算法通过村第十三关-术数|白银笔记|术数高频问题

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前言


提示:人心本易趋死寂,苦难之后,焕然重建,激荡一阵,又趋麻木。 --苏枕书《有鹿来》

我们继续看几个数学与数字相关的重要题目,数学的问题有很多,力扣上面也有很多练习,通过这些练习你可以掌握很多技巧,真的如果你不练习,你真的不知道其实还可以这么做。所以算法也是一个累计的过程,积累经验才能以后游刃有余。

数组实现加法专题

数字加法,可以说是老生常谈了,但是让你用数组表示一个数,你需要如何去实现呢?今天我们就来挑战一下。

这里提前说一下,你会遇到很多棘手的问题,例如:A[0]位置时发现如果进位要怎么办?

再拓展一下,如果给定两个数,一个数用数组存储,另外一个是普通的整数,又该如何处理呢?

在拓展,如果两个整数是用字符串表示的呢? 如果是二进制表示的呢?加法的规则怎么处理?

数组实现整数加法

参考题目介绍:66. 加一 - 力扣(LeetCode)


这个看似很简单?从后向前一次加就行了,如果有进位就标记一下,但是如果到头了也要进位要怎么办?

例如:digits=[9,9,9],从后面向前加的时候,到了A[0]的位置计算为0,需要再次进位,但是数组却不能保存,这里该怎么办?

这里的关键是A[0] 在什么时候出现进位的情况,我们直到此时一定是9, 99, 999, ...这样的结构才会出现加1之后再次进位,而进位之后的结果一定是10,100,1000这样的结构,由于Java中数组默认初始化为0,所以我们此时只需要再次申请一个空间比A[]大一个数的数组B[],然后将B[0]设置为1就可以。代码写起来也很简洁。

java 复制代码
   /**
    * 整数加一
    * @param digits
    * @return
    */
   public static int[] plusOne(int[] digits) {
       int len = digits.length;
       for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
           digits[i]++;
           digits[i] %= 10;
           // 注意这里 提前出去的条件
           if (digits[i] != 0) {
               return digits;
           }
       }
       // 9 99 999等 // 这里比较巧妙
       digits = new int[len + 1];
       digits[0] = 1;
       return digits;

   }

字符串加法

我们继续看将数组存储再字符串中的情况:字符串加法就是使用字符串表示数字,然后计算他们的和。具体要求如下:给定两个字符串形式的非负整数num1和num2,计算他们的和并同样以字符串形式返回。你不能使用内建的用于处理大整数的库(比如BigInteger),也不能直接将输入的字符串转换成整数形式。

我们写个例子:

java 复制代码
例如:
输入:num1 = "456" , num2 = "77"
输出:"533"

我们先想一下小学里面的加法是如何实现两个数的计算的。经典的竖式加法:

从低位到高位逐步相加,如果当前位和超过10,则向高位进一位。

因此我们只要将这个过程用代码表示出来就可以了。先定义两个指针 i 和 j 分别指向 num1 和num2 的末尾,也就是最低位,同样定义一个变量 add 维护当前是否需要进位,然后从末尾到开头诸位累加。

这里有个问题,两个数字位数不同该怎么处理?很简单,补0就可以了,我们看看具体要怎么做吧:

java 复制代码
    /**
     *  两个字符串相加
     * @param num1
     * @param num2
     * @return
     */
    public static String addStrings(String num1, String num2) {
        // 准备工作
        int len1 = num1.length(), len2 = num2.length();
        StringBuffer ans = new StringBuffer();
        int add = 0;
        // 注意循环条件处理
        while(len1 >= 0||len2 >= 0 || add != 0){
            // 缺位补0
            int x = len1 >= 0 ? num1.charAt(len1) - '0' : 0;
            int y = len2 >= 0 ? num2.charAt(len2) - '0' : 0;
            int result = x + y + add;
            ans.append(result % 10);
            add = result / 10;
            len1--;
            len2--;
        }
        // 计算完毕后记得反转
        ans.reverse();
        return  ans.toString();
    }

二进制加法

参考题目介绍:67. 二进制求和 - 力扣(LeetCode)

我们看看二进制怎么处理吧!这个题目也是用字符串表示数据的,也要先转为字符数组。我们熟悉的十进制,是从个位开始,逐步到高位,达到10就进位,而对于二进制判断相加之后是否为2,就可以决定是否发生进位了。如果是就进位。所以思路大致一样,也是由于字符串的操作原因,不确定左后移位是否出现进位,这里提供两个办法处理

  • 第一种:在进行计算时直接拼接字符串,得到一个反向字符,最后再翻转回来。(10进制一样)
  • 第二种:按照位置给结果字符赋值,最后如果有进位,则在前方进行字符串拼接加进位

我们这里就采用第二种做:

java 复制代码
    /**
     * 两个字符串二进制相加
     * @param a
     * @param b
     * @return
     */
    public static String addBinary(String a, String b) {
        // 准备工作
        int len1 = a.length(), len2 = b.length();
        StringBuffer ans = new StringBuffer();
        int add = 0;
        for (int i = len1 - 1, j = len2 - 1; i >= 0 || j >= 0; i--, j--) {
            int sum = add;
            sum += i >= 0 ? a.charAt(i) - '0' : 0;
            sum += j >= 0 ? b.charAt(j) - '0' : 0;
            ans.append(sum % 2);
            add = sum / 2;
        }
        ans.append(add == 1 ? add : "");
        return ans.reverse().toString();
    }

当然有人回想,这里转成十进制,计算完成后再转成二进制不也行吗?这么实现很容易,而且可以使用语言的特性直接转换,但是面试的时候也不行,用不了,但是工程里可以这么做,稳定(算法不行,不能这么干)

幂运算专题

幂运算也是常见的数学运算,其形式为a^b,也就是a的b次方呗,其中a称为底数,b称为指数,a^b的合法运算(不会出现a == 0 且 b <= 0 的情况)。幂运算满足底数和指数都是实数。根据具体情况,底数和指数的数据类型和取值范围也各不相同,例如有的说是,底数是正整数,指数为非负数,有的问题中,底数为实数,指数是整数。

力扣中,幂运算相关的问题主要判断一个数是不是特定正整数的整数次幂,以及快速处理幂。

求2的次幂

参考题目介绍:231. 2 的幂 - 力扣(LeetCode)


本题目的解决思路还是很清晰的,我们可以用除的方法来逐步缩小n的值,另外一个就是使用位运算。

逐步缩小的方法就是:如果n是2的幂数, 则 n > 0,且存在非负整数 k 是的 n = 2 ^ k。

首先判断 n 是否是正整数,如果 n 是 0 或者 负整数,则 n 一定不是 2 的幂。

当 n 是整数时,为了判断 n 是否是 2 的幂, 可以连续对 n 进行除以 2 的操作,直到 n 不能被 2 整除。此时如果 n = 1,那么 n 就是 2 的幂数,否则 n 不是 2 的幂。

代码如下:

java 复制代码
    /**
     * 是否为2的幂
     * @param n
     * @return
     */
    public static boolean isPowerOfTwo(int n) {
        if ( n <= 0){
            return false;
        }
        while (n % 2 == 0){
            n /= 2;
        }
        return n == 1;
    }

当然这种方法效率不高,容易超时。(但是我们有法宝 位运算加强🥰

如果采用位运算,该方法与我们之前说的统计数字转换二进制数以后1的个数思路一致。当 n > 0 时,考虑 n 的二进制表示。如果存在非负整数k 使得 n = 2 ^ k ,则n 的二进制表示为 1 后面跟着 k 个 0 。由此可以看出,正整数 n 是 2 的幂,当且仅当 n 的二进制表示中只有最高位是 1 ,其余位 都是 0, 此时满足 n & ( n - 1) = 0。此时代码就简单多了。

java 复制代码
   public boolean isPowerOfTwo(int n) {
        return (n > 0) && (n &(n - 1)) == 0;
    }

注意:考虑优先级问题

求3的次幂

参考题目介绍:326. 3 的幂 - 力扣(LeetCode)

逐步缩小的方法对此也适用:

如果n是 3 的幂数, 则 n > 0,且存在非负整数 k 是的 n = 3 ^ k。

首先判断 n 是否是正整数,如果 n 是 0 或者 负整数,则 n 一定不是 3 的幂。

当 n 是整数时,为了判断 n 是否是 3 的幂, 可以连续对 n 进行除以3 的操作,直到 n 不能被 2 整除。此时如果 n = 1,那么 n 就是 3 的幂数,否则 n 不是 3 的幂。

java 复制代码
    public boolean isPowerOfThree(int n) {
        if(n <= 0){
            return false;
        }
        while(n % 3 == 0){
            n /= 3;
        }
        return n == 1;
    }

这个技巧和上面的一样,这里提供另一个思路:

由于输入 n 是 int 型, 其最大值为 2 ^ 31 - 1。因此在int 型的数据范围内存在最大的 3 的幂,不会超过2 ^ 31 - 1,最大的 3 的幂是 3 ^ 19 = 1162261467。所以在 1 ~ 2 ^ 31 - 1内的数,如果是 3 的幂数,那么一点是1162261467的除数,所以这里就可以这样写:

java 复制代码
    public boolean isPowerOfThree(int n) {
        return n > 0 && 1162261467 % n == 0;
    }

当然这个解法只是扩展思路的,没必要记住这个1162261467这个数字。

思考一下:这里换成4,5,6,7,8,9可以嘛?如果不可以,那如果只是针对素数3,5,7,11, 13 可以嘛?

求4的次幂

参考题目介绍:342. 4的幂 - 力扣(LeetCode)

上述同样的方法这里也可行,推荐换一种判断负数的方式

java 复制代码
    public boolean isPowerOfFour(int n) {
        while(n != 0 && n % 4 == 0){
            n /= 4;
        }
        return n == 1;
    }

试想一下,这个题还能怎么优化,是否可以利用2的次幂呢?

这里留一个作业💕

当然除了幂运算,指数计算的思路与之类似,感兴趣也可以尝试下

50. Pow(x, n) - 力扣(LeetCode)

那这个题练练手


总结

提示:数组加法专题;字符串加法;二进制加法;幂运算;幂运算优化;


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