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题目描述
两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。
它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。
可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。
不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。
但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。
为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙 A A A 和青蛙 B B B，并且规定纬度线上东经 0 0 0 度处为原点，由东往西为正方向，单位长度 1 1 1 米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。
设青蛙 A A A 的出发点坐标是 x x x，青蛙 B B B 的出发点坐标是 y y y。
青蛙 A A A 一次能跳 m m m 米，青蛙 B B B 一次能跳 n n n 米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。
纬度线总长 L L L 米。
现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
输入格式
输入只包括一行 5 5 5 个整数 x ， y ， m ， n ， L x，y，m，n，L x，y，m，n，L。
输出格式
输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行 Impossible。
数据范围
x ≠ y < 2000000000 x \neq y < 2000000000 x=y<2000000000,
0 < m , n < 2000000000 0 < m,n < 2000000000 0<m,n<2000000000,
0 < L < 2100000000 0 < L < 2100000000 0<L<2100000000
输入样例：
1 2 3 4 5
输出样例：
4
思路
以下是简化过后的题目描述：
给定 a , b , m , n , L a, b, m, n,L a,b,m,n,L，求关于 x x x 的同余方程 ( m − n ) x ≡ b − a ( m o d L ) (m-n)x \equiv b-a\pmod L (m−n)x≡b−a(modL) 的正整数解
根据扩展欧几里得算法，我们先求出方程 ( m − n ) x − L y = gcd ( m − n , L ) (m-n)x-Ly=\gcd(m-n,L) (m−n)x−Ly=gcd(m−n,L) 的解 x 0 x_0 x0。
根据裴蜀定理，只有当 gcd ( m − n , L ) ∣ b − a \gcd(m-n,L)|b-a gcd(m−n,L)∣b−a 时，方程有整数解。
故：若不能整除则输出 Impossible。
否则，根据余数的性质，方程 ( m − n ) x ≡ b − a ( m o d L ) (m-n)x \equiv b-a\pmod L (m−n)x≡b−a(modL) 的可行解 x x x 为： x = x 0 × b − a gcd ( m − n , L ) x=x_0\times \frac{b-a}{\gcd(m-n,L)} x=x0×gcd(m−n,L)b−a
通解为： x + k × L gcd ( m − n , L ) ( k ∈ Z ) x+k\times\frac{L}{\gcd(m-n,L)}(k \in \mathbb{Z}) x+k×gcd(m−n,L)L(k∈Z)
此时求出最小正整数解即为答案。
算法时间复杂度
AC Code
C + + \text{C}++ C++
cpp
#include <iostream>
#define int long long
using namespace std;
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if (!b)
{
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return d;
}
signed main()
{
int a, b, x, y, l, m, n;
cin >> a >> b >> m >> n >> l;
int d = exgcd(m - n, l, x, y);
if ((b - a) % d) puts("Impossible");
else
{
x *= (b - a) / d;
int t = abs(l / d);
cout << (x % t + t) % t << endl; // 正整数解
}
return 0;
}
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