day52【子序列】300.最长递归子序列 674.最长连续递增序列 718.最长重复子数组

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300.最长递增子序列
674.最长连续递增序列
718.最长重复子数组

300.最长递增子序列

题目链接：力扣链接
讲解链接：代码随想录链接
题意：给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如， $3,6,2,7$ 是数组 $0,3,1,6,2,2,7$ 的子序列。
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  示例 1：
  输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
  输出：4
  解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
  
  示例 2：
  输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
  输出：4
  
  示例 3：
  输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
  输出：1
```
思路：
- 当前下标i的递增子序列长度，和i之前的下标j的子序列长度有关系。
动规五部曲

dp $i$ ：表示i之前的包括i的，以nums $i$ 为尾的最长递增子序列的长度

递归公式：下标i的最长升序子序列长度等于下标j从0到i-1各个位置的最长升序子序列+1的最大值，也就是下标i之前的，即到i-1的最长升序子序列长度+下标i本身（+1）的长度。前提条件是，nums $i$ >nums $j$ , 才会触发递归公式，这样才符合升序。dp $i$ = Math.max(dp $i$ , dp $j$ +1);

初始化：每个以nums $i$ 为结尾的子序列的长度最短都是它自己本身，也就是1，所以要把dp数组都初始化为1.

遍历顺序：内外两层遍历都是正序遍历即可

最后返回的结果：不是dp $nums.length-1$ ，应为最后一个元素不一定是在最长子序列里面的，所以最后返回的结果应该去遍历每一个dp $i$ 找到最大的dp $i$ 来返回。

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class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length];
        //最小的结果就是1
        int result = 1;
        //把dp数组都初始化为1；
        Arrays.fill(dp, 1);
        for(int i = 0; i < dp.length; i++) {
            for(int j = 0; j < i; j++) {
                if(nums[i] > nums[j]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[j]+1, dp[i]);
                }
            }
            //找到最长的dp[i]作为结果。
            result = Math.max(result, dp[i]);
        }
        return result;
    }
}

674.最长连续递增序列

题目链接：力扣链接
讲解链接：代码随想录讲解
题意：给定一个未经排序的整数数组，找到最长且连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

连续递增的子序列可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums $i$ < nums $i + 1$ ，那么子序列 $nums\[l$ , nums $l + 1$ , ..., nums $r - 1$ , nums $r$ ] 就是连续递增子序列。
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```
  示例 1：
  输入：nums = [1,3,5,4,7]
  输出：3
  解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。
  尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。 
  
  示例 2：
  输入：nums = [2,2,2,2,2]
  输出：1
  解释：最长连续递增序列是 [2], 长度为1。
```
思路：不同的是求连续递增的最长子序列的长度，这样的话i和i-1比较就行了，而不用引入j，让j在0到i-1中遍历得到最长的。

java 复制代码

class Solution {
    public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
        //dp[i]代表以下标i为结尾的连续递增的子序列长度
        int[] dp = new int[nums.length];
        //初始化，dp[i]最少都应为1
        Arrays.fill(dp, 1);
        int res = 1;
        for(int i = 1; i < nums.length; i++) {
            //本题求连续增序列，所以就和i-1比较就行了，没必要和j比较，j是从0到i-1遍历。只要i比i-1大，那么最长的长度就得+1，如此一直遍历。     
            if(nums[i] > nums[i-1]) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i-1]+1);
            }
            res = Math.max(res, dp[i]);
        }
        return res;

    }
}

718.最长重复子数组

题目链接：力扣链接
讲解链接：代码随想录讲解

题意：给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。

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  示例 1：
  输入：nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7]
  输出：3
  解释：长度最长的公共子数组是 [3,2,1] 。
  
  示例 2：
  输入：nums1 = [0,0,0,0,0], nums2 = [0,0,0,0,0]
  输出：5

dp数组的含义

二维dp数组来表示两个数组的状态

dp $i$ $j$ 表示第一个数组到i-1为结尾，第二个数组到j-1为结尾的两个数组的最长重复子数组的长度。

为什么要以i-1和j-1为结尾，而不是以i和j为结尾呢？

因为如果是以i和j为结尾的话，在初始化时，就要对比nums1 $0$ 和nums2的所有元素是否相等，以此来初始化nums $0$ $j$ 这一行，同理也要用相同的方法初始化nums $i$ $0$ 这一列。
递推公式

当nums1 $i-1$ == nums2 $j-1$ 时(因为dp数组的定义是表示以i-1和j-1为结尾的，所以这里比较的是i-1和j-1的值相等，这是符合dp数组含义的)，dp $i$ $j$ 需要加1，dp $i$ $j$ = dp $i-1$ $j-1$ +1，在 $i-1$ $j-1$ 的基础上做加1，需要同时回退，然后在此基础上做+1的操作。
初始化

根据dp数组的定义，i和j为0时，dp数组表示以-1为结尾的，这是没有意义的，所以初始化为0，重复的长度如果有了就从0开始往上加，这样才正确。因为遍历时会把后面的初始值覆盖，所以其他初始值为多少都可以，但为方便统一设置为0.

dp $i$ $0$ = 0

dp $0$ $j$ = 0
遍历顺序

要遍历两个数组，两层for循环。遍历dp数组，找到最大值返回。

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class Solution {
    public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
        int[][] dp = new int[nums1.length+1][nums2.length+1];
        int res = 0;
        for(int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
            for(int j = 1; j<= nums2.length; j++) {
                if(nums1[i-1] == nums2[j-1]) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-1][j-1]+1);
                }
                res = Math.max(res, dp[i][j]);
            }
        }
        return res;
    }
}