Master Theorem：
假定一个分治算法将规模为n的问题分为k个规模为n/m的子问题，并假设分解和合并的时间复杂度为f(n)，即：
T ( n ) = k T ( n m ) + f ( n ) (n>1) T(n) = kT(\frac{n}{m}) + f(n) \tag{n>1} T(n)=kT(mn)+f(n)(n>1)
T ( 1 ) = O ( 1 ) (n=1) T(1) =O(1) \tag{n=1} T(1)=O(1)(n=1)
同迭代法求解递推方程可得：
T ( n ) = n log m k + ∑ j = 0 log n m − 1 k j f ( n m j ) T(n) = n^{\log_m k} + \sum_{j=0}^{\log_n m-1} k^j f(\frac{n}{m^j}) T(n)=nlogmk+j=0∑lognm−1kjf(mjn)
初次自己手推如下：
T ( n ) = k log m n + ∑ j = 0 log n m − 1 k j f ( n m j ) T(n) = k^{\log_m n} + \sum_{j=0}^{\log_n m-1} k^j f(\frac{n}{m^j}) T(n)=klogmn+j=0∑lognm−1kjf(mjn)
将T(n)带入T(n-1), T(n-1)带入T(n-2)，...， T(2)带入T(1)，这样层层带入后，展开的第一部分是 log m n \log_m n logmn个k相乘，第二部分是一个幂级数：
f ( n ) + k f ( n m ) + k 2 f ( n m 2 ) + k 3 f ( n m 3 ) + . . . + k j f ( n m j ) f(n) +k f(\frac{n}{m}) + k^2f(\frac{n}{m^2}) + k^3f(\frac{n}{m^3}) + ... + k^jf(\frac{n}{m^j}) f(n)+kf(mn)+k2f(m2n)+k3f(m3n)+...+kjf(mjn)
一直感觉自己的推导没问题，公式里的第一项没看懂，为什么自己推导的跟公式里面的第一项不同呢？自己哪里错了呢？
突然有一天看到这篇文章：https://zhuanlan.zhihu.com/p/196781010，才发现自己没写错，定理里面的写法和自己写的一样。
即： k log m n = k log k n log k m = ( k log k n ) 1 log k m = n 1 log k m k^{\log _m n} = k^{\frac{\log_k n}{\log_k m}} = (k^{\log_k n})^{\frac{1}{\log _k m}} = n ^{\frac{1}{\log _k m}} klogmn=klogkmlogkn=(klogkn)logkm1=nlogkm1
若 1 log k m = t ，则 k 1 t = m , k = m t , t = log m k ， 即上式可写为 M a t e r T h e o r e m 的形式，定理得证。 若\frac{1}{\log_k m} = t，则k ^{\frac{1}{t}} = m,k = m^t,t = \log _m k，\\ 即上式可写为Mater Theorem的形式，定理得证。 若logkm1=t，则kt1=m,k=mt,t=logmk，即上式可写为MaterTheorem的形式，定理得证。