一、矩阵形式
经过初等行变换化为阶梯形矩阵。当
，有解；当
，有非零解。
有解，等价于
可由
线性表示
克拉默法则：非齐次线性方程组中，系数行列式
，则方程组有唯一解，且唯一解为
其中
是
中第i列元素（即
的系数）替换成方程组右端的常数项
所构成的行列式。
二、向量形式
方程组有解等价于可由表出；
方程组有非零解等价于线性相关。
三、齐次线性方程组
若A是
矩阵，
，则齐次线性方程组
存在基础解系，且基础解系有
个线性无关解向量组成。也就是说，基础解系向量个数+
=n（未知量个数）。
四、非齐次线性方程组
有解条件
（1）
无解，等价于
- b不能由A的列向量组线性表出
（2）有解，等价于
- b可由A的列向量组线性表出
，即
若
线性无关，
线性相关b可由线性表出，且表出法唯一
有唯一解。
若
线性无关，线性相关b可由线性表出，且表出法不唯一有无穷多解。
五、解的性质
若
是的解，则
是的解；
若
是的解，则
是的解；
若
是的解，
是的解，则
是的解。
六、解的结构
特解，通解，自由变量。
如果有方程组就加减消元、讨论参数，求解；
如果没有方程组就大概需求秩，用解的结构来分析推理来求解。