【Python · PyTorch】线性代数 & 微积分

本文采用Python及PyTorch版本如下：

• Python：3.9.0

• PyTorch：2.0.1+cpu

本文为博主自用知识点提纲，无过于具体介绍，详细内容请参考其他文章。

线性代数 & 微积分

• [1. 线性代数](#1. 线性代数)
• • [1.1 基础](#1.1 基础)
  • • [1.1.1 标量](#1.1.1 标量)
    • [1.1.2 向量](#1.1.2 向量)
    • • 长度（维度）、形状
    • [1.1.3 矩阵](#1.1.3 矩阵)
    • [1.1.3.1 迹](#1.1.3.1 迹)
    • • [1.1.3.2 转置矩阵](#1.1.3.2 转置矩阵)
      • [1.1.3.3 特征值](#1.1.3.3 特征值)
      • [1.1.3.4 奇异值](#1.1.3.4 奇异值)
      • [1.1.3.5 逆矩阵](#1.1.3.5 逆矩阵)
      • [1.1.3.6 Moore-Penrose伪逆](#1.1.3.6 Moore-Penrose伪逆)
    • [1.1.4 张量](#1.1.4 张量)
  • [1.2 向量空间](#1.2 向量空间)
  • [1.3 运算](#1.3 运算)
  • • [1.3.1 加 & 减](#1.3.1 加 & 减)
    • [1.3.2 内积 & 点积](#1.3.2 内积 & 点积)
    • • [1.3.2.1 内积](#1.3.2.1 内积)
      • [1.3.2.1 点积](#1.3.2.1 点积)
    • [1.3.3 外积 & 克罗内克积](#1.3.3 外积 & 克罗内克积)
    • [1.3.4 哈达玛积](#1.3.4 哈达玛积)
    • [1.3.5 矩阵乘积](#1.3.5 矩阵乘积)
    • [1.3.6 向量-向量叉积](#1.3.6 向量-向量叉积)
  • [1.4 范数](#1.4 范数)
  • • [1.4.1 向量范数（p范数）](#1.4.1 向量范数（p范数）)
    • • [1.4.1.1 l 1 \mathscr{l_1} l1范数](#1.4.1.1 l 1 \mathscr{l_1} l1范数)
      • [1.4.1.2 l 2 \mathscr{l_2} l2范数](#1.4.1.2 l 2 \mathscr{l_2} l2范数)
      • [1.4.1.3 l ∞ \mathscr{l_\infty} l∞范数](#1.4.1.3 l ∞ \mathscr{l_\infty} l∞范数)
    • [1.4.2 矩阵范数](#1.4.2 矩阵范数)
    • • [1.4.2.1 F r o b e n i u s \mathscr{Frobenius} Frobenius范数](#1.4.2.1 F r o b e n i u s \mathscr{Frobenius} Frobenius范数)
      • [1.4.2.2 核范数](#1.4.2.2 核范数)
  • [1.5 距离（向量距离）](#1.5 距离（向量距离）)
  • • [1.5.1 l 1 \mathscr{l_1} l1距离](#1.5.1 l 1 \mathscr{l_1} l1距离)
    • [1.5.2 l 2 \mathscr{l_2} l2距离](#1.5.2 l 2 \mathscr{l_2} l2距离)
    • [1.5.3 l ∞ \mathscr{l_\infty} l∞距离](#1.5.3 l ∞ \mathscr{l_\infty} l∞距离)
  • [1.6 余弦相似度](#1.6 余弦相似度)
  • [1.7 矩阵分解](#1.7 矩阵分解)
  • • [1.7.1 矩阵三角分解（LR / LU分解）](#1.7.1 矩阵三角分解（LR / LU分解）)
    • [1.7.2 矩阵正交三角分解（QR分解）](#1.7.2 矩阵正交三角分解（QR分解）)
    • [1.7.3 矩阵特征值分解（EVD分解）](#1.7.3 矩阵特征值分解（EVD分解）)
    • [1.7.4 矩阵奇异值分解（SVD分解）](#1.7.4 矩阵奇异值分解（SVD分解）)
  • [1.8 降维](#1.8 降维)
  • • [1.8.1 基础操作](#1.8.1 基础操作)
    • • [1.8.1.1 求和](#1.8.1.1 求和)
      • [1.8.1.2 平均值](#1.8.1.2 平均值)
    • [1.8.2 PCA主成分分析](#1.8.2 PCA主成分分析)
    • [1.8.3 稀疏矩阵压缩](#1.8.3 稀疏矩阵压缩)
• [2. 微积分](#2. 微积分)
• • [2.1 导数 & 微分](#2.1 导数 & 微分)
  • [2.2 偏导数](#2.2 偏导数)
  • [2.3 梯度](#2.3 梯度)
  • [2.4 Hessian矩阵](#2.4 Hessian矩阵)
  • [2.5 Jacobian矩阵](#2.5 Jacobian矩阵)

1. 线性代数

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量、向量空间（线性空间）、线性变换及有限维的线性方程组。线性代数已被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

• 线性（Linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。
• 非线性（Non-Linear）则相反，即量与量之间不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数的函数。

1.1 基础

1.1.1 标量

在数学中，标量（Scalar）：亦称作"无向量"，只具有数值大小，没有方向，但有正负之分。

在Python中，标量即为普通的数字类型，包括int（整型）、float（浮点型）、bool（布尔型）和complex（复数）。

在数学定义中，标量等价于零阶张量；在PyTorch中也是如此，但零阶张量被表示为为仅包含一个数字的torch.Tensor类型（等价于仅包含一个元素的列表），并不完全等价于数学上的普通标量（单个数字）。

import torch

x = torch.tensor(3.0)
y = torch.tensor(2.0)

x + y, x * y, x / y, x ** y

1.1.2 向量

在数学中，向量（Vector，亦称欧几里得向量、几何向量），指具有大小（magnitude）和方向的量，形式上表现为以原点为始点箭头指向终点的坐标。向量一般表示为带箭头的线段，表示其方向；印刷体一般为加粗体字母。

数学表示法用x ∈ℝ^n^表示向量。

印刷体：
x = [ x 1 x 2 x 3 ⋮ x n ] \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots\\ x_n \\ \end{bmatrix} x= x1x2x3⋮xn

手写体：
x → = [ x 1 x 2 x 3 ⋮ x n ] \overrightarrow{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots\\ x_n \\ \end{bmatrix} x = x1x2x3⋮xn

在Python中，向量可以视作由标量值组成的列表，其中的标量值被称作向量的元素（element）或分量（component）。一般可用向量表示数据集中的样本。

在数学定义中，向量等价于一阶张量，在PyTorch中也是如此。

x = torch.arange(4)
x

我们可以通过索引访问元素，获得的元素仍为PyTorch标量（即<class 'torch.Tensor'>类型）。

x[3]

---

长度（维度）、形状

向量的长度与维度等价，我们可以通过Python的内置函数len来访问其长度。

len(x)

当张量为一阶张量（向量）时，我们可以通过shape属性访问其长度。

x.shape

维度之分：

• 张量：张量维度指张量的轴数（阶数）
• 向量：向量维度指元素的数量（长度）

1.1.3 矩阵

在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。

在Python与数学中，矩阵同样代表二阶张量，以及向量的向量。

数学表示法用A∈ℝ^m×n^来表示矩阵A，即用大写字母来表示矩阵，其中每个元素a~ij~属于第i行第j列。

A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} A= a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn

A的形状为(m,n)或m×n，当m=n时，其被称作方阵（Square Matrix）。

我们可以通过调用函数创建一个5×4的矩阵。

A = torch.arange(20).reshape(5, 4)
A

与向量相同，我们可以通过索引访问元素，获得的元素仍为PyTorch标量（即<class 'torch.Tensor'>类型）。

A[3, 3]

1.1.3.1 迹

迹（trace）运算是方阵对角元素的和：
T r ( A ) = ∑ i A i , i Tr(A)=\sum_{i}A_{i,i} Tr(A)=i∑Ai,i

代码如下：

D = torch.arange(16).reshape(4,4)
D.trace()

在PyTorch中，非方阵迹计算规则如下：

代码如下：

B = torch.arange(20).reshape(4,5)
C = torch.arange(20).reshape(5,4)
B, B.trace(), C, C.trace()

1.1.3.2 转置矩阵

当交换矩阵的行、列时，结果称为矩阵的转置（transpose），一般使用 A T A^{T} AT表示矩阵 A A A的转置。

A T = [ a 11 a 21 ⋯ a m 1 a 12 a 22 ⋯ a m 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a m n ] A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} AT= a11a12⋮a1na21a22⋮a2n⋯⋯⋱⋯am1am2⋮amn

可以通过如下代码访问其转置。

A.T

当 A = A T A=A^{T} A=AT时，将 A A A矩阵称为对称矩阵（Systematic Matrix）。

1.1.3.3 特征值

特征值：指设 A A A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得 A x = λ x Ax=λx Ax=λx成立，则称λ是 A A A的一个特征值（characteristic value）或本征值（eigenvalue）。特征值分解可对满秩方阵进行分解。

具体内容见：特征值分解

1.1.3.4 奇异值

奇异值是矩阵里的概念，一般通过奇异值分解定理求得。设 A A A为m*n阶矩阵，q=min(m,n)， A A T AA^{T} AAT的q个非负特征值的算术平方根叫作A的奇异值。奇异值分解是线性代数和矩阵论中一种重要的矩阵分解法，适用于信号处理和统计学等领域。

具体内容见：奇异值分解

1.1.3.5 逆矩阵

设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=I ，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵。
A B = B A = I A T = B AB=BA=I\\ A^{T}=B AB=BA=IAT=B

求逆矩阵代码如下：

# 矩阵求逆一般建议使用double或float浮点型，否则无法表示元素为小数的逆矩阵
F = torch.tensor([[1., 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]])
F.inverse()

1.1.3.6 Moore-Penrose伪逆

对于非方阵，其逆矩阵没有定义，但我们希望通过 A ∈ R m × n A\in \mathbb{R^{m×n}} A∈Rm×n的左逆 B B B求解线性方程：
A x = y Ax=y Ax=y

即：
x = B y x=By x=By

Moore-Penrose伪逆（Moore-Penrose广义逆）定义如下：
A + = lim ⁡ α → 0 ( A T A + α I ) − 1 A T = V D + U T A^{+}=\lim_{\alpha→0}(A^{T}A+\alpha I)^{-1}A^{T}=VD^{+}U^{T} A+=α→0lim(ATA+αI)−1AT=VD+UT

其中，矩阵 U U U、 D D D和 V V V是矩阵 A A A的奇异值分解后得到的矩阵。对角矩阵 D D D的伪逆 D + D^{+} D+是其非零元素取倒数再转置得到的。

对于矩阵 A ∈ R m × n A\in \mathbb{R^{m×n}} A∈Rm×n：

• 当 m ＜ n m＜n m＜n时（行数＜列数），方程可能有多个解， x = A + y \boldsymbol{x}=A^{+}y x=A+y是所有可行解中L2范数 ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 ||x||_2 ∣∣x∣∣2最小的解。
• 当 m ＞ n m＞n m＞n时（列数＜行数），方程可能没有解， x = A + y \boldsymbol{x}=A^{+}y x=A+y可使得 A x Ax Ax和 y y y的L2距离 ∣ ∣ A x − y ∣ ∣ 2 ||Ax-y||_2 ∣∣Ax−y∣∣2最小。

1.1.4 张量

张量是一个更为一般的定义，其用特殊字体的大写字母表示（ X \textsf{X} X），低阶张量与上述三种量的等价关系如下：

• 零阶张量：标量（Scalar）

• 一阶张量：向量（Vector）

• 二阶张量：矩阵（Matrix）

我们同样可以使用类似的方式创建高阶张量，并通过索引访问其中的元素，获得的元素仍为PyTorch标量（即<class 'torch.Tensor'>类型）。

X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
print(X)
print(X[0, 1, 2])

1.2 向量空间

向量空间亦称线性空间，它是线性代数的中心内容和基本概念之一。

设V是一个非空集合，P是一个域。若：

1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和。

2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为数乘（亦称数量乘法），即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。

3.加法与纯量乘法满足以下条件：

（1）α+β=β+α，对任意α,β∈V.

（2）α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α,β,γ∈V.

（3）存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元.

（4）对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α.

（5）对P中单位元1，有1α=α(α∈V).

（6）对任意k,l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).

（7）对任意k,l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.

（8）对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ.

则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。

其中，V中元素称为向量，V的零元称为零向量，P称为线性空间的基域。

当P是实数域时，V称为实线性空间；当P是复数域时，V称为复线性空间。

1.3 运算

1.3.1 加 & 减

任意阶张量均可与自身形状相同的张量相加减。若与单一数字相加减，将为张量内所有元素加减对应数字（等同于张量与由对应数字组成、与其形状、大小相同的张量相加减）

标量：

# 标量
a = torch.tensor(1)
b = torch.tensor(2)
a + b, a + 1

向量：

# 向量
e = torch.tensor([1, 2, 3])
f = torch.tensor([2, 3, 4])
e + f, e + 1 

矩阵：

# 矩阵
A = torch.arange(20).reshape(4, 5)
B = torch.arange(12, 20 + 12).reshape(4, 5)
A + B, A + 1

高阶张量：

# 高阶张量
X = torch.arange(24).reshape(2 ,3, 4)
Y = torch.arange(12 , 24 + 12).reshape(2 ,3, 4)
X + Y, X + Y

1.3.2 内积 & 点积

1.3.2.1 内积

内积（Inner Product）： 亦称数量积（dot product; scalar product），是指接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。

假设有两向量 a \boldsymbol{a} a, b \boldsymbol{b} b，则其内积表示如下：
⟨ a , b ⟩ \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle ⟨a,b⟩

除此之外，还有 内积空间 的定义，有兴趣的读者可以自行查阅资料了解，这里不过多叙述。

计算向量内积的代码如下：

a = torch.tensor([1., 2., 3.])
b = torch.tensor([4., 5., 6.])
a.inner(b)

1.3.2.1 点积

点积（Dot Product）：内积的一种特殊形式，即欧几里得空间内积的定义。

假设有两向量 a \boldsymbol{a} a, b \boldsymbol{b} b，则其点积表示如下：
a ⋅ b = a 1 ∗ b 1 + a 2 ∗ b 2 + ⋯ + a n ∗ b n = ∑ i = 1 n a i ∗ b i \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_1 * b_1 + a_2 * b_2 + \cdots + a_n * b_n = \sum_{i=1}^{n}a_i * b_i a⋅b=a1∗b1+a2∗b2+⋯+an∗bn=i=1∑nai∗bi

计算向量点积的代码如下：

a = torch.tensor([1., 2., 3.])
b = torch.tensor([4., 5., 6.])
a.dot(b)

1.3.3 外积 & 克罗内克积

克罗内克积（Kronecker product）：张量积的特殊形式

• 克罗内克积是两个任意大小的矩阵间的运算，结果仍为一个矩阵（数学符号 ⊗ \otimes ⊗，精确表达 ⊗ k \otimes_{k} ⊗k）

我们以矩阵为例，用数学符号表示其计算过程：
A m × n ⊗ B p × q = [ a 11 B ⋯ a m 1 B ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n B ⋯ a m n B ] = [ a 11 b 11 a 11 b 12 ⋯ a 11 b 1 q ⋯ ⋯ a 1 n b 11 a 1 n b 12 ⋯ a 1 n b 1 q a 11 b 11 a 11 b 12 ⋯ a 11 b 1 q ⋯ ⋯ a 1 n b 11 a 1 n b 12 ⋯ a 1 n b 1 q ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 11 b p 1 a 11 b p 2 ⋯ a 11 b p q ⋯ ⋯ a 1 n b p 1 a 1 n b p 2 ⋯ a 1 n b p q ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 b 11 a m 1 b 12 ⋯ a m 1 b 1 q ⋯ ⋯ a m n b 11 a m n b 12 ⋯ a m n b 1 q a m 1 b 21 a m 1 b 22 ⋯ a m 1 b 2 q ⋯ ⋯ a m n b 21 a m n b 22 ⋯ a m n b 2 q ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 b p 1 a m 1 b p 2 ⋯ a m 1 b p q ⋯ ⋯ a m n b p 1 a m n b p 2 ⋯ a m n b p q ] A_{m×n} \otimes B_{p×q} = \begin{bmatrix} a_{11}B & \cdots & a_{m1}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n}B & \cdots & a_{mn}B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & \cdots & a_{11}b_{1q}& \cdots & \cdots & a_{1n}b_{11} & a_{1n}b_{12} & \cdots & a_{1n}b_{1q} \\ a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & \cdots & a_{11}b_{1q}& \cdots & \cdots & a_{1n}b_{11} & a_{1n}b_{12} & \cdots & a_{1n}b_{1q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{11}b_{p1} & a_{11}b_{p2} & \cdots & a_{11}b_{pq}& \cdots & \cdots & a_{1n}b_{p1} & a_{1n}b_{p2} & \cdots & a_{1n}b_{pq} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1}b_{11} & a_{m1}b_{12} & \cdots & a_{m1}b_{1q}& \cdots & \cdots & a_{mn}b_{11} & a_{mn}b_{12} & \cdots & a_{mn}b_{1q} \\ a_{m1}b_{21} & a_{m1}b_{22} & \cdots & a_{m1}b_{2q}& \cdots & \cdots & a_{mn}b_{21} & a_{mn}b_{22} & \cdots & a_{mn}b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}b_{p1} & a_{m1}b_{p2} & \cdots & a_{m1}b_{pq}& \cdots & \cdots & a_{mn}b_{p1} & a_{mn}b_{p2} & \cdots & a_{mn}b_{pq} \\ \end{bmatrix} Am×n⊗Bp×q= a11B⋮a1nB⋯⋱⋯am1B⋮amnB = a11b11a11b11⋮a11bp1⋮⋮am1b11am1b21⋮am1bp1a11b12a11b12⋮a11bp2⋮⋮am1b12am1b22⋮am1bp2⋯⋯⋱⋯⋱⋱⋯⋯⋱⋯a11b1qa11b1q⋮a11bpq⋮⋮am1b1qam1b2q⋮am1bpq⋯⋯⋯⋱⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋱⋯⋯⋯a1nb11a1nb11⋮a1nbp1⋮⋮amnb11amnb21⋮amnbp1a1nb12a1nb12⋮a1nbp2⋮⋮amnb12amnb22⋮amnbp2⋯⋯⋱⋯⋯⋯⋱⋯a1nb1qa1nb1q⋮a1nbpq⋮⋮amnb1qamnb2q⋮amnbpq

下面我们分别展示求标量、向量、矩阵、高阶张量的克罗内克积。

标量-克罗内克积：

a = torch.tensor([2])
b = torch.tensor([3])
a.kron(b)

向量-克罗内克积：

x = torch.arange(3)
y = torch.arange(2, 2 + 3)
x.kron(y)

矩阵-克罗内克积：

X = torch.arange(20).reshape(4 ,5)
Y = torch.arange(12, 12 + 20).reshape(4 ,5)
X.kron(Y)

高阶张量-克罗内克积：

U = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
V = torch.arange(15, 15 + 24).reshape(2, 3, 4)
U.kron(V)

1.3.4 哈达玛积

两个张量（标量、向量、矩阵、高阶张量）的按元素乘法称为哈达玛积（Hadamard Product） （数学符号 ⊙ \odot ⊙），在代码中用*表示求哈达玛积。

我们以矩阵为例，用数学符号表示其计算过程：

A ⊙ B = [ a 11 a 21 ⋯ a m 1 a 12 a 22 ⋯ a m 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a m n ] ⊙ [ b 11 b 21 ⋯ b m 1 b 12 b 22 ⋯ b m 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b 1 n b 2 n ⋯ b m n ] = [ a 11 ∗ b 11 a 21 ∗ b 21 ⋯ a m 1 ∗ b m 1 a 12 ∗ b 12 a 22 ∗ b 22 ⋯ a m 2 ∗ b m 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n ∗ b 1 n a 2 n ∗ b 2 n ⋯ a m n ∗ b m n ] A \odot B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \odot \begin{bmatrix} b_{11} & b_{21} & \cdots & b_{m1} \\ b_{12} & b_{22} & \cdots & b_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{1n} & b_{2n} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_{11} * b_{11} & a_{21} * b_{21} & \cdots & a_{m1} * b_{m1} \\ a_{12} * b_{12} & a_{22} * b_{22} & \cdots & a_{m2} * b_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} * b_{1n} & a_{2n} * b_{2n} & \cdots & a_{mn} * b_{mn} \end{bmatrix} A⊙B= a11a12⋮a1na21a22⋮a2n⋯⋯⋱⋯am1am2⋮amn ⊙ b11b12⋮b1nb21b22⋮b2n⋯⋯⋱⋯bm1bm2⋮bmn = a11∗b11a12∗b12⋮a1n∗b1na21∗b21a22∗b22⋮a2n∗b2n⋯⋯⋱⋯am1∗bm1am2∗bm2⋮amn∗bmn

下面我们分别展示求标量、向量、矩阵、高阶张量的哈达玛积。

标量-哈达玛积：

a = torch.tensor([2])
b = torch.tensor([3])
a * b

向量-哈达玛积：

x = torch.arange(3)
y = torch.arange(2, 2 + 3)
x * y

矩阵-哈达玛积：

X = torch.arange(20).reshape(4 ,5)
Y = torch.arange(12, 12 + 20).reshape(4 ,5)
X * Y

高阶张量-哈达玛积：

U = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
V = torch.arange(15, 15 + 24).reshape(2, 3, 4)
U * V

1.3.5 矩阵乘积

矩阵乘积（Matrix Product）： A m × n ⋅ B n × p = C m × p A_{m×n}·B_{n×p}=C_{m×p} Am×n⋅Bn×p=Cm×p，即A的列数须与B的行数相等， C i , j = ∑ k = 1 n A i , k B k , j C_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}A_{i,k}B_{k,j} Ci,j=∑k=1nAi,kBk,j，在代码中用符号@表示。

标量-标量 矩阵乘积 ：标量与标量乘积可用符号@表示，也可用torch.matmul()运算。

c = torch.tensor([2])
d = torch.tensor([3])
c @ d

向量-矩阵 矩阵乘积 ：

向量与矩阵乘积可用符号@表示，也可用torch.mv()或torch.matmul()运算。

区别：

• torch.mv()须确保矩阵为第一个参数，向量为第二个参数，且形状符合运算规则。
• @或torch.matmul()则无上述限制，可将两者视为普通矩阵进行运算。

e = torch.arange(4.)  # 等效于 torch.arange(4.0)
f = torch.arange(5.)
B = torch.arange(12.,20+12).reshape(4,5)
e @ B, e.matmul(B), B.mv(f)

矩阵-矩阵 矩阵乘积 ：

向量与矩阵乘积可用符号@表示，也可用torch.mm()或torch.matmul()运算。

A = torch.arange(20.).reshape(5,4)
B = torch.arange(12.,20+12).reshape(4,5)
A @ B, A.mm(B), A.matmul(B) 

1.3.6 向量-向量叉积

向量积（Cross Product），又称叉积，是一种在向量空间中向量的二元运算，其可以新产生一个与原两向量都垂直的向量。

可以用数学符号 × × ×表示叉积，有时也用^表示叉积避免与字母 x x x混淆。

向量积：|c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b>

即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。

而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。（一个简单的确定满足"右手定则"的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）

在PyTorch中求两向量叉积的方式如下。

x = torch.tensor([1, 2, 3])
y = torch.tensor([4, 5, 6])
x.cross(y)

1.4 范数

PyTorch范数API

torch.norm(input, p='fro', dim=None, keepdim=False, out=None, dtype=None)

其中，参数释义如下：

• input：输入tensor类型的数据（张量内元素须为浮点型/复数）
• p指定的范数
  • 'fro'：Frobenius范数，即矩阵各项元素的绝对值平方总和。
  • 'nuc'：核范数，即矩阵奇异值之和。
  • int型：p范数。
• dim：指定计算维度，默认所有维度计算。
• keepdim：布尔型，决定是否保留dim指定维度。
• out：输出的tensor。
• dtype：指定输出的tensor的数据类型。

首先我们定义所需的向量、矩阵。

x = torch.tensor([1., 2., 3.])      # 数字加小数点创建，默认为double型
y = torch.tensor([4., 5., 6.])

"""另外两种创建方式及不同浮点类型"""
# x = torch.tensor([1, 2, 3], dtype = torch.float64)    # 指定float64
# y = torch.tensor([4, 5, 6], dtype = torch.float64)

# x = torch.FloatTensor([1, 2, 3])          # 此方式默认float32
# y = torch.FloatTensor([4, 5, 6])


A = torch.arange(12, dtype = torch.double).reshape(3, 4)
B = torch.arange(20, dtype = torch.double).reshape(4, 5)

1.4.1 向量范数（p范数）

1.4.1.1 l 1 \mathscr{l_1} l1范数

曼哈顿范数（L1范数）：向量所有分量绝对值之和，它受异常值影响较小。

∣ ∣ x ∣ ∣ 1 = ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ ||\boldsymbol{x}||{1}=\sum{i=1}^{n}|x_{i}| ∣∣x∣∣1=i=1∑n∣xi∣

代码如下：

x.norm(p=1)

1.4.1.2 l 2 \mathscr{l_2} l2范数

欧几里得范数（L2范数）：向量所有分量绝对值平方和的平方根。

∣ ∣ x ∣ ∣ 2 = ∑ i = 1 n x i 2 = ( ∑ i = 1 n x i 2 ) 1 2 ||\boldsymbol{x}||{2}=\sqrt{\sum{i=1}^{n}x_{i}^{2}}=(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2})^{\frac{1}{2}} ∣∣x∣∣2=i=1∑nxi2 =(i=1∑nxi2)21

代码如下：

x.norm(p=2)

1.4.1.3 l ∞ \mathscr{l_\infty} l∞范数

切比雪夫范数（L∞范数）：向量所有分量绝对值最大值。

∣ ∣ x ∣ ∣ ∞ = lim ⁡ p → ∞ ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p p = lim ⁡ p → ∞ ( ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p ) 1 p = max ⁡ ( ∣ x i ∣ ) ||\boldsymbol{x}||{\infty}=\lim{p\to \infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}=\lim_{p\to \infty}(\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}}=\max(|x_{i}|) ∣∣x∣∣∞=p→∞limpi=1∑n∣xi∣p =p→∞lim(i=1∑n∣xi∣p)p1=max(∣xi∣)

我们已经发现了距离间的规律，这些范数被统称为p范数，可用如下公式表示所有向量p范数：
∣ ∣ x ∣ ∣ p = ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p p = ( ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p ) 1 p ||\boldsymbol{x}||{p}=\sqrt[p]{\sum{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}=(\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}} ∣∣x∣∣p=pi=1∑n∣xi∣p =(i=1∑n∣xi∣p)p1

• 当 p = 1 时，上式表示 曼哈顿范数
• 当 p = 2 时，上式表示 欧几里得范数
• 当 p → ∞ 时，上式表示 切比雪夫范数

1.4.2 矩阵范数

1.4.2.1 F r o b e n i u s \mathscr{Frobenius} Frobenius范数

弗罗贝尼乌斯范数：类似于向量的L2范数，矩阵 X ∈ R m × n X\in\mathbb{R^{m×n}} X∈Rm×n的弗罗贝尼乌斯范数是矩阵元素平方和的平方根。

∣ ∣ X ∣ ∣ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n x i j 2 ||X||{F}=\sqrt{\sum{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}x_{ij}^{2}} ∣∣X∣∣F=i=1∑mj=1∑nxij2

它具有向量范数的所有性质，代码如下：

# torch默认计算Frobenius范数
A.norm()

1.4.2.2 核范数

核范数：矩阵奇异值的和，可以用来衡量矩阵的稀疏性。我们可用核范数来约束模型的复杂度，防止过拟合。

∣ ∣ X ∣ ∣ ∗ = t r ( X T X ) = ∣ ∣ U ∣ ∣ 1 ||X||{*} = tr(\sqrt{X^{T}X})=||U||{1} ∣∣X∣∣∗=tr(XTX )=∣∣U∣∣1

其中，U是A的奇异值分解（SVD）的左奇异矩阵， ∣ ∣ U ∣ ∣ 1 ||U||_{1} ∣∣U∣∣1表示其L1范数，核范数非负。

该范数常被用于约束矩阵的低秩，对于稀疏性质的数据而言，其矩阵是低秩且会包含大量冗余信息，这些信息可被用于恢复数据和提取特征。

A.norm(p='nuc')

1.5 距离（向量距离）

PyTorch距离API

torch.pairwise_distance(x1, x2, p=2.0, eps=1e-6, keepdim=False)

其中，input表示输入，p表示距离类型（默认为l2距离）

1.5.1 l 1 \mathscr{l_1} l1距离

曼哈顿距离（L1距离）：在n维空间中，两点各坐标数值差绝对值之和。
d 1 = ∑ i = 1 n ∣ x i − y i ∣ d_{1}=\sum_{i=1}^{n}|x_{i} - y_{i}| d1=i=1∑n∣xi−yi∣

torch.pairwise_distance(x, y, p=1)

1.5.2 l 2 \mathscr{l_2} l2距离

欧几里得距离（L2距离）：在n维空间中，两点各坐标数值差绝对值平方和的平方根。
d 2 = ∑ i = 1 n ( x i − y i ) 2 = ( ∑ i = 1 n x i 2 − y i ) 2 ) 1 2 d_{2}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i} - y_{i})^{2}}=(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} - y_{i})^{2})^{\frac{1}{2}} d2=i=1∑n(xi−yi)2 =(i=1∑nxi2−yi)2)21

torch.pairwise_distance(x, y, p=2)

1.5.3 l ∞ \mathscr{l_\infty} l∞距离

切比雪夫距离（L∞距离）：在n维空间中，两点各坐标数值差绝对值的最大值。
d ∞ = lim ⁡ p → ∞ ∑ i = 1 n ∣ x i − y i ∣ p p = lim ⁡ p → ∞ ( ∑ i = 1 n ∣ x i − y i ∣ p ) 1 p = max ⁡ ( ∣ x i − y i ∣ ) d_{\infty}=\lim_{p\to \infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}|x_{i} - y_{i}|^{p}}=\lim_{p\to \infty}(\sum_{i=1}^{n}|x_{i} - y_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}}=\max(|x_{i} - y_{i}|) d∞=p→∞limpi=1∑n∣xi−yi∣p =p→∞lim(i=1∑n∣xi−yi∣p)p1=max(∣xi−yi∣)

我们已经发现了距离间的规律，可用如下公式表示所有向量距离：
d p = ∑ i = 1 n ∣ x i − y i ∣ p p = ( ∑ i = 1 n ∣ x i − y i ∣ p ) 1 p d_{p}=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}|x_{i} - y_{i}|^{p}}=(\sum_{i=1}^{n}|x_{i} - y_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}} dp=pi=1∑n∣xi−yi∣p =(i=1∑n∣xi−yi∣p)p1

• 当 p = 1 时，上式表示 曼哈顿距离
• 当 p = 2 时，上式表示 欧几里得距离
• 当 p → ∞ 时，上式表示 切比雪夫距离

1.6 余弦相似度

余弦相似度：又称为余弦相似性，是通过计算两个向量的夹角余弦值来评估他们的相似度。

s i m i l a r i t y = c o s ( θ ) = a ⋅ b ∣ ∣ a ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ b ∣ ∣ = ∑ i = 1 n a i × b i ∑ i = 1 n ( a i ) 2 × ∑ i = 1 n ( b i ) 2 similarity=cos(\theta)=\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{||\boldsymbol{a}||·||\boldsymbol{b}||}=\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}×b_{i}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_{i})^{2}}×\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(b_{i})^{2}}} similarity=cos(θ)=∣∣a∣∣⋅∣∣b∣∣a⋅b=∑i=1n(ai)2 ×∑i=1n(bi)2 ∑i=1nai×bi

PyTorch余弦相似度API

torch.cosine_similarity(x1, x2, dim=1, eps=1e-8)

代码示例如下：

a = torch.tensor([1., 2, 3])
b = torch.tensor([2., 3, 4])
# 'Tensor' object has no attribute 'cosine_similarity'
# Tensor类型对象未内置cosine_similarity方法，需按如下方式调用
torch.cosine_similarity(a, b, dim=0)

1.7 矩阵分解

矩阵分解：将矩阵拆解为数个矩阵的乘积

1.7.1 矩阵三角分解（LR / LU分解）

三角分解：最常见的一种分解方式，便于我们求原矩阵的行列式、逆矩阵等。

1.7.2 矩阵正交三角分解（QR分解）

正交三角分解：矩阵先经过正交相似变化成为Hessenberg矩阵，再应用QR方法求特征值和特征向量。它是将矩阵分解成一个正规正交矩阵Q与上三角形矩阵R，所以称为QR分解法，与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。

1.7.3 矩阵特征值分解（EVD分解）

特征值分解：亦称谱分解（Spectral Decomposition），将矩阵分解成特征值和特征向量表示的矩阵乘法的形式。

定义 ： A A A是一个n×n方阵，且有n个线性无关的特征向量 q i ( i = 1 , . . . , n ) q_{i}(i=1,...,n) qi(i=1,...,n)，可将 A A A分解为：
A = Q Λ Q − 1 A=Q \Lambda Q^{-1} A=QΛQ−1

其中，Q是n×n方针，且第i列为A的特征向量 q i q_{i} qi。 Λ \Lambda Λ是对角矩阵，其对角线上的元素对应特征值，即 Λ i i = λ i \Lambda_{ii}=\lambda_{i} Λii=λi。

只有可对角化矩阵（满秩）才能作特征分解。

1.7.4 矩阵奇异值分解（SVD分解）

定义 ： A A A是一个m×n实矩阵，存在一个分解使得 A = U Σ V T A=U \Sigma V^{T} A=UΣVT

其中， U U U是m×m阶正交矩阵，\\Sigma 是 m × n 阶非负实数对角矩阵， 是m×n阶非负实数对角矩阵， 是m×n阶非负实数对角矩阵，V是n×n阶正交矩阵。

奇异值分解使得非方阵也能进行分解，由于 A A T AA^{T} AAT必定为实对称矩阵，对它进行特征值分解，被称作对A进行奇异值分解。

其中， U U U和 V V V均为正交矩阵， Σ \Sigma Σ是对角矩阵，根据特征值分解可以得到具体说明如下：

• U U U被称为A的左奇异矩阵，其列组成的向量是方阵 A A T AA_{T} AAT的特征向量，亦称 A A A的左奇异向量。
• V V V被称为A的右奇异矩阵，其列组成的向量是方阵 A A T AA_{T} AAT的特征向量，亦称 A A A的右奇异向量。
• Σ \Sigma Σ对角线上的元素 σ i i \sigma_{ii} σii即为A的奇异值，它们等于 A A T AA_{T} AAT及 A T A A_{T}A ATA特征值的平方根（ σ = λ \sigma=\sqrt{\lambda} σ=λ ），行对应 U U U的列向量，列对应 V V V的列向量。

奇异值分解的代码如下：

A = torch.tensor([[1., 2., 3., 4.],[2., 3., 4., 5.],[3., 4., 5., 6.]])
A.svd()

1.8 降维

1.8.1 基础操作

1.8.1.1 求和

我们可对张量所有元素求和：

x = torch.arange(6, dtype=torch.double)
x, x.sum()

还可以指定按列/行元素求和：

A = torch.arange(20, dtype=torch.double).reshape(5, 4)

A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)     # 将矩阵列向量求和（沿着行挨个列向量求和）
A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)     # 将矩阵行向量求和（沿着列挨个行向量求和）
A_sum = A.sum(axis=[0, 1])      # 沿着行、列对矩阵求和，等价于对矩阵所有元素求和
A_sum_axis0, A_sum_axis1, A_sum

1.8.1.2 平均值

同样，我们可对张量所有元素求平均，也可以指定按列/行元素求平均：

A = torch.arange(20, dtype=torch.double).reshape(5, 4)

A_mean = A.mean()    # 全部元素求平均
A_mean0 = A.mean(axis=0)     # 将矩阵列向量求平均（沿着行挨个列向量求平均）
A_mean1 = A.mean(axis=1)     # 将矩阵行向量求平均（沿着列挨个行向量求平均）
A_mean, A_mean0, A_mean1

1.8.2 PCA主成分分析

PCA（principal components analysis）主成分分析，亦称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。

在统计学中，主成分分析PCA是一种简化数据集的技术。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。主成分分析经常用于减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。

1.8.3 稀疏矩阵压缩

仅存储矩阵中的非0元素，同时存储该元素所在矩阵中的行标和列标。

其中常用的有：按列压缩（CSC, Compressed sparse column）、按行压缩（CSR, Compressed sparse row）等。

2. 微积分

在深度学习中，我们"训练模型"使其变得更好，即最小化一个损失函数（loss function）。

我们"训练"模型只能将模型与我们实际见到的数据相拟合，因此可将此任务分解为两个关键问题：

• 优化（optimization）：用模型拟合观察数据的过程。
• 泛化（generalization）：指导生成有效性超出用于训练的数据集本身的模型。

2.1 导数 & 微分

假设有一个函数 f : R → R f:\mathbb{R}→\mathbb{R} f:R→R，其输入和输出都是标量。若其导数存在，则极限被定义为：
f ′ ( x ) = lim ⁡ h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h f'(x) = \lim_{h→0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)

若 f ′ ( a ) f'(a) f′(a)存在，则称f在a处可微（differentiable）

2.2 偏导数

在深度学习中，通常需要用到多变量，我们将其思想推广到多元函数（multivariate function）

设 y = f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) y = f(x_1,x_2,\cdots,x_n) y=f(x1,x2,⋯,xn)，则y关于第i个参数x_i的偏导数（Partial Derivative）为：

∂ y ∂ x i = lim ⁡ h → 0 f ( x 1 , ⋯   , x i − 1 , x i + h , x i + 1 , ⋯   , x n ) − f ( x 1 , ⋯   , x i , ⋯   , x n ) h \frac{\partial y}{\partial x_i}=\lim_{h→0} \frac{f(x_1, \cdots, x_{i-1}, x_i+h,x_{i+1},\cdots, x_n)-f(x_1,\cdots,x_i,\cdots,x_n)}{h} ∂xi∂y=h→0limhf(x1,⋯,xi−1,xi+h,xi+1,⋯,xn)−f(x1,⋯,xi,⋯,xn)

2.3 梯度

假设有一个函数 f : R n → R f:\mathbb{R^n}→\mathbb{R} f:Rn→R，其输入是一个n维向量 x = [ x 1 , x 2 , ⋯   , x n ] \boldsymbol{x}=[x_1, x_2, \cdots, x_n] x=[x1,x2,⋯,xn]，其输出是一个标量，则函数 f ( x ) f(\boldsymbol{x}) f(x)相对于 x \boldsymbol{x} x的梯度是一个包含n个偏导数的向量：
∇ x f ( x ) = [ ∂ f ( x ) ∂ x 1 , ∂ f ( x ) ∂ x 2 , ⋯   , ∂ f ( x ) ∂ x n ] \nabla_{x}f(\boldsymbol{x})=[\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_1},\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_2},\cdots,\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_n}] ∇xf(x)=[∂x1∂f(x),∂x2∂f(x),⋯,∂xn∂f(x)]

假设 x \boldsymbol{x} x为n维向量，在对多元函数求微分时经常使用以下规则：

• 对于所有 A ∈ R m × n A \in \mathbb{R}^{m×n} A∈Rm×n，都有 ∇ x A x = A T \nabla_{x}Ax=A^{T} ∇xAx=AT
• 对于所有 A ∈ R n × m A \in \mathbb{R}^{n×m} A∈Rn×m，都有 ∇ x x T A = A \nabla_{x}x^{T}A=A ∇xxTA=A
• 对于所有 A ∈ R n × n A \in \mathbb{R}^{n×n} A∈Rn×n，都有 ∇ x x T A x = ( A + A T ) x \nabla_{x}x^{T}Ax=(A+A^{T})x ∇xxTAx=(A+AT)x
• ∇ x ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 = ∇ x x T x = 2 x \nabla_{x}||\boldsymbol{x}||^{2}=\nabla_{x}\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{x}=2\boldsymbol{x} ∇x∣∣x∣∣2=∇xxTx=2x

同样，对于任何矩阵 X X X，都有 ∇ X ∣ ∣ X ∣ ∣ F 2 = 2 X \nabla_{X}||X||_{F}^2=2X ∇X∣∣X∣∣F2=2X。

---

例如，定义一个函数：
f ( x ) = k T x + b f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{k^{T}x} + \boldsymbol{b} f(x)=kTx+b

其中：
k T = [ 1 , 3 , 5 ] b T = [ 1 , 2 , 3 ] k^{T}=[1,3,5] \\ b^{T}=[1,2,3] kT=[1,3,5]bT=[1,2,3]

我们可采用自动微分的方式对示例这种函数求梯度，具体可参考下面两例。

2.4 Hessian矩阵

Hessian矩阵，中文译名为海森矩阵。

假设有一个函数 f : R n → R f:\mathbb{R^n}→\mathbb{R} f:Rn→R，其Hessian矩阵定义如下：
H ( f ) = [ ∂ 2 f ∂ x 1 2 ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x n ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x 2 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x n 2 ] H(f)= \begin{bmatrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_1^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_2^{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_n^{2}} \end{bmatrix} H(f)= ∂x12∂2f∂x2∂x1∂2f⋮∂xn∂x1∂2f∂x1∂x2∂2f∂x22∂2f⋮∂xn∂x2∂2f⋯⋯⋱⋯∂x1∂xn∂2f∂x2∂xn∂2f⋮∂xn2∂2f

• 当H为正定矩阵 时，则该点是极小值点
• 当H为负定矩阵 时，则该点是极大值点
• 当H为不定矩阵 时，则该点是非极值点
• 当H为半正定矩阵/半负定矩阵 时， f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) f(x_1,x_2,\cdots,x_n) f(x1,x2,⋯,xn)则该点是 "可疑"极值点，需结合其他方法判定。

定义一个函数：
f ( x ) = b T x + 1 2 x T A x f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{b^{T}x}+\frac{1}{2} \boldsymbol{x^{T}Ax} f(x)=bTx+21xTAx

其中：
b T = [ 1 , 3 , 5 ] A = [ − 5 − 3 − 0.5 − 3 − 2 0 − 0.5 0 − 0.5 ] b^{T}=[1,3,5] \\ A = \begin{bmatrix} -5 & -3 & -0.5 \\ -3 & -2 & 0 \\ -0.5 & 0 & -0.5 \end{bmatrix} bT=[1,3,5]A= −5−3−0.5−3−20−0.50−0.5

本例代码采用自动微分的方式，对上述函数对上述函数原点处的Hessian矩阵进行计算：

import torch

# 函数定义
x = torch.tensor([0., 0, 0], requires_grad=True)
b = torch.tensor([1., 3, 5])
A = torch.tensor([[-5, -3, -0.5],[-3, -2, 0],[-0.5, 0, -0.5]])


def func(x):
    return b @ x + 0.5 * x @ A @ x


"""两次梯度求解Hessian矩阵"""
# 计算一阶导数,因为我们需要继续计算二阶导数,所以创建并保留计算图
grad = torch.autograd.grad(func(x), x, retain_graph=True, create_graph=True)
# 定义Print数组,为输出和进一步利用Hessian矩阵作准备
p = torch.tensor([])
for anygrad in grad[0]:  # torch.autograd.grad返回的是元组
    p = torch.cat((p, torch.autograd.grad(anygrad, x, retain_graph=True)[0]))
print(p.view(x.size()[0], -1))


"""API求解Hessian矩阵"""
print(torch.autograd.functional.hessian(func, x))

2.5 Jacobian矩阵

Jacobian矩阵，中文译名为雅可比矩阵。

假设有一个函数 f : R n → R m \boldsymbol{f}:\mathbb{R^n}→\mathbb{R^m} f:Rn→Rm，其由多个函数组成：
f = [ f 1 ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) f 2 ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) ⋮ f m ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) ] \boldsymbol{f} = \begin{bmatrix} f_{1}(x_1, x_2, \cdots, x_n)\\ f_{2}(x_1, x_2, \cdots, x_n)\\ \vdots \\ f_{m}(x_1, x_2, \cdots, x_n)\\ \end{bmatrix} f= f1(x1,x2,⋯,xn)f2(x1,x2,⋯,xn)⋮fm(x1,x2,⋯,xn)

其雅可比矩阵定义为：
J ( f ) = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ∂ f 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ∂ f 2 ∂ x 1 ∂ f 2 ∂ x 2 ⋯ ∂ f 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f n ∂ x 1 ∂ f n ∂ x 2 ⋯ ∂ f n ∂ x n ] J(\boldsymbol{f}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{bmatrix} J(f)= ∂x1∂f1∂x1∂f2⋮∂x1∂fn∂x2∂f1∂x2∂f2⋮∂x2∂fn⋯⋯⋱⋯∂xn∂f1∂xn∂f2⋮∂xn∂fn

定义一个函数（ f : R 3 → R 4 \boldsymbol{f}:\mathbb{R^3}→\mathbb{R^4} f:R3→R4）：

f ( x ) = [ f 1 ( x 1 , x 2 , x 3 ) f 2 ( x 1 , x 2 , x 3 ) f 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) f 4 ( x 1 , x 2 , x 3 ) ] = [ x 1 5 x 3 4 x 2 − 2 x 3 x 3 ] \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix} f_{1}(x_1,x_2,x_3) \\ f_{2}(x_1,x_2,x_3) \\ f_{3}(x_1,x_2,x_3) \\ f_{4}(x_1,x_2,x_3) \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x_1 \\ 5x_3 \\ 4x_2-2x_3 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} f(x)= f1(x1,x2,x3)f2(x1,x2,x3)f3(x1,x2,x3)f4(x1,x2,x3) = x15x34x2−2x3x3

import torch

# 函数定义
x = torch.tensor([1., 1, 1], requires_grad=True)
A = torch.tensor([[1.,0,0],[0,0,5],[0,4,-2],[0,0,1]])

def func(x):
    return A @ x

"""梯度重组矩阵求解Jacobian矩阵"""
jac = torch.tensor([])
# 分别计算f[i]对x的梯度，再拼接为矩阵
for j in func(x):
    jac = torch.cat((jac, torch.autograd.grad(j, x, retain_graph=True)[0]))
print(jac.view(func(x).size()[0], -1))


"""API求解Jacobian矩阵"""
print(torch.autograd.functional.jacobian(func, x))