一、力扣习题链接
二、思路
这道题目的前提是数组为有序数组 ,同时题目还强调数组中无重复元素 ,因为一旦有重复元素,使用二分查找法返回的元素下标可能不是唯一的,这些都是使用二分法的前提条件,当大家看到题目描述满足如上条件的时候,可要想一想是不是可以用二分法了。
二分查找涉及的很多的边界条件,逻辑比较简单,但就是写不好。
例如到底是
while(left < right)
还是while(left <= right)
到底是
right = middle
呢,还是要right = middle - 1
呢?
大家写二分法经常写乱,主要是因为对区间的定义没有想清楚,区间的定义就是不变量 。要在二分查找的过程中,保持不变量,就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作,这就是循环不变量规则。
写二分法,区间的定义一般为两种,左闭右闭即[left, right],或者左闭右开即[left, right)。
一句秒杀:说实话,看完下面的解释我还是一团糟,但是我可以理解的是,如果如果是左闭右开,那么right就要end-1,好的,现在我更改口令:只要初始化-1,代表着父区间右侧-1,所以接下来的子区间右侧都要乖乖听话-1;如果左闭右闭,那么由于初始化不-1,所以middle就不-1;对于所有的左区间,middle通通+1!!!!
2.1左闭右闭
第一种写法,我们定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里,也就是[left, right]
区间的不同决定了二分法代码的不同!
while (left <= right) 要使用 <= ,因为left == right是有意义的,所以使用 <=
if (nums[middle] > target) 的话,right 要赋值为 middle - 1,因为当前这个nums[middle]一定不是target,那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1
总结:因为这里是右闭,那么引发的俩个问题:左可等于右,把左闭右开想成原型的话,右闭多了一个元素,所以要-1
例如在数组:1,2,3,4,7,9,10中查找元素2,如图所示:
发现元素在左区间,更新right
发现元素在右区间,更新left
cpp
classs Solution {
public:
int search(vector<int>& nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.size() - 1; // end指向最后一个元素的下一个位置
while (left <= right) { // 必须是<=
int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
if (nums[middle] > target) {
right = middle - 1; // target 在左区间,所以[left, middle - 1]
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; // target 在右区间,所以[middle + 1, right]
} else { // nums[middle] == target
return middle; // 数组中找到目标值,直接返回下标
}
}
// 未找到目标值
return -1;
}
};
2.2左闭右开
如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里,也就是[left, right) ,那么二分法的边界处理方式则截然不同。
有如下两点:
while (left < right),这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的
if (nums[middle] > target) 的话,right 更新为 middle,因为当前nums[middle]不等于target,去左区间继续寻找,而寻找区间是左闭右开区间,所以right更新为middle,即:下一个查询区间不会去比较nums[middle]
在数组:1,2,3,4,7,9,10中查找元素2,如图所示:
cpp
// 版本二
class Solution {
public:
int search(vector<int>& nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.size(); // [left, right)
while (left < right) { // 因为left == right的时候,在[left, right)是无效的空间,所以使用 <
int middle = left + ((right - left) /2);
if (nums[middle] > target) {
right = middle; // target 在左区间,在[left, middle)中
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; // target 在右区间,在[middle + 1, right)中
} else { // nums[middle] == target
return middle; // 数组中找到目标值,直接返回下标
}
}
// 未找到目标值
return -1;
}
};
2.3distance函数
cpp
class Solution {
public:
int search(vector<int>& nums, int target) {
vector<int>::iterator it=find(nums.begin(),nums.end(),target);
if(it!=nums.end())
return distance(nums.begin(),it);
else
return -1;
}
};
三、小结
二分法是非常重要的基础算法,为什么很多同学对于二分法都是一看就会,一写就废?
其实主要就是对区间的定义没有理解清楚,在循环中没有始终坚持根据查找区间的定义来做边界处理。
区间的定义就是不变量,那么在循环中坚持根据查找区间的定义来做边界处理,就是循环不变量规则。
本篇根据两种常见的区间定义,给出了两种二分法的写法,每一个边界为什么这么处理,都根据区间的定义做了详细介绍。
四、拓展练习(35,34,69,367)
以下为题解
- 35.搜索插入位置(opens new window)
- 34.在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置(opens new window)
- 69.x 的平方根(opens new window)
- 367.有效的完全平方数(opens new window)
希望给大家带来帮助!!