EM@平面直线方程和直线位置关系判定条件

文章目录

• • abstract
  • 一次函数与直线图形
  • 直线方程与方程的直线
  • 直线的斜率
  • 直线分类
  • • 倾斜角
    • 倾斜角和斜率的关系
  • 直线方程的形式
  • • 点斜式
    • 斜截式
    • 两点式
  • 一般式方程
  • • 任何二元一次表示一条直线
    • 一般式
  • 两直线的位置关系
  • • 用初等代数的知识推导
    • 从线性方程组的解的结构推导
    • 比值式判定两直线平行
    • 重合判定
  • 总结
  • • 判断位置关系的算法
    • 直线平行对应的方程关系👺
  • 两条直线垂直
  • • 直线垂直对应的斜率关系
    • 直线垂直判断算法
    • 直线垂直对应的方程关系

abstract

• 平面直线方程和直线位置关系判定条件

一次函数与直线图形

• 一般地, l l l是一次函数 y = k x + b y=kx+b y=kx+b, ( k ≠ 0 ) (k\neq{0}) (k=0)(1)的图形,所表达的意义是:
  • 若点 P P P在 l l l上,则它的坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y),满足 y = k x + b y=kx+b y=kx+b
  • 反之,若点 P P P的坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y)满足(1),则 P P P点一定在 l l l上
• l l l上任意两点 ( x 1 , k x 1 + b ) (x_1,kx_1+b) (x1,kx1+b), ( x 2 , k x 2 + b ) (x_2,kx_2+b) (x2,kx2+b)都在同一条直线上,因此 l l l是一条直线,即(1)的图形是一条直线
• 特别的,当 k = 0 k=0 k=0时,无论 x x x取何值, y y y始终等于 b b b,即 y = 0 x + b = b y=0x+b=b y=0x+b=b(1-1),
  • 此时的图形仍然是一条直线,并且是平行于 x x x轴的直线;
• 总之,一次函数的图形是直线,但直线的图形不一定对应于某个一次函数
• 式(1),(1-1)都可以看作一个二元一次方程 ,因此方程 y = k x + b y=kx+b y=kx+b的解和不垂直于 x x x轴的直线 l l l上的点存在一一对应的关系,因此直线 l l l是方程 y = k x + b y=kx+b y=kx+b的图形

直线方程与方程的直线

• 一般地,若以一个(二元一次)方程的解 ( x , y ) (x,y) (x,y)为坐标的点都是某条直线 上的点;反之,这条直线上的点坐标都是这个方程的解,那么这个方程 叫做这条直线的方程 ,这条直线叫做这个方程的直线
• 由于方程 y = k x + b y=kx+b y=kx+b的图象是一条直线,因此常称 y = k x + b y=kx+b y=kx+b为直线 y = k x + b y=kx+b y=kx+b
• 方程 y = b y=b y=b和 x = x 0 x=x_0 x=x0(1-2)分别为:平行于 x x x轴且过 ( 0 , b ) (0,b) (0,b)的直线;垂直于 x x x轴且过 ( x 0 , 0 ) (x_0,0) (x0,0)的直线

直线的斜率

• 直线 l l l(式(1))被其上的任意不同两点所唯一确定,设直线上两点 A ( x 1 , y 1 ) A(x_1,y_1) A(x1,y1), B ( x 2 , y 2 ) B(x_2,y_2) B(x2,y2)坐标可以算出直线的斜率 k k k

  • 通常我们把直线 y = k x + b y=kx+b y=kx+b中的系数 k k k称为直线的斜率

• 由于 A , B A,B A,B在 l l l上,有 y 1 = k x 1 + b y_1=kx_1+b y1=kx1+b; y 2 = k x 2 + b y_2=kx_2+b y2=kx2+b;两式相减: y 2 − y 1 y_2-y_1 y2−y1= k ( x 2 − x 1 ) k(x_2-x_1) k(x2−x1),所以 k = y 2 − y 1 x 2 − x 1 k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} k=x2−x1y2−y1, ( x 1 ≠ x 2 ) (x_1\neq{x_2}) (x1=x2)(1-3)

• 若用增量 Δ x = x 2 − x 1 \Delta{x}=x_2-x_1 Δx=x2−x1, Δ y = y 2 − y 1 \Delta{y}=y_2-y_1 Δy=y2−y1,则式(1-3)可以表示为 k = Δ y Δ x k=\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} k=ΔxΔy, Δ x ≠ 0 \Delta{x}\neq{0} Δx=0

• 显然,垂直于 x x x轴的直线(1-2)斜率不存在,其也不是一次函数

• (1-1)不是一次函数,但仍然是一条直线,并且仍然存在斜率,只不过斜率为0

直线分类

• 此后,将直线方程分为两类,存在斜率和不存在斜率的(不再以是否为一次函数为分类标准)
• 存在斜率的直线可以表示为 y = k x + b y=kx+b y=kx+b,而不存在斜率的直线表示为 x = x 0 x=x_0 x=x0
• 前者是讨论的重点

倾斜角

• 方程 y = k x + b y=kx+b y=kx+b的图形式过点 ( 0 , b ) (0,b) (0,b)且斜率为 k k k的直线
• 斜率 k k k决定了这条直线相对于 x x x轴的倾斜程度
• 一般地,x x x轴正向 与直线向上的方向所成的角 叫做这条直线的倾斜角 ,通常记为 α \alpha α
  • 规定与 x x x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角

倾斜角和斜率的关系

• k = tan ⁡ α k=\tan{\alpha} k=tanα, α ∈ [ 0 , π ) \alpha\in[0,\pi) α∈[0,π), k ∈ ( − ∞ , + ∞ ) k\in(-\infin,+\infin) k∈(−∞,+∞)
• k = 0 k=0 k=0时,直线平行(重合)于 x x x轴
• k > 0 k>0 k>0时,直线的倾斜角为锐角 , α \alpha α随 k k k的增大而增大
• k < 0 k<0 k<0时,直线的倾斜角为钝角 , α \alpha α随 k k k的增大而增大
• 当 k k k不存在时,倾斜角为直角

直线方程的形式

• 下面假设直线的斜率存在
• 如果不存在,则只能表示为 x = x 0 x=x_0 x=x0的形式,无需讨论

点斜式

• 已知直线 l l l过点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0),且斜率为 k k k,直线方程为 y − y 0 = k ( x − x 0 ) y-y_0=k(x-x_0) y−y0=k(x−x0)(1),称为直线的点斜式方程
  • 设点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)为 l l l上不同于 P 0 P_0 P0的任一点,则直线 l l l的斜率 k k k由 P , P 0 P,P_0 P,P0两点确定为 k = y − y 0 x − x 0 k=\frac{y-y_0}{x-x_0} k=x−x0y−y0,整理得(1)式
  • 特别的,当 k = 0 k=0 k=0时,方程变为 y − y 0 = 0 y-y_0=0 y−y0=0,即 y = y 0 y=y_0 y=y0,(1-1)

斜截式

• 当 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0)为 y y y轴上的点 ( 0 , b ) (0,b) (0,b)时,式(1)写成 y − b = k ( x − 0 ) y-b=k(x-0) y−b=k(x−0),即 y = k x + b y=kx+b y=kx+b(2)
• 斜截式可以理解为点斜式的一种特殊情况,其中 b b b为直线的截距
• 当 k ≠ 0 k\neq{0} k=0时,(2)是一次函数解析式, k = 0 k=0 k=0时,则不是一次函数

两点式

• 已知两点 A ( x 1 , y 2 ) A(x_1,y_2) A(x1,y2), B ( x 2 , y 2 ) B(x_2,y_2) B(x2,y2),且 x 1 ≠ x 2 x_1\neq{x_2} x1=x2,求直线 A B AB AB的方程
• 由两点可以确定 A B AB AB直线的斜率: k = y 2 − y 1 x 2 − x 1 k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} k=x2−x1y2−y1,由点斜式, ( y − y 1 ) = y 2 − y 1 x 2 − x 1 ( x − x 1 ) (y-y_1)=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) (y−y1)=x2−x1y2−y1(x−x1),变形可得 y − y 1 y 2 − y 1 \frac{y-y_1}{y_2-y_1} y2−y1y−y1= x − x 1 x 2 − x 1 \frac{x-x_1}{x_2-x_1} x2−x1x−x1, x 1 ≠ x 2 x_1\neq{x_2} x1=x2(3)称为两点式方程
• 使用增量表示, y − y 1 Δ y \frac{y-y_1}{\Delta{y}} Δyy−y1= x − x 1 Δ x \frac{x-x_1}{\Delta{x}} Δxx−x1, Δ x ≠ 0 \Delta{x}\neq{0} Δx=0

一般式方程

• 基于点斜式推导出的若干直线形式都依赖于前提:直线斜率存在(不垂直于 x x x轴)
• 若以二元一次方程的角度看,斜率不存在的直线表示为 x = x 0 x=x_0 x=x0,即 y y y的系数为0,而 x x x的系数为1
• 对于每一条直线,都可以求出其对应的二元一次方程,从而任何直线都是关于 x , y x,y x,y的二元一次方程

任何二元一次表示一条直线

• 设关于 x , y x,y x,y的二元一次方程的一般形式为 A x + B y + C = 0 Ax+By+C=0 Ax+By+C=0,(1) ( A , B ) ≠ ( 0 , 0 ) (A,B)\neq{(0,0)} (A,B)=(0,0),即 A , B A,B A,B不同时为0
  • B ≠ 0 B\neq{0} B=0时,式(1)化为 y = − A B x − C B y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B} y=−BAx−BC,即斜截式方程
    • 其表示的是斜率为 k = − A B k=-\frac{A}{B} k=−BA,且 y y y轴上的截距为 − C B -\frac{C}{B} −BC的直线
  • 当 B = 0 B=0 B=0,此时 A ≠ 0 A\neq{0} A=0,式(1)化为 x = − C A x=-\frac{C}{A} x=−AC
    • 其表示的是于 y y y轴平行或重合的直线
• 综上,关于 x , y x,y x,y的二元一次方程表示一条直线

一般式

• 综上讨论,方程(1)称为直线的一般式方程

两直线的位置关系

• 设两条直线分别为 l 1 l_1 l1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A_1x+B_1y+C_1=0 A1x+B1y+C1=0; l 2 l_2 l2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 A_2x+B_2y+C_2=0 A2x+B2y+C2=0,联立两个方程为方程组(1)

用初等代数的知识推导

• 使用高斯消元法,若先消去 x x x,则

  • A 1 A 2 x + B 1 A 2 y + A 2 C 1 = 0 A_1A_2x+B_1A_2y+A_2C_1=0 A1A2x+B1A2y+A2C1=0
  • A 1 A 2 x + A 1 B 2 y + A 1 C 2 = 0 A_1A_2x+A_1B_2y+A_1C_2=0 A1A2x+A1B2y+A1C2=0
  • 两式相减, ( B 1 A 2 − A 1 B 2 ) y + A 2 C 1 − A 1 C 2 = 0 (B_1A_2-A_1B_2)y+A_2C_1-A_1C_2=0 (B1A2−A1B2)y+A2C1−A1C2=0(2-1)

• 类似的,若先消去 y y y

  • A 1 B 2 x + B 1 B 2 y + B 2 C 1 = 0 A_1B_2x+B_1B_2y+B_2C_1=0 A1B2x+B1B2y+B2C1=0
  • A 2 B 1 x + B 1 B 2 y + B 1 C 2 = 0 A_2B_1x+B_1B_2y+B_1C_2=0 A2B1x+B1B2y+B1C2=0
  • 可得: ( A 1 B 2 − A 2 B 1 ) x + B 2 C 1 − B 1 C 2 = 0 (A_1B_2-A_2B_1)x+B_2C_1-B_1C_2=0 (A1B2−A2B1)x+B2C1−B1C2=0,(2-2)

• 由(2-1)或(2-2),(下面以(2-2)为主讨论)当 A 1 B 2 − A 2 B 1 ≠ 0 A_1B_2-A_2B_1\neq{0} A1B2−A2B1=0,(3)

  • 有: x = B 1 C 2 − C 1 B 2 A 1 B 2 − A 2 B 1 x=\frac{B_1C_2-C_1B_2}{A_1B_2-A_2B_1} x=A1B2−A2B1B1C2−C1B2

  • 类似的可得 y = A 2 C 1 − A 1 C 2 A 1 B 2 − A 2 B 1 y=\frac{A_2C_1-A_1C_2}{A_1B_2-A_2B_1} y=A1B2−A2B1A2C1−A1C2

  • 因此 A 1 B 2 − A 2 B 1 ≠ 0 A_1B_2-A_2B_1\neq{0} A1B2−A2B1=0时,方程组有唯一解;这是两条直线相交,交点为坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y)

• 当 A 1 B 2 − A 2 B 1 = 0 A_1B_2-A_2B_1=0 A1B2−A2B1=0(3-0)时,且 A 2 C 1 − A 1 C 2 ≠ 0 A_2C_1-A_1C_2\neq{0} A2C1−A1C2=0(3-1)或 B 1 C 2 − C 1 B 2 ≠ 0 B_1C_2-C_1B_2\neq{0} B1C2−C1B2=0(3-2)时,方程组(1)无解,此时两直线没有公共交点,两直线平行(不重合)

  • 这一点可以从式(2-2)看出,当 A 1 B 2 − A 2 B 1 = 0 A_1B_2-A_2B_1=0 A1B2−A2B1=0时,方程(2)写成 B 2 C 1 − B 1 C 2 = 0 B_2C_1-B_1C_2=0 B2C1−B1C2=0,若 B 2 C 1 − B 1 C 2 ≠ 0 B_2C_1-B_1C_2\neq{0} B2C1−B1C2=0,则可使得(2)不成立,也就是方程(1)无解
  • 从而(3-0),(3-2)是无解的条件;对于(3-0),(3-1)也是类似的原因

从线性方程组的解的结构推导

• 方程组(1)可以写作:

  • A 1 x + B 1 y = − C 1 A 2 x + B 2 y = − C 2 A_1x+B_1y=-C_1\\ A_2x+B_2y=-C_2 A1x+B1y=−C1A2x+B2y=−C2

  • 该线性方程组的系数矩阵

    • A = ( A 1 B 1 A 2 B 2 ) A=\begin{pmatrix} A_1&B_1\\ A_2&B_2 \end{pmatrix} A=(A1A2B1B2)

  • 由于方程组的未知数个数和方程个数相等,考虑使用Cramer法则给出唯一解的条件: ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq{0} ∣A∣=0​时方程组(1)有唯一解;即 ∣ A ∣ = ∣ A 1 B 1 A 2 B 2 ∣ |A|=\begin{vmatrix}A_1&B_1\\A_2&B_2\end{vmatrix} ∣A∣= A1A2B1B2 = A 1 B 2 − A 2 B 1 ≠ 0 A_1B_2-A_2B_1\neq{0} A1B2−A2B1=0

  • 或者更一般的,使用初等变换法,以及线性方程组解的情况的秩判别法

    • ( A 1 B 1 − C 1 A 2 B 2 − C 2 ) → r 2 − A 2 A 1 r 1 ( A 1 B 1 − C 1 0 B 2 − A 2 A 1 B 1 − C 2 + A 2 A 1 C 1 ) \small\begin{pmatrix} A_1&B_1&-C_1\\ A_2&B_2&-C_2 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-\frac{A_2}{A_1}{r1}} \begin{pmatrix} A_1&B_1&-C_1\\ 0&B_2-\frac{A_2}{A_1}B_1&-C_2+\frac{A_2}{A_1}{C_1} \end{pmatrix} (A1A2B1B2−C1−C2)r2−A1A2r1 (A10B1B2−A1A2B1−C1−C2+A1A2C1)

      • 这里假设 A 1 ≠ 0 A_1\neq{0} A1=0

    • 当 B 2 − A 2 A 1 B 1 ≠ 0 B_2-\frac{A_2}{A_1}B_1\neq{0} B2−A1A2B1=0,两边乘以 A 1 A_1 A1,得式(3),这就是有解的条件

    • 无解的条件是 B 2 − A 2 A 1 B 1 = 0 B_2-\frac{A_2}{A_1}B_1={0} B2−A1A2B1=0,且 − C 2 + A 2 A 1 C 1 ≠ 0 -C_2+\frac{A_2}{A_1}{C_1}\neq{0} −C2+A1A2C1=0,这就是无解的条件,即式(3-0),(3-1)

比值式判定两直线平行

• 若 A 2 , B 2 , C 2 ≠ 0 A_2,B_2,C_2\neq{0} A2,B2,C2=0,则两条直线平行的条件可以改写为比值形式: A 1 A 2 = B 1 B 2 ≠ C 1 C 2 \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq{\frac{C_1}{C_2}} A2A1=B2B1=C2C1

重合判定

• 对于 A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}={\frac{C_1}{C_2}} A2A1=B2B1=C2C1,的情形(此时两直线相交),令这个比值为非零常数 λ \lambda λ,则 A 1 = λ A 2 A_1=\lambda{A_2} A1=λA2, B 1 = λ B 2 B_1=\lambda{B_2} B1=λB2, C 1 = λ C 2 C_1=\lambda C_2 C1=λC2,( λ ≠ 0 \lambda\neq{0} λ=0)(4)

• 在条件(4)下,两个直线方程中未知数的对应系数成比例, l 1 l_1 l1方程可以写成 λ ( A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0 \lambda(A_2{x}+B_2{y}+C_2)=0 λ(A2x+B2y+C2)=0(5)

  • 显然, l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2方程的解集相同,此时两直线重合

总结

• l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2的位置关系有3种,相交,平行,重合
  • 此处的3种关系,具体的说,相交是相交于一点,(两直线方程的解集的交集仅有一个元素)
  • 平行是没有交点(两直线方程解集的交集为空集)
  • 重合是其他两种情况以外的情形(两直线方程的解集相同)
• (单点)相交,则 A 1 B 2 − A 2 B 1 ≠ 0 A_1B_2-A_2B_1\neq{0} A1B2−A2B1=0或 A 1 A 2 ≠ B 1 B 2 \frac{A_1}{A_2}\neq{\frac{B_1}{B_2}} A2A1=B2B1
• 平行:
  1. A 1 B 2 − A 2 B 1 = 0 A_1B_2-A_2B_1=0 A1B2−A2B1=0且 A 2 C 1 − A 1 C 2 ≠ 0 A_2C_1-A_1C_2\neq{0} A2C1−A1C2=0或 B 1 C 2 − C 1 B 2 ≠ 0 B_1C_2-C_1B_2\neq{0} B1C2−C1B2=0中的一个成立
  2. 或 A 1 A 2 = B 1 B 2 ≠ C 1 C 2 \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq{\frac{C_1}{C_2}} A2A1=B2B1=C2C1
• 重合: A 1 = λ A 2 A_1=\lambda{A_2} A1=λA2, B 1 = λ B 2 B_1=\lambda{B_2} B1=λB2, C 1 = λ C 2 C_1=\lambda C_2 C1=λC2, ( λ ≠ 0 ) (\lambda\neq{0}) (λ=0)或 A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}={\frac{C_1}{C_2}} A2A1=B2B1=C2C1

用表格表示:

	条件 A i , B i A_i,B_i Ai,Bi不全为0( i = 1 , 2 i=1,2 i=1,2)	比值式条件
相交于一点	A 1 B 2 − A 2 B 1 ≠ 0 A_1B_2-A_2B_1\neq{0} A1B2−A2B1=0	A 1 A 2 ≠ B 1 B 2 \frac{A_1}{A_2}\neq{\frac{B_1}{B_2}} A2A1=B2B1
平行不重合	A 1 B 2 − A 2 B 1 = 0 A_1B_2-A_2B_1=0 A1B2−A2B1=0且 B 1 C 2 − C 1 B 2 ≠ 0 B_1C_2-C_1B_2\neq{0} B1C2−C1B2=0	A 1 A 2 = B 1 B 2 ≠ C 1 C 2 \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq{\frac{C_1}{C_2}} A2A1=B2B1=C2C1
重合	A 1 = λ A 2 A_1=\lambda{A_2} A1=λA2, B 1 = λ B 2 B_1=\lambda{B_2} B1=λB2, C 1 = λ C 2 C_1=\lambda C_2 C1=λC2, ( λ ≠ 0 ) (\lambda\neq{0}) (λ=0)	A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}={\frac{C_1}{C_2}} A2A1=B2B1=C2C1

判断位置关系的算法

• 由两直线的一般方程为 A i , B i , C i A_i,B_i,C_i Ai,Bi,Ci, ( i = 1 , 2 ) (i=1,2) (i=1,2)赋值( A i , B i A_i,B_i Ai,Bi不同时为0)
• 计算 D 1 = A 1 B 2 − A 2 B 1 D_1=A_1B_2-A_2B_1 D1=A1B2−A2B1, D 2 = B 1 C 2 − C 1 B 2 D_2=B_1C_2-C_1B_2 D2=B1C2−C1B2或 A 1 C 2 − A 2 C 1 A_1C_2-A_2C_1 A1C2−A2C1
• 若 D 1 ≠ 0 D_1\neq{0} D1=0,则 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2相交
• 若 D 1 = 0 D_1=0 D1=0, D 2 ≠ 0 D_2\neq{0} D2=0,则 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2平行
• 若 D 1 = 0 D_1=0 D1=0, D 2 = 0 D_2=0 D2=0,则 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2重合

直线平行对应的方程关系👺

• 若 A 1 = A 2 = A A_1=A_2=A A1=A2=A, B 1 = B 2 = B B_1=B_2=B B1=B2=B, C 1 ≠ C 2 C_1\neq{C_2} C1=C2,则两直线平行

• 证明: D 1 = A 1 B 2 − A 2 B 1 D_1=A_1B_2-A_2B_1 D1=A1B2−A2B1= A B − A B = 0 AB-AB=0 AB−AB=0; D 2 = B 1 C 2 − B 2 C 1 D_2=B_1C_2-B_2C_1 D2=B1C2−B2C1= B ( C 2 − C 1 ) B(C_2-C_1) B(C2−C1)或 A 1 C 2 − A 2 C 1 A_1C_2-A_2C_1 A1C2−A2C1= A ( C 2 − C 1 ) A(C_2-C_1) A(C2−C1)

  • 当 B ≠ 0 B\neq{0} B=0时, D 2 ≠ 0 D_2\neq{0} D2=0,两直线平行
  • 当 B = 0 B=0 B=0时,由直线的定义, A , B A,B A,B不同时为0,从而 B = 0 B=0 B=0时, A ≠ 0 A\neq{0} A=0,
    • 方法1: B ( C 2 − C 1 ) B(C_2-C_1) B(C2−C1)=0,但 A ( C 2 − C 1 ) ≠ 0 A(C_2-C_1)\neq{0} A(C2−C1)=0,所以 D 2 ≠ 0 D_2\neq{0} D2=0,两直线平行
    • 方法2:从直线本身特点判断
      • 两直线分别为 A x − C 1 = 0 Ax-C_1=0 Ax−C1=0, A x − C 2 = 0 Ax-C_2=0 Ax−C2=0,即分别为 x = − C 1 A x=-\frac{C_1}{A} x=−AC1, x = − C 2 A x=-\frac{C_2}{A} x=−AC2,这两条直线都与 x x x轴垂直,那么两直线要么平行,要么重合
      • 由于 C 1 ≠ C 2 C_1\neq{C_2} C1=C2,从而两直线平行而不重合

• 一般地,我们可以把与直线 A x + B y + C = 0 Ax+By+C=0 Ax+By+C=0平行(不重合)的直线设为 A x + B y + D = 0 Ax+By+D=0 Ax+By+D=0, ( D ≠ C ) (D\neq{C}) (D=C)

两条直线垂直

• 设两条直线分别为 l 1 l_1 l1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A_1x+B_1y+C_1=0 A1x+B1y+C1=0; l 2 l_2 l2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 A_2x+B_2y+C_2=0 A2x+B2y+C2=0

• 在平面内,两条直线垂直则一点相交,即,垂直是相交的一种特殊情况

• 由直线平行对应的方程关系可知, l 1 l_1 l1和 l 1 ′ l_1' l1′: A 1 x + B 1 y + 0 = 0 A_1x+B_1y+0=0 A1x+B1y+0=0平行, l 2 l_2 l2和 l 2 ′ l_2' l2′: A 2 x + B 2 y + 0 = 0 A_2x+B_2y+0=0 A2x+B2y+0=0平行,从而研究 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2的垂直条件时,可以转换为研究 l 1 ′ , l 2 ′ l_1',l_2' l1′,l2′的垂直条件

• 显然, l 1 ′ , l 2 ′ l_1',l_2' l1′,l2′是通过坐标原点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)的直线,在直线 l 1 ′ , l 2 ′ l_1',l_2' l1′,l2′上分别取原点外的点,分别设为 A ( x 1 , y 1 ) A(x_1,y_1) A(x1,y1), B ( x 2 , y 2 ) B(x_2,y_2) B(x2,y2),并且 x 1 x 2 ≠ 0 x_1x_2\neq{0} x1x2=0

• 设 l 1 ′ , l 2 ′ l_1',l_2' l1′,l2′斜率存在且非0(不与坐标轴平行或垂直),即 B 1 , B 2 ≠ 0 B_1,B_2\neq{0} B1,B2=0,直线可以分别表示为 y 1 = − A 1 B 1 x 1 y_1=-\frac{A_1}{B_1}x_1 y1=−B1A1x1(0-1), y 2 = − A 2 B 2 x 2 y_2=-\frac{A_2}{B_2}x_2 y2=−B2A2x2(0-2),即" y = k x y=kx y=kx"的形式

  • 由两点间距离公式: ∣ A B ∣ 2 = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 |AB|^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 ∣AB∣2=(x1−x2)2+(y1−y2)2
  • 勾股定理 ∣ O A ∣ 2 + ∣ O B ∣ 2 = ∣ A B ∣ 2 |OA|^2+|OB|^2=|AB|^2 ∣OA∣2+∣OB∣2=∣AB∣2, x 1 2 + y 1 2 + x 2 2 + y 2 2 x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2 x12+y12+x22+y22= ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 (x1−x2)2+(y1−y2)2
  • 化简后可得 x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 x_1x_2+y_1y_2=0 x1x2+y1y2=0(1),代入(0-1),(0-2),得 x 1 x 2 ( 1 + A 1 A 2 B 1 B 2 ) = 0 x_1x_2(1+\frac{A_1A_2}{B_1B_2})=0 x1x2(1+B1B2A1A2)=0(2)
  • 因为 x 1 x 2 ≠ 0 x_1x_2\neq{0} x1x2=0,所以 1 + A 1 A 2 B 1 B 2 = 0 1+\frac{A_1A_2}{B_1B_2}=0 1+B1B2A1A2=0(2-1)
  • 对(2-1)两边同乘 B 1 B 2 B_1B_2 B1B2,得 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 A_1A_2+B_1B_2=0 A1A2+B1B2=0(2-2)
  • 逆向推导可知, l 1 ′ , l 2 ′ l_1',l_2' l1′,l2′相互垂直,也就有 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2相互垂直

• 若 l 1 ′ , l 2 ′ l_1',l_2' l1′,l2′中有一条斜率不存在或为0,(与坐标轴平行或重合)

  • 当 l 1 ⊥ l 2 l_1\perp{l_2} l1⊥l2时,可知另一条也与坐标轴重合或平行

  • 不妨设 l 1 ′ : x = 0 l_1':x=0 l1′:x=0, l 2 ′ : y = 0 l_2':y=0 l2′:y=0,此时 A 1 = 1 , B 1 = 0 A_1=1,B_1=0 A1=1,B1=0, A 2 = 0 , B 2 = 1 A_2=0,B_2=1 A2=0,B2=1

  • 这同样有(2-2)成立,反之,由式(2-2),也可推出 l 1 ⊥ l 2 l_1\perp{l_2} l1⊥l2

• 综上,平面内任意两条直线 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2垂直的条件是 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 A_1A_2+B_1B_2=0 A1A2+B1B2=0,即式(2-2)

直线垂直对应的斜率关系

• 设 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2的斜率存在且分别为 k 1 , k 2 k_1,k_2 k1,k2,则 k 1 = − A 1 B 1 k_1=-\frac{A_1}{B_1} k1=−B1A1, k 2 = − A 2 B 2 k_2=-\frac{A_2}{B_2} k2=−B2A2,则 k 1 k 2 = A 1 A 2 B 1 B 2 k_1k_2=\frac{A_1A_2}{B_1B_2} k1k2=B1B2A1A2,
• 由式(2-2), A 1 A 2 = − B 1 B 2 A_1A_2=-B_1B_2 A1A2=−B1B2,从而 k 1 k 2 = − 1 k_1k_2=-1 k1k2=−1(3)
• 这就是说,两条斜率存在的直线 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2垂直的条件是 k 1 k 2 = − 1 k_1k_2=-1 k1k2=−1

直线垂直判断算法

• 由两直线的一般方程为 A i , B i A_i,B_i Ai,Bi, ( i = 1 , 2 ) (i=1,2) (i=1,2)赋值( A i , B i A_i,B_i Ai,Bi不同时为0)

• 计算 M = A 1 A 2 + B 1 B 2 M=A_1A_2+B_1B_2 M=A1A2+B1B2

• 若 M = 0 M=0 M=0,则 l 1 ⊥ l 2 l_1\perp{l_2} l1⊥l2,否则不垂直

• 例:

  • 2 x − 4 y − 7 = 0 2x-4y-7=0 2x−4y−7=0和 2 x + y − 5 = 0 2x+y-5=0 2x+y−5=0;M= 2 × 2 + ( − 4 ) × 1 = 0 2\times{2}+(-4)\times{1}=0 2×2+(−4)×1=0,可知两直线垂直

直线垂直对应的方程关系

• A x + B y + C 1 = 0 Ax+By+C_1=0 Ax+By+C1=0,与直线 B x − A y + C 2 = 0 Bx-Ay+C_2=0 Bx−Ay+C2=0垂直
• 证明:
  • 因为 M = A B + B ( − A ) M=AB+B(-A) M=AB+B(−A)=0,因此两直线垂直
• 一般的,直线 A x + B y + C = 0 Ax+By+C=0 Ax+By+C=0垂直的直线可以设为 B x − A y + D = 0 Bx-Ay+D=0 Bx−Ay+D=0