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前言
提示：人心本易趋死寂，苦难之后，焕然重建，激荡一阵，又趋麻木。 --苏枕书《有鹿来》
我们继续看几个数学与数字相关的重要题目，数学的问题有很多，力扣上面也有很多练习，通过这些练习你可以掌握很多技巧，真的如果你不练习，你真的不知道其实还可以这么做。所以算法也是一个累计的过程，积累经验才能以后游刃有余。
数组实现加法专题
数字加法，可以说是老生常谈了，但是让你用数组表示一个数，你需要如何去实现呢？今天我们就来挑战一下。
这里提前说一下，你会遇到很多棘手的问题，例如：A[0]位置时发现如果进位要怎么办？
再拓展一下，如果给定两个数，一个数用数组存储，另外一个是普通的整数，又该如何处理呢？
在拓展，如果两个整数是用字符串表示的呢？ 如果是二进制表示的呢？加法的规则怎么处理？
数组实现整数加法
参考题目介绍：66. 加一 - 力扣（LeetCode）
这个看似很简单？从后向前一次加就行了，如果有进位就标记一下，但是如果到头了也要进位要怎么办？
例如：digits=[9,9,9]，从后面向前加的时候，到了A[0]的位置计算为0，需要再次进位，但是数组却不能保存，这里该怎么办？
这里的关键是A[0] 在什么时候出现进位的情况，我们直到此时一定是9， 99， 999， ...这样的结构才会出现加1之后再次进位，而进位之后的结果一定是10，100，1000这样的结构，由于Java中数组默认初始化为0，所以我们此时只需要再次申请一个空间比A[]大一个数的数组B[],然后将B[0]设置为1就可以。代码写起来也很简洁。
java
/**
* 整数加一
* @param digits
* @return
*/
public static int[] plusOne(int[] digits) {
int len = digits.length;
for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
digits[i]++;
digits[i] %= 10;
// 注意这里 提前出去的条件
if (digits[i] != 0) {
return digits;
}
}
// 9 99 999等 // 这里比较巧妙
digits = new int[len + 1];
digits[0] = 1;
return digits;
}字符串加法
我们继续看将数组存储再字符串中的情况：字符串加法就是使用字符串表示数字，然后计算他们的和。具体要求如下：给定两个字符串形式的非负整数num1和num2，计算他们的和并同样以字符串形式返回。你不能使用内建的用于处理大整数的库（比如BigInteger），也不能直接将输入的字符串转换成整数形式。
我们写个例子：
java
例如：
输入：num1 = "456" , num2 = "77"
输出："533"我们先想一下小学里面的加法是如何实现两个数的计算的。经典的竖式加法：
从低位到高位逐步相加，如果当前位和超过10，则向高位进一位。
因此我们只要将这个过程用代码表示出来就可以了。先定义两个指针 i 和 j 分别指向 num1 和num2 的末尾，也就是最低位，同样定义一个变量 add 维护当前是否需要进位，然后从末尾到开头诸位累加。
这里有个问题，两个数字位数不同该怎么处理？很简单，补0就可以了，我们看看具体要怎么做吧：
java
/**
* 两个字符串相加
* @param num1
* @param num2
* @return
*/
public static String addStrings(String num1, String num2) {
// 准备工作
int len1 = num1.length(), len2 = num2.length();
StringBuffer ans = new StringBuffer();
int add = 0;
// 注意循环条件处理
while(len1 >= 0||len2 >= 0 || add != 0){
// 缺位补0
int x = len1 >= 0 ? num1.charAt(len1) - '0' : 0;
int y = len2 >= 0 ? num2.charAt(len2) - '0' : 0;
int result = x + y + add;
ans.append(result % 10);
add = result / 10;
len1--;
len2--;
}
// 计算完毕后记得反转
ans.reverse();
return ans.toString();
}二进制加法
参考题目介绍：67. 二进制求和 - 力扣（LeetCode）
我们看看二进制怎么处理吧！这个题目也是用字符串表示数据的，也要先转为字符数组。我们熟悉的十进制，是从个位开始，逐步到高位，达到10就进位，而对于二进制判断相加之后是否为2，就可以决定是否发生进位了。如果是就进位。所以思路大致一样，也是由于字符串的操作原因，不确定左后移位是否出现进位，这里提供两个办法处理
- 第一种：在进行计算时直接拼接字符串，得到一个反向字符，最后再翻转回来。（10进制一样）
- 第二种：按照位置给结果字符赋值，最后如果有进位，则在前方进行字符串拼接加进位
我们这里就采用第二种做：
java
/**
* 两个字符串二进制相加
* @param a
* @param b
* @return
*/
public static String addBinary(String a, String b) {
// 准备工作
int len1 = a.length(), len2 = b.length();
StringBuffer ans = new StringBuffer();
int add = 0;
for (int i = len1 - 1, j = len2 - 1; i >= 0 || j >= 0; i--, j--) {
int sum = add;
sum += i >= 0 ? a.charAt(i) - '0' : 0;
sum += j >= 0 ? b.charAt(j) - '0' : 0;
ans.append(sum % 2);
add = sum / 2;
}
ans.append(add == 1 ? add : "");
return ans.reverse().toString();
}当然有人回想，这里转成十进制，计算完成后再转成二进制不也行吗？这么实现很容易，而且可以使用语言的特性直接转换，但是面试的时候也不行，用不了，但是工程里可以这么做，稳定（算法不行，不能这么干）
幂运算专题
幂运算也是常见的数学运算，其形式为ab，也就是a的b次方呗，其中a称为底数，b称为指数，ab的合法运算（不会出现a == 0 且 b <= 0 的情况）。幂运算满足底数和指数都是实数。根据具体情况，底数和指数的数据类型和取值范围也各不相同，例如有的说是，底数是正整数，指数为非负数，有的问题中，底数为实数，指数是整数。
力扣中，幂运算相关的问题主要判断一个数是不是特定正整数的整数次幂，以及快速处理幂。
求2的次幂
参考题目介绍：231. 2 的幂 - 力扣（LeetCode）
本题目的解决思路还是很清晰的，我们可以用除的方法来逐步缩小n的值，另外一个就是使用位运算。
逐步缩小的方法就是：如果n是2的幂数， 则 n > 0，且存在非负整数 k 是的 n = 2 ^ k。
首先判断 n 是否是正整数，如果 n 是 0 或者 负整数，则 n 一定不是 2 的幂。
当 n 是整数时，为了判断 n 是否是 2 的幂， 可以连续对 n 进行除以 2 的操作，直到 n 不能被 2 整除。此时如果 n = 1，那么 n 就是 2 的幂数，否则 n 不是 2 的幂。
代码如下：
java
/**
* 是否为2的幂
* @param n
* @return
*/
public static boolean isPowerOfTwo(int n) {
if ( n <= 0){
return false;
}
while (n % 2 == 0){
n /= 2;
}
return n == 1;
}当然这种方法效率不高，容易超时。（但是我们有法宝 位运算加强🥰
如果采用位运算，该方法与我们之前说的统计数字转换二进制数以后1的个数思路一致。当 n > 0 时，考虑 n 的二进制表示。如果存在非负整数k 使得 n = 2 ^ k ，则n 的二进制表示为 1 后面跟着 k 个 0 。由此可以看出，正整数 n 是 2 的幂，当且仅当 n 的二进制表示中只有最高位是 1 ，其余位 都是 0， 此时满足 n & （ n - 1) = 0。此时代码就简单多了。
java
public boolean isPowerOfTwo(int n) {
return (n > 0) && (n &(n - 1)) == 0;
}注意：考虑优先级问题
求3的次幂
参考题目介绍：326. 3 的幂 - 力扣（LeetCode）
逐步缩小的方法对此也适用：
如果n是 3 的幂数， 则 n > 0，且存在非负整数 k 是的 n = 3 ^ k。
首先判断 n 是否是正整数，如果 n 是 0 或者 负整数，则 n 一定不是 3 的幂。
当 n 是整数时，为了判断 n 是否是 3 的幂， 可以连续对 n 进行除以3 的操作，直到 n 不能被 2 整除。此时如果 n = 1，那么 n 就是 3 的幂数，否则 n 不是 3 的幂。
java
public boolean isPowerOfThree(int n) {
if(n <= 0){
return false;
}
while(n % 3 == 0){
n /= 3;
}
return n == 1;
}这个技巧和上面的一样，这里提供另一个思路：
由于输入 n 是 int 型， 其最大值为 2 ^ 31 - 1。因此在int 型的数据范围内存在最大的 3 的幂，不会超过2 ^ 31 - 1，最大的 3 的幂是 3 ^ 19 = 1162261467。所以在 1 ~ 2 ^ 31 - 1内的数，如果是 3 的幂数，那么一点是1162261467的除数，所以这里就可以这样写：
java
public boolean isPowerOfThree(int n) {
return n > 0 && 1162261467 % n == 0;
}当然这个解法只是扩展思路的，没必要记住这个1162261467这个数字。
思考一下：这里换成4，5，6，7，8，9可以嘛？如果不可以，那如果只是针对素数3，5，7，11， 13 可以嘛？
求4的次幂
参考题目介绍：342. 4的幂 - 力扣（LeetCode）
上述同样的方法这里也可行，推荐换一种判断负数的方式
java
public boolean isPowerOfFour(int n) {
while(n != 0 && n % 4 == 0){
n /= 4;
}
return n == 1;
}试想一下，这个题还能怎么优化，是否可以利用2的次幂呢？
这里留一个作业💕
当然除了幂运算，指数计算的思路与之类似，感兴趣也可以尝试下
那这个题练练手
总结
提示：数组加法专题；字符串加法；二进制加法；幂运算；幂运算优化；
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