Deep learning of free boundary and Stefan problems论文阅读复现

摘要
[1. 一维一相Stefan问题](#1. 一维一相Stefan问题)
- [1.1 Direct Stefan problem](#1.1 Direct Stefan problem)
- [1.2 Inverse Type I](#1.2 Inverse Type I)
- [1.3 Inverse Type II](#1.3 Inverse Type II)
[2. 一维二相Stefan问题](#2. 一维二相Stefan问题)
- [2.1 Direct Stefan problem](#2.1 Direct Stefan problem)
- [2.2 Inverse Type I](#2.2 Inverse Type I)
- [2.3 Inverse Type II](#2.3 Inverse Type II)
[3. 二维一相Stefan问题](#3. 二维一相Stefan问题)
参考

摘要

在这项工作中，作者提出了一个基于物理信息神经网络的多网络模型，来解决一类一般的正和逆自由边界问题，称为Stefan问题。具体地说，用两个深度神经网络来近似未知解以及任何移动边界。作者提供了三个案例研究（一维一相Stefan问题，一维二相Stefan问题，二维一相Stefan问题），每个案例分别研究了正问题和两个逆问题，相关代码可以在https://github.com/PredictiveIntelligenceLab/DeepStefan获得。

复现代码环境：

shell 复制代码

conda create -n tensorflow1x python=3.6
conda activate tensorflow1x
pip install tensorflow==1.15.5 -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple
pip install pandas -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple
pip install seaborn -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple
pip install scipy -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple
pip install matplotlib -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple

1. 一维一相Stefan问题

Direct Stefan problem: 已知 u 0 , g ( t ) , s 0 , h 1 ( t ) , h 2 ( t ) u_0, g(t), s_0, h_1(t), h_2(t) u0,g(t),s0,h1(t),h2(t) ，求解 u ( x , t ) : Ω → R . u(x,t):\Omega \rightarrow \mathbb{R}. u(x,t):Ω→R.
Inverse Type I: 希望找到满足方程(3.1),(3.2),(3.5),(3.6)的温度分布 u ( x , t ) u(x,t) u(x,t) ,也希望当移动边界 s ( t ) s(t) s(t)已知时重构 Dirichlet 和 Neumann 边界条件。
Inverse Type II: 给出域 Ω \Omega Ω 中的一些温度测量值，试图找到满足方程 (3.1),(3.4),(3.5) 的温度解 u ( x , t ) u(x,t) u(x,t)，并确定移动边界 s(t) 的未知位置。

1.1 Direct Stefan problem

方程 (3.1)-(3.6) 中已知变量由 (3.7)-(3.8) 表示，(3.9) 和 (3.10) 分别是该问题的精确解和移动边界的解。

文章作者使用两个独立的神经网络近似潜在的 u ( x , t ) u(x,t) u(x,t) 和 s ( t ) s(t) s(t)，训练40000epoch，一个epoch从初始条件 x = 0 , x=0, x=0, 边界条件 t = 0 , t=0, t=0, 和内部 Ω ∈ Ω ∗ = $0 , 1$ × $0 , 1$ \Omega \in \Omega^*= $0,1$ \times $0,1$ Ω∈Ω∗= $0,1$ × $0,1$ 中各随机选择一个batch_size(128)数据点进行训练，没有用到真解。由于 s ( t ) s(t) s(t) 在我们的问题设置中是未知的，所以我们不能简单地在 ( 0 , s ( t ) × ( 0 , t ) (0,s(t)\times(0,t) (0,s(t)×(0,t) 中进行采样点。处理这一技术问题的一种方法是对整个计算域 Ω ∗ \Omega^* Ω∗ 中的配置点进行采样，这是先验已知的，但然后通过将预测解 u θ ( x , t ) u_{\theta}(x,t) uθ(x,t) 限制在域 ( 0 , s β ( t ) × ( 0 , t ) (0,s_{\beta}(t)\times(0,t) (0,sβ(t)×(0,t) 来关注物理解。损失函数如下：

论文中实验结果：

复现的实验结果：

The u(x,t) relative L 2 L_2 L2-error is 4.64e-04.

The s(t) relative L 2 L_2 L2-error is 3.32e-04.

1.2 Inverse Type I

这种类型的逆问题也叫移动边界设计问题，这里的目标是找到满足方程 (3.1)-(3.6) 的解，并在给定自由边界 s ( t ) s(t) s(t) 信息的情况下恢复狄利克雷和诺伊曼边界条件 ( 3.18 ) (3.18) (3.18) 。

论文中实验结果：

复现实验结果：

The u(x,t) relative L 2 L_2 L2-error is 2.48e-03.

The u θ u_{\theta} uθ(0,t) relative L 2 L_2 L2-error is 3.32e-03.

The ∂ u θ ∂ x \frac{\partial u_{\theta}}{\partial x} ∂x∂uθ(0,t) relative L 2 L_2 L2-error is 5.39e-03.

1.3 Inverse Type II

给定少量测试点 { u ( x d a t a j , t d a t a j ) } j = 1 M \{u(x_{data}^j, t_{data}^j)\}{j=1}^M {u(xdataj,tdataj)}j=1M，我们想得到在域 Ω \Omega Ω 上符合热方程(3.1)的 u ( x , t ) u(x,t) u(x,t)，以及未知边界符合(3.4)-(3.6)的 s ( t ) s(t) s(t)，这样不需要任何初始或边界条件，这是接近许多现实的应用，这样的信息可能难以获得。为了解决这个问题，依然用两个神经网络 u θ ( x , t ) , s β ( t ) u{\theta}(x,t),s_{\beta}(t) uθ(x,t),sβ(t) 近似 u ( x , t ) , s ( t ) u(x,t),s(t) u(x,t),s(t)。损失函数如下所示：