y)= cos ⁡ ( ± θ + 2 k π ) \cos(\pm\theta+2k\pi) cos(±θ+2kπ)= cos ⁡ ( ± θ ) \cos(\pm{\theta}) cos(±θ)= cos ⁡ θ \cos\theta cosθ
因为 O P → ⋅ O Q → \overrightarrow{OP}\cdot{\overrightarrow{OQ}} OP ⋅OQ = ( cos ⁡ x , sin ⁡ x ) ⋅ ( cos ⁡ y , sin ⁡ y ) (\cos{{x}},\sin{x})\cdot(\cos{{y}},\sin{y}) (cosx,sinx)⋅(cosy,siny)= cos ⁡ x cos ⁡ y + sin ⁡ x sin ⁡ y \cos{x}\cos{y}+\sin{x}\sin{y} cosxcosy+sinxsiny
另一方面 O P → ⋅ O Q → \overrightarrow{OP}\cdot{\overrightarrow{OQ}} OP ⋅OQ = ∣ O P → ∣ ⋅ ∣ O Q → ∣ cos ⁡ θ |\overrightarrow{OP}|\cdot{|\overrightarrow{OQ}|}\cos\theta ∣OP ∣⋅∣OQ ∣cosθ= cos ⁡ θ \cos\theta cosθ
从而 cos ⁡ ( x − y ) \cos({x}-{y}) cos(x−y)= cos ⁡ x cos ⁡ y + sin ⁡ x sin ⁡ y \cos{x}\cos{y}+\sin{x}\sin{y} cosxcosy+sinxsiny

差角余弦

差角余弦 :差角余弦可以转换为和角余弦: cos ⁡ ( x + y ) \cos({x}+{y}) cos(x+y)= cos ⁡ ( x − ( − y ) ) \cos({x}-(-{y})) cos(x−(−y))= cos ⁡ x cos ⁡ y − sin ⁡ x sin ⁡ y \cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y} cosxcosy−sinxsiny

和角正弦

由于正弦函数和余弦函数具有高度联系,这体现在由诱导公式 sin ⁡ x = cos ⁡ ( π 2 − x ) \sin{x}=\cos(\frac{\pi}{2}-x) sinx=cos(2π−x),
从而可以将正弦问题转化为余弦问题
sin ⁡ ( x + y ) \sin({x}+{y}) sin(x+y)= cos ⁡ ( − ( x + y ) + π 2 ) \cos(-({x}+{y})+\frac{\pi}{2}) cos(−(x+y)+2π)= cos ⁡ ( ( π 2 − x ) − y ) \cos((\frac{\pi}{2}-{x})-{y}) cos((2π−x)−y)= cos ⁡ ( π 2 − x ) cos ⁡ y + sin ⁡ ( π 2 − x ) sin ⁡ y \cos(\frac{\pi}{2}-{x})\cos{y}+\sin(\frac{\pi}{2}-{x})\sin{y} cos(2π−x)cosy+sin(2π−x)siny= sin ⁡ x cos ⁡ y + cos ⁡ x sin ⁡ y \sin{x}\cos{y}+\cos{x}\sin{y} sinxcosy+cosxsiny

差角正弦

sin ⁡ ( x − y ) \sin({x}-{y}) sin(x−y)= sin ⁡ ( x + ( − y ) ) \sin({x}+(-{y})) sin(x+(−y))= sin ⁡ x cos ⁡ ( − y ) + cos ⁡ x sin ⁡ ( − y ) \sin{x}\cos(-{y})+\cos{x}\sin(-{y}) sinxcos(−y)+cosxsin(−y)= sin ⁡ x cos ⁡ y − cos ⁡ x sin ⁡ y \sin{x}\cos{y}-\cos{x}\sin{y} sinxcosy−cosxsiny

和角正切

tan ⁡ ( x + y ) \tan({x}+{y}) tan(x+y)= sin ⁡ ( x + y ) cos ⁡ ( x + y ) \frac{\sin({x}+{y})}{\cos({x}+{y})} cos(x+y)sin(x+y)= sin ⁡ x cos ⁡ y + cos ⁡ x sin ⁡ y cos ⁡ x cos ⁡ y − sin ⁡ x cos ⁡ y \frac{\sin{x}\cos{y}+\cos{x}\sin{y}}{\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\cos{y}} cosxcosy−sinxcosysinxcosy+cosxsiny
分子分母同时除以 cos ⁡ x cos ⁡ y ≠ 0 \cos{x}\cos{y}\neq{0} cosxcosy=0,得 tan ⁡ ( x + y ) \tan({x}+{y}) tan(x+y)= tan ⁡ x + tan ⁡ y 1 − tan ⁡ x tan ⁡ y {\frac {\tan {x}+\tan {y}}{1-\tan{x}\tan{y}}} 1−tanxtanytanx+tany

差角正切

tan ⁡ ( x − y ) \tan({x}-{y}) tan(x−y)= tan ⁡ ( x + ( − y ) ) \tan({x}+(-{y})) tan(x+(−y))= tan ⁡ x + tan ⁡ ( − y ) 1 − tan ⁡ x tan ⁡ ( − y ) {\frac {\tan {x}+\tan (-{y})}{1-\tan{x}\tan(-{y})}} 1−tanxtan(−y)tanx+tan(−y)= tan ⁡ x − tan ⁡ y 1 + tan ⁡ x tan ⁡ y {\frac {\tan {x}-\tan {y}}{1+\tan{x}\tan{y}}} 1+tanxtanytanx−tany

倍角公式

sin ⁡ 2 x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x = 2 tan ⁡ x 1 + tan ⁡ 2 x \sin 2x=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}} sin2x=2sinxcosx=1+tan2x2tanx,记为 S 2 x S_{2{x}} S2x
cos ⁡ 2 x \cos 2x cos2x= cos ⁡ 2 x − sin ⁡ 2 x \cos ^{2}x-\sin ^{2}x cos2x−sin2x= 2 cos ⁡ 2 x − 1 2\cos ^{2}x-1 2cos2x−1= 1 − 2 sin ⁡ 2 x 1-2\sin ^{2}x 1−2sin2x= 1 − tan ⁡ 2 x 1 + tan ⁡ 2 x {\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}} 1+tan2x1−tan2x,记为 C 2 x C_{2x} C2x
- 比较常用的是: − 2 sin ⁡ 2 x + 1 -2\sin^{2}{x}+1 −2sin2x+1= 2 cos ⁡ 2 x − 1 2\cos^{2}{x}-1 2cos2x−1
- 比较少用的是: cos ⁡ 2 x − sin ⁡ 2 x \cos^{2}{x}-\sin^{2}{x} cos2x−sin2x
tan ⁡ 2 x \tan2x tan2x= 2 tan ⁡ x 1 − tan ⁡ 2 x \frac{2\tan x}{1-\tan^2x} 1−tan2x2tanx,记为 T 2 x T_{2x} T2x
令 t = tan ⁡ 1 2 θ {t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta} t=tan21θ
- sin ⁡ θ = 2 t 1 + t 2 \sin \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}} sinθ=1+t22t
- cos ⁡ θ = 1 − t 2 1 + t 2 \cos \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}} cosθ=1+t21−t2
- tan ⁡ θ = 2 t 1 − t 2 \tan \theta ={\frac {2t}{1-t^{2}}} tanθ=1−t22t

半角公式

半角公式结果是唯一的,由 x 2 \frac{x}{2} 2x所在象限决定正负候选值中的一个

cos ⁡ x 2 \cos\frac{x}{2} cos2x= ± 1 + cos ⁡ x 2 \pm\sqrt{\frac{1+\cos{x}}{2}} ±21+cosx
sin ⁡ x 2 = ± 1 − cos ⁡ x 2 \sin{\frac{x}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{2}} sin2x=±21−cosx
tan ⁡ x 2 \tan{\frac{x}{2}} tan2x= ± 1 − cos ⁡ α 1 + cos ⁡ α \pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos\alpha}} ±1+cosα1−cosα

推导

cos ⁡ x = cos ⁡ ( 2 × x 2 ) \cos{x}=\cos(2\times{\frac{x}{2}}) cosx=cos(2×2x)= 1 − 2 sin ⁡ 2 x 2 1-2\sin^2{\frac{x}{2}} 1−2sin22x= 2 cos ⁡ 2 x 2 − 1 2\cos^{2}\frac{x}{2}-1 2cos22x−1
所以
- 2 sin ⁡ 2 x 2 = 1 − cos ⁡ x 2\sin^{2}\frac{x}{2}=1-\cos{x} 2sin22x=1−cosx
- 2 cos ⁡ 2 x 2 = 1 + cos ⁡ x 2\cos^{2}{\frac{x}{2}}=1+\cos{x} 2cos22x=1+cosx
上述方程移项开方得到 cos ⁡ x 2 \cos\frac{x}{2} cos2x, sin ⁡ x 2 \sin\frac{x}{2} sin2x;且 tan ⁡ x 2 = sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 \tan\frac{x}{2}=\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos{\frac{x}{2}}} tan2x=cos2xsin2x

降幂公式🎈

sin ⁡ 2 x = 1 2 ( 1 − cos ⁡ 2 x ) \sin^2x=\frac{1}{2}(1-\cos2x) sin2x=21(1−cos2x)
cos ⁡ 2 x = 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 x ) \cos^2x=\frac{1}{2}(1+\cos2x) cos2x=21(1+cos2x)
sin ⁡ 2 x 2 = 1 2 ( 1 − cos ⁡ x ) \sin^2\frac{x}{2}=\frac{1}{2}(1-\cos{x}) sin22x=21(1−cosx)
cos ⁡ 2 x 2 = 1 2 ( 1 + cos ⁡ x ) \cos^2{\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}(1+\cos{x}) cos22x=21(1+cosx)

和差化积@积化和差

EM@三角恒等变换@积化和差@和差化积

三角恒等公式推导流程

向量的数量积 → \to → C α − β C_{\alpha-\beta} Cα−β
- S α + β S_{\alpha+\beta} Sα+β → \to → S 2 α S_{2\alpha} S2α , S α − β S_{\alpha-\beta} Sα−β
- C α + β C_{\alpha+\beta} Cα+β → \to → C 2 α C_{2\alpha} C2α → \to → C α 2 C_{\frac{\alpha}{2}} C2α, S α 2 S_{\frac{\alpha}{2}} S2α → \to → T α 2 T_{\frac{\alpha}{2}} T2α
- S α + β , C α + β S_{\alpha+\beta},C_{\alpha+\beta} Sα+β,Cα+β → \to → T α + β T_{\alpha+\beta} Tα+β → \to → T 2 α T_{2\alpha} T2α, T α − β T_{\alpha-\beta} Tα−β
积化和差 → \to →和差化积