2023 跟我一起学算法：完全二叉树

完全二叉树

我们知道树是一种非线性数据结构。它对儿童数量没有限制。二叉树有一个限制，因为树的任何节点最多有两个子节点：左子节点和右子节点。

什么是完全二叉树？

完全二叉树是一种特殊类型的二叉树，其中树的所有级别都被完全填充，除了最低级别的节点从尽可能左侧填充之外。

完全二叉树的一些术语：

• 根： 没有边来自父节点的节点。示例-节点A
• 子节点： 具有某些传入边的节点称为子节点。示例 -- 节点 B、F 分别是 A 和 C 的子节点。
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点是兄弟节点。示例 - D、E 是兄弟姐妹，因为他们有相同的父母 B。
• 节点的度数： 特定父节点的子节点数量。示例 - A 的次数为 2，C 的次数为 1。D 的次数为 0。
• 内部/外部节点： 叶节点是外部节点，非叶节点是内部节点。
• 级别： 计算到达目标节点的路径中的节点数。示例 - 由于节点 A 和 E 形成路径，因此节点 D 的级别为 2。
• 高度： 到达目标节点的边数，根的高度为 0。示例 -- 节点 E 的高度为 2，因为它有两条距根的边。

我们知道树是一种非线性数据结构。它对叶子节点数量没有限制。二叉树有一个限制，因为树的任何节点最多有两个子节点：左子节点和右子节点.

什么是完全二叉树？

完全二叉树是一种特殊类型的二叉树，其中树的所有级别都被完全填充，除了最低级别的节点尽可能左侧填充之外。

完全二叉树的一些术语：

• 根：没有边来自父节点的节点。示例-节点A
• 子节点： 具有某些传入边的节点称为子节点。示例 -- 节点 B、F 分别是 A 和 C 的子节点。
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点是兄弟节点。示例 - D、E 是兄弟姐妹，因为他们有相同的父母 B。
• 节点的度数： 特定父节点的子节点数量。示例 - A 的次数为 2，C 的次数为 1。D 的次数为 0。
• 内部/外部节点： 叶节点是外部节点，非叶节点是内部节点。
• 级别： 计算到达目标节点的路径中的节点数。示例 - 由于节点 A 和 E 形成路径，因此节点 D 的级别为 2。
• 高度：到达目标节点的边数，根的高度为 0。示例 -- 节点 E 的高度为 2，因为它有两条距根的边。

完全二叉树的性质：

• 完全二叉树被称为真二叉树，其中所有叶子都具有相同的深度。
• 在完全二叉树中，深度d 处的节点数为 2 d。
• 在具有n 个节点的完全二叉树中，树的高度为log(n+1) 。
• 除最后一个级别外所有级别均已满。

完美二叉树与完全二叉树：

具有最大节点数、高度为"h"的二叉树是完美二叉树 。 对于给定高度h ，节点的最大数量为 2h+1-1。

高度为 h 的完全二叉树是高度为h-1的完美二叉树，并且在最后一层中元素按从左到右的顺序存储。

示例1：

给定二叉树的高度为 2，该树中的最大节点数为 n = 2 h+1 -1 = 22+1 -1 = 23 -1 = 7 。 因此我们可以断定它是一个完美的二叉树 。 现在对于一个完整的二叉树，它的高度达到h-1，即；1、最后一层元素按照从左到右的顺序存储。因此它也是一棵完全二叉树。这是存储在数组中时元素的表示形式

元素逐级存储在数组中。在数组中，所有元素都是连续存储的。

示例2：

给定二叉树的高度为 2，节点的最大数量为 2h+1 -- 1 = 22+1 -- 1 = 2 3 -- 1 = 7 。 但树中的节点数是6 。因此它不是完美的二叉树 。 现在对于一个完整的二叉树，它的高度达到 h-1 ，即；1 和最后一级元素按从左到右的顺序存储。因此这是一个完全二叉树。将元素存储在数组中，它会像；

示例3：

二叉树的高度为2，最多可以有7个节点，但只有5个节点，因此它不是完美的二叉树 。 在完全二叉树的情况下，我们看到在最后一层元素不是从左到右顺序填充的。所以它不是一个完全二叉树。

数组中的元素不连续。

完整二叉树与完全二叉树：

对于满二叉树，每个节点有 2 个子节点或 0 个子节点。

示例1：

在给定的二叉树中，没有度数为 1 的节点，每个节点有 2 个或 0 个子节点，因此它是一个满二叉树。

对于完全二叉树，元素是逐层存储的，而不是从最后一层的最左边开始。因此这不是一个完整的二叉树。数组表示形式为：

示例2：

在给定的二叉树中，没有度为 1 的节点。每个节点的度为 2 或 0。因此，它是满二叉树。

对于完全二叉树，元素是逐层存储的，并从最后一层的最左边开始填充。因此这是一个完全二叉树。下面是树的数组表示：

示例3：

在给定的二叉树中，节点 B 的度数为 1，这违反了满二叉树的属性，因此它不是满二叉树

对于完全二叉树，元素是逐层存储的，并从最后一层的最左边开始填充。因此这是一个完全二叉树。二叉树的数组表示为：

示例4：

在给定的二叉树中，节点 C 的度数为 1，这违反了满二叉树的属性，因此它不是满二叉树

对于完全二叉树，元素是逐层存储的，并从最后一层的最左边开始填充。这里节点 E 违反了条件。因此这不是一个完整的二叉树。

完全二叉树的创建：

我们知道，完全二叉树 是一棵树，其中除了最后一层（例如l ）之外，所有其他层都有（2l ）个节点，并且节点从左到右排列。 可以使用数组来表示。如果父级是索引i 则左子级位于2i+1 ，右子级位于2i+2。

算法：

为了创建完全二叉树，我们需要一个队列数据结构来跟踪插入的节点。

步骤1： 当树为空时，用新节点初始化根。

步骤2： 如果树不为空，则获取前面的元素

• 如果前面的元素没有左子节点，则将左子节点设置为新节点
• 如果右子节点不存在，则将右子节点设置为新节点

步骤 3： 如果该节点有两个子节点，则将其从队列中弹出

步骤4： 将新数据入队。

考虑下面的数组：

0. 第一个元素将是根（索引处的值 = 0）

A 被视为根

2. 下一个元素（索引 = 1 处）将是左元素，第三个元素（索引 = 2）将是根的右子元素

B 作为A 左孩子，D 作为A右孩子

3. 第四个（索引 = 3 ）和第五个元素（索引 = 4）将是 B 节点的左右子节点

E 和F 是B的左孩子和右孩子

4. 下一个元素（索引= 5）将是节点D的左子节点

G 成为 D 节点的左子节点

这就是完整二叉树的创建方式。

完全二叉树的应用：

• 堆排序
• 基于堆排序的数据结构

顺序方式从给定数组构造完整二叉树

给定一个元素数组，我们的任务是以顺序方式从该数组构造一个完整的二叉树。也就是说，数组左侧的元素将从第 0 层开始逐层填充到树中。

示例：

输入：arr[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
输出：以下树的根
                  1
                 / \
                2   3
               / \ /
              4  5 6
​
​
输入：arr[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 6}
输出：以下树的根
                   1
                  / \
                 2   3
                / \ / \
               4  5 6 6
              / /
             6  66

我们仔细观察，我们可以看到，如果父节点位于数组中的索引 i 处，则该节点的左子节点位于索引 (2i + 1) 处，右子节点位于索引处 (2i + 2)在数组中。 利用这个概念，我们可以通过选择父节点来轻松插入左节点和右节点。我们将插入数组中存在的第一个元素作为树中第 0 层的根节点，并开始遍历数组，对于每个节点，我们将在树的左侧和右侧插入子节点。

下面是执行此操作的递归程序：

JavaScript 代码

​
let root
​
class Node {
    constructor(data) {
        this.left = null
        this.right = null
        this.data = data
    }
}
​
// 将 arr 数组中的元素构造为二叉树
function insertLevelOrder(arr, i) {
    let root = null
    if (i < arr.length) {
      root = new Node(arr[i]);
      // 设置节点的左节点
      root.left = insertLevelOrder(arr, 2 * i + 1);
      // 设置节点的右节点
      root.right = insertLevelOrder(arr, 2 * i + 2);
    }
    return root
}
​
// 按树结构打印元素
function inOrder(root) {
    if (root != null) {
        console.log("元素的值:" + root.data);
        inOrder(root.left)
        inOrder(root.right)
    }
}
​
let arr = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 6];
// 将数组转换为树结构
root = insertLevelOrder(arr, 0);
// 打印树结构的元素
inOrder(root);

输出结果：[1 2 4 6 6 5 3 6 6]

Golang 代码

package main
​
import (
  "fmt"
  "testing"
)
​
type Node struct {
  Left  *Node
  Right *Node
  Data  int
}
​
// 给定数据构建二叉树
func insertLevelOrder(arr []int, index int) *Node {
  var node *Node
  if index < len(arr) {
    node = &Node{
      Left:  insertLevelOrder(arr, 2*index+1),
      Right: insertLevelOrder(arr, 2*index+2),
      Data:  arr[index],
    }
  }
  return node
}
​
func inOrder(node *Node) []int {
  var rest []int
  if node != nil {
    rest = append(rest, node.Data)
    rest = append(rest, inOrder(node.Left)...)
    rest = append(rest, inOrder(node.Right)...)
  }
  return rest
}
​
func Test_main(t *testing.T) {
  var arr = []int{1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 6}
  node := insertLevelOrder(arr, 0)
  result := inOrder(node)
  fmt.Println(result)
}

输出结果： [1 2 4 6 6 5 3 6 6]