96. 不同的二叉搜索树

题目连接：力扣（LeetCode）官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台

解题思路：

首先需要明白什么是二叉搜索树 ，二叉搜索树又叫二叉排序树 ，二叉查找树，它是一种对排序和查找都很有用的特殊二叉树。

二叉搜索树的定义：

二叉搜索树或者是一颗空树，或者是具有如下性质的二叉树：

若它的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值
若它的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值
它的左、右子树也分别为二叉搜索树。

二叉搜索树是递归定义的，所以此题可以使用递归进行构造所有的二叉搜索树，具体算法如下：

对与当前的二叉搜索树的根节点的值可以从1~n之间任意选择一个，一旦根节点的值确定，那么左子树中所有节点值的范围和右子树所有节点值的范围就确定了，比如根节点为 i ，则左子树所有节点值得大小在 1~i-1之间 ，右子树所有节点值得大小在 i+1~n之间。
而左子树和右子树根节点得值确定后，又可以进一步确定其左子树和右子树节点值得范围。

解法一：递归+记忆化搜索

递归函数实现如下：

递归函数定义：int numTrees(int left，int right)：表示节点值在 $left , right$ 之间时，返回可以生成地所有不同地二叉搜索树的数量。
递归终止条件：如果left > right：显然返回一颗空树，返回1
否则：
1. result保存最终结果
2. 枚举left到right之间的值 i ：
  1. 将 i 作为当前二叉搜索树的根节点的值
  2. 那么左子树所有节点值的范围为 $left , i-1$ ，这些节点可以生成的所有不同左子树数量为：leftNums = numTrees(left，i-1)
  3. 右子树所有节点值的范围为 $i+1 , right$ ，这些节点可以生成的所有不同右子树的数量为：rightNums = numTrees(i+1 ，right)
  4. 那么每一个左子树和右子树与当前根节点都可以构成一个二叉搜索树，所以总的数量为 leftNums * rightNums
  5. result+=leftNums * rightNums
3. 返回result
因为递归有很多重复的计算，可以使用dp $left$ $right$ 保存已经计算过的递归（记忆化搜索）

AC代码：

java 复制代码

class Solution {
    static int[][] dp;
    public static int numTrees(int n) {
        dp= new int[n+2][n+2];
        return numTrees(1,n);
    }
    public static int numTrees(int left,int right){
        if (dp[left][right]!=0){//已经计算过，直接返回
            return dp[left][right];
        }
        if (left>right){
            dp[left][right]=1;
            return 1;
        }

        int result =0;
        for (int i =left;i<=right;i++){
            int leftNums = numTrees(left,i-1);
            int rightNums = numTrees(i+1,right);
            result+=leftNums*rightNums;
        }

        dp[left][right]=result;
        return result;
    }
}

解法二：动态规划

定义状态：dp $n$ 表示由n个节点组成且节点值互不相同的 二叉搜索树 的个数（注意：这里不要求节点的值从 1 开始，只需要满足二叉搜索树是由n个节点构成即可）
初始状态：dp $0$ =dp $1$ =1;
状态转移：
1. 对于 dp $i$ ：即一共有 i 个节点构成的不同二叉搜索树的个数，对于dp $i$ 的求解，可以从这 i 个节点中任意选择一个节点作为跟节点，
2. 从 1~i 开始遍历，选择节点 j 作为根节点：
  1. 对于左子树，只能从由 1~j-1，这j-1个节点构成，一共可以有 dp $j-1$ 个不同的二叉搜索树
  2. 对于右子树，只能有 j+1~ i，这 i-j 个节点构成，一共可以有dp $i-j$ 个不同的二叉搜索树
  3. 所以当选择 j 作为根节点时，一共可以由 dp $j-1$ * dp $i-j$ 个不同的二叉搜索树
3. 所以dp $i$ += dp $j-1$ * dp $i-j$

AC代码：

java 复制代码

class Solution {
    public static int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0]=dp[1]=1;
        for (int i =2;i<=n;i++){
            for (int j = 1;j<=i;j++){
                dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}