XOR Construction---CF1895D
参考文章
翻译
题目要求构造一个长度为 n n n 的数组 b b b，满足以下条件：
- 数组 b b b 中包含从 0 0 0 到 n − 1 n-1 n−1 的每个整数，且每个整数仅出现一次；
- 对于 i i i 从 1 1 1 到 n − 1 n-1 n−1， b i ⊕ b i + 1 = a i b_i \oplus b_{i+1} = a_i bi⊕bi+1=ai（其中 ⊕ \oplus ⊕ 表示按位异或运算符）。
输入
第一行包含一个整数 n n n（ 2 ≤ n ≤ 2 ⋅ 1 0 5 2 \le n \le 2 \cdot 10^5 2≤n≤2⋅105）。
第二行包含 n − 1 n-1 n−1 个整数 a 1 , a 2 , ... , a n − 1 a_1, a_2, \dots, a_{n-1} a1,a2,...,an−1（ 0 ≤ a i ≤ 2 n 0 \le a_i \le 2n 0≤ai≤2n）。
输入的附加限制条件：始终可以从给定序列 a a a 构造出至少一个有效的数组 b b b。
输出
输出 n n n 个整数 b 1 , b 2 , ... , b n b_1, b_2, \dots, b_n b1,b2,...,bn。如果存在多个满足条件的数组，可以输出其中任意一个。
思路
由 b i ⊕ b i + 1 = a i b_i \oplus b_{i+1}=a_i bi⊕bi+1=ai 得：
b 1 ⊕ b 2 = a 1 b_1 \oplus b_2=a_1 b1⊕b2=a1
b 2 ⊕ b 3 = a 2 b_2 \oplus b_3=a_2 b2⊕b3=a2
b 3 ⊕ b 4 = a 3 b_3 \oplus b_4=a_3 b3⊕b4=a3，异或累加得：
b 1 ⊕ b i = a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ . . . ⊕ a i − 1 b_1 \oplus b_i=a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus ... \oplus a_{i-1} b1⊕bi=a1⊕a2⊕a3⊕...⊕ai−1，即：
b i = b 1 ⊕ a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ . . . ⊕ a i − 1 b_i=b_1 \oplus a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus ... \oplus a_{i-1} bi=b1⊕a1⊕a2⊕a3⊕...⊕ai−1。
因为题目保证有解，所以 b 1 b_1 b1 存在某个取值，使得 b b b 中元素各不相同，即 a a a 的所有前缀异或和各不相同，且不存在 0 0 0。那么我们很容易得到：
对于 b 1 b_1 b1 的任意取值， b b b 中元素都互不相同。
因为 every integer from 0 0 0 to n − 1 n-1 n−1 appears in b b b exactly once，而我们已经知道了 b b b 中元素互不相同，现在的任务就是保证 b b b 中元素最小化。为了达到这一目的，我们只能修改 b 1 b_1 b1 的大小。
让 b 1 b_1 b1 的二进制第 k k k 位最优，使得 b 2 , . . . , b n b_2, ..., b_n b2,...,bn 中二进制第 k k k 位上的"1"的数量最小，进而使得 b b b 数组整体最小。这里使用了贪心的思路来实现（局部最优得到整体最优，二进制每一位最优得到二级制所有位最优）。
C o d e Code Code
cpp
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define sz(a) ((int)a.size())
#define all(a) a.begin(), a.end()
using namespace std;
using PII = pair<int, int>;
using i128 = __int128;
const int N = 2e5 + 10;
int n;
void solve(int Case) {
cin >> n;
vector <int> a(n + 1, 0);
for (int i = 1; i <= n - 1; i ++) {
cin >> a[i];
a[i] ^= a[i - 1];
}
int b1 = 0;
for (int i = 0; i <= 30; i ++) {
int num1 = 0;
int num0 = 0;
for (int j = 1; j <= n - 1; j ++) {
if (a[j] >> i & 1) {
num1 ++;
} else {
num0 ++;
}
}
if (num1 > num0) {
b1 += 1 << i;
}
}
cout << b1 << " ";
for (int i = 2; i <= n; i ++) {
cout << (a[i - 1] ^ b1) << " ";
}
cout << "\n";
}
signed main() {
cin.tie(0)->ios::sync_with_stdio(false);
int T = 1;
// cin >> T; cin.get();
int Case = 0;
while (++ Case <= T) solve(Case);
return 0;
}