左神算法题系列：动态规划机器人走路

机器人走路

假设有排成一行的N个位置记为1~N，N一定大于或等于2

开始时机器人在其中的start位置上(start一定是1~N中的一个)

如果机器人来到1位置，那么下一步只能往右来到2位置；

如果机器人来到N位置，那么下一步只能往左来到N-1位置；

如果机器人来到中间位置，那么下一步可以往左走或者往右走；

规定机器人必须走K步，最终能来到aim位置(P也是1~N中的一个)的方法有多少种

给定四个参数 N，start，aim，K 返回能走到的方法数

递归思路

1、当cur在1位置时，只能向2位置移动

2、当cur在N位置时，只能向N-1位置移动

3、当cur在中间位置，可以向cur+1位置移动、也可以向cur-1位置移动

4、如果剩余步数刚好走完时，来到目标位置，返回1，否则返回0

python 复制代码

class RobotWalk(object):
    def ways_a(self, pos, steps, start, target):
        """

        :param pos: 总共有pos个位置
        :param steps: 可以走的步数
        :param start: 开始位置
        :param target: 目标位置
        :return:
        """
        if pos < 2 or steps < 1 or start < 1 or start > pos or target < 1 or target > pos:
            return 0
        return self.process_a(pos, start, steps, target)

    def process_a(self, pos, cur, rest, target):
        """
        :param pos: 总共有pos个位置
        :param cur: 当前来到的位置
        :param rest: 还剩下的步数
        :param target: 目标位置
        :return: 机器人从cur出发，走过rest步之后，最终停留在target的方法数
        """
        # 步数走完时，如果机器人刚好到达目标位置，则返回1
        if rest == 0:
            return 1 if cur == target else 0
        # 如果在1位置，只能向右走 -> cur+1
        if cur == 1:
            return self.process_a(pos, cur + 1, rest - 1, target)
        # 如果在最后一个位置，只能向左 -> cur-1
        if cur == pos:
            return self.process_a(pos, cur - 1, rest - 1, target)
        # 中间位置 既能向左又能向右
        return self.process_a(pos, cur + 1, rest - 1, target) + self.process_a(pos, cur - 1, rest - 1, target)

动态规划

加缓存

python 复制代码

class RobotWalk(object):
    def ways_b(self, pos, steps, start, target):
        """

        :param pos: 总共有pos个位置
        :param steps: 可以走的步数
        :param start: 开始位置
        :param target: 目标位置
        :return:
        """
        if pos < 2 or steps < 1 or start < 1 or start > pos or target < 1 or target > pos:
            return 0
        # 转移条件 剩下的步数 和 当前位置
        # 当前位置cur 范围 1~pos
        # 剩余步数rest 范围 0~steps
        # steps（总步数） 列 pos（总共位置数） 行的数组
        cache = [[-1] * (steps + 1) for _ in range(pos + 1)]
        return self.process_b(pos, start, steps, target, cache)

    def process_b(self, pos, cur, rest, target, cache):
        """
        加缓存减少重复计算
        :param pos:
        :param cur:
        :param rest:
        :param target:
        :param cache:
        :return:
        """
        # 当前位置没有计算过，则计算后存入缓存，否则直接返回缓存数据
        if cache[cur][rest] == -1:
            # 步数走完时，如果机器人刚好到达目标位置，则返回1
            if rest == 0:
                index = 1 if cur == target else 0
            elif cur == 1:
                index = self.process_b(pos, 2, rest - 1, target, cache)
            elif cur == pos:
                index = self.process_b(pos, pos - 1, rest - 1, target, cache)
            else:
                index = self.process_b(pos, cur + 1, rest - 1, target, cache) + \
                        self.process_b(pos, cur - 1, rest - 1, target, cache)
            cache[cur][rest] = index
        return cache[cur][rest]

假如:

位置数 pos=6

剩余步数steps=5

开始位置start=1

目标位置target=4

cur为当前位置

创建动态表dp 行代表位置数 pos(1,pos), 列代表剩余步数rest(0,steps)

根据递归条件填表：

1、当剩余步数为0时，刚好来到target位置，dp值为1，如果在其他位置，说明未到目标位置，dp值为0

即：dp $cur$ $rest$ = dp $4$ $0$ = 1

2、当cur=1时，只能向2位置移动，都依赖dp $2$ $rest-1$ 位置的值

3、当cur=pos时，只能向pos-1位置移动，都依赖dp $pos-1$ $rest-1$ 位置的值

4、当1<cur<pos时，既能向cur-1位置移动，也能向cur+1位置移动，都依赖dp $cur-1$ $rest-1$ +dp $cur+1$ $rest-1$

最终求dp $start$ $rest$ --> dp $1$ $5$ = 4

| cur/rest

位置/剩余步数	0	1	2	3	4	5
0	x	x	x	x	x	x
1	0	0	0	1	0	4
2	0	0	1	0	4	0
3	0	1	0	3	0	10
4	1	0	2	0	6	0
5	0	1	0	3	0	9
6	0	0	1	0	3	0

代码实现

python 复制代码

class RobotWalk(object):
    def ways_c(self, pos, steps, start, target):
        """
        :param pos: 总共有pos个位置
        :param steps: 可以走的步数
        :param start: 开始位置
        :param target: 目标位置
        :return:
        """
        if pos < 2 or steps < 1 or start < 1 or start > pos or target < 1 or target > pos:
            return 0
        # 当前位置cur 范围 1~pos
        # 剩余步数rest 范围 0~steps
        # steps（总步数） 列 pos（总共位置数） 行的数组
        dp = [[0] * (steps + 1) for _ in range(pos + 1)]
        # 当剩余0步时，刚好来到target位置 则dp值为1， 其他位置值为0
        dp[target][0] = 1
        # 列
        for col in range(1, steps + 1):
            # 第一行依赖左下元素
            dp[1][col] = dp[2][col - 1]
            # 中间行依赖左下和左上
            for row in range(1, pos):
                dp[row][col] = dp[row + 1][col - 1] + dp[row - 1][col - 1]
            # 最末行依赖左上元素
            dp[pos][col] = dp[pos - 1][col - 1]

        return dp[start][steps]