文章目录
- 一、基本概念
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- [1.1 引例](#1.1 引例)
- [1.2 正定二次型概念](#1.2 正定二次型概念)
- 二、正定二次型的判别
- 写在最后
一、基本概念
1.1 引例
（1）二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 2 + 3 x 2 2 + 2 x 3 2 = X T A X f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+3x_2^2+2x_3^2=\pmb{X^TAX} f(x1,x2,x3)=x12+3x22+2x32=XTAX 有如下特点：
- 对任意的 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x1,x2,x3 ，有 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) ≥ 0 f(x_1,x_2,x_3)\geq0 f(x1,x2,x3)≥0 ；
- f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 0 f(x_1,x_2,x_3)=0 f(x1,x2,x3)=0 当且仅当 x 1 = x 2 = x 3 = 0 x_1=x_2=x_3=0 x1=x2=x3=0 ，或对任意 X ≠ 0 \pmb{X}\ne\pmb{0} X=0 ，有 X T A X > 0 \pmb{X^TAX}>0 XTAX>0 。
（2）二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 2 − 2 x 1 x 2 + 4 x 2 2 + 6 x 3 2 = ( x 1 − x 2 ) 2 + 3 x 2 2 + 6 x 3 2 = X T A X f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-2x_1x_2+4x_2^2+6x_3^2=(x_1-x_2)^2+3x_2^2+6x_3^2=\pmb{X^TAX} f(x1,x2,x3)=x12−2x1x2+4x22+6x32=(x1−x2)2+3x22+6x32=XTAX 有如下特点：
- 对任意的 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x1,x2,x3 ，有 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) ≥ 0 f(x_1,x_2,x_3)\geq0 f(x1,x2,x3)≥0 ；
- f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 0 f(x_1,x_2,x_3)=0 f(x1,x2,x3)=0 当且仅当 x 1 = x 2 = x 3 = 0 x_1=x_2=x_3=0 x1=x2=x3=0 ，或对任意 X ≠ 0 \pmb{X}\ne\pmb{0} X=0 ，有 X T A X > 0 \pmb{X^TAX}>0 XTAX>0 。
1.2 正定二次型概念
对二次型 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = X T A X f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\pmb{X^TAX} f(x1,x2,⋯,xn)=XTAX ，若对任意 X ≠ 0 \pmb{X}\ne\pmb{0} X=0 ，总有 X T A X > 0 \pmb{X^TAX}>0 XTAX>0 ，称 X T A X \pmb{X^TAX} XTAX 为正定二次型， A \pmb{A} A 为正定矩阵。
二、正定二次型的判别
定理 1 ------ 二次型 X T A X \pmb{X^TAX} XTAX 为正定二次型的充分必要条件是 A \pmb{A} A 的特征值均为正数。
定理 2 ------ 二次型 X T A X \pmb{X^TAX} XTAX 为正定二次型的充分必要条件是 A \pmb{A} A 的顺序主子式都大于 0 ，即 a 11 > 0 , ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ > 0 , ⋯ , ∣ A ∣ > 0. a_{11}>0,\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}>0,\cdots,|\pmb{A}|>0. a11>0, a11a21a12a22 >0,⋯,∣A∣>0. 定理 3 ------ 设 A T = A \pmb{A^T=A} AT=A ，则 A \pmb{A} A 为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵 B \pmb{B} B 使得 A = B T B \pmb{A=B^TB} A=BTB 。
定理 4 ------ 设 A T = A \pmb{A^T=A} AT=A ，则 A \pmb{A} A 为正定矩阵的充分必要条件是 A \pmb{A} A 与 E \pmb{E} E 合同。
定理 5 ------ 设 A T = A \pmb{A^T=A} AT=A ，则 A \pmb{A} A 为正定矩阵的充分必要条件是 A \pmb{A} A 的正惯性指数为 n n n 。
定理 6 ------ 设 A , B \pmb{A,B} A,B 分别为 m m m 阶和 n n n 阶实对称矩阵，则 [ A 0 0 B ] \begin{bmatrix} \pmb{A} & \pmb{0} \\ \pmb{0} & \pmb{B} \end{bmatrix} [A00B] 为正定矩阵的充分必要条件为 A , B \pmb{A,B} A,B 均为正定矩阵。
二次型 f ( X ) = X T A X f(\pmb{X})=\pmb{X^TAX} f(X)=XTAX 正定的必要条件是 a i i > 0 ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) ; ∣ A ∣ > 0 a_{ii}>0(i=1,2,\cdots,n);|A|>0 aii>0(i=1,2,⋯,n);∣A∣>0 。
即可以先看看对角线元素和行列式是否大于 0 ，作初步判别。
若 A \pmb{A} A 为正定矩阵，则其一定可逆；且 A − 1 , A ∗ \pmb{A}^{-1},\pmb{A}^* A−1,A∗ 均正定。
若 A , B \pmb{A,B} A,B 都是正定矩阵，则 A + B \pmb{A}+\pmb{B} A+B 也是正定矩阵。
写在最后
那线性代数到这，理论也就基本结束了。