概率论和数理统计(一)基本概念

前言

生活中对于事件的发生,可以概括为

确定现象：在一定条件下必然发生，如日出
随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律的现象，称之为随机现象。

随机现象的特点：人们通过长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验或观察下，它的结果却呈现出某种统计规律性.

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科

随机试验

为了对随机现象的统计规律性进行研究，就需要对随机现象进行重复观察，我们把对随机现象的观察称为随机试验，并简称为试验，记为E.

随机试验具有下列特点：

可重复性：试验可以在相同的条件下重复进行；
可观察性：试验结果可观察，所有可能的结果是明确的；
随机性（不确定性）：每次试验出现的结果事先不能准确预知.，但可以肯定会出现所有可能结果中的一个.

样本空间

样本点：随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个样本点，记作．
样本空间：全体样本点组成的集合称为这个随机试验的样本空间，记为 Ω （或 S ） \Omega（或S） Ω（或S）

随机事件

我们称试验E的样本空间的子集为E的随机事件，简称事件，在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性一般用A，B，C，，...等大写字母表示事件．设A为一个事件，当且仅当试验中出现的样本点w∈A时，称事件A在该次试验中发生.

注：要判断一个事件是否在一次试验中发生，只有当该次试验有了结果以后才能知道.

基本事件：仅含一个样本点的随机事件称为基本事件
必然事件：样本空间本身也是的子集，它包含的所有样本点，在每次试验中必然发生，称为必然事件．即必然发生的事件.
不可能事件：空集也是的子集，它不包含任何样本点，在每次试验中都不可能发生，称为不可能事件．不可能发生的事件是不包含任何样本点的.

事件间的关系

包含/相等:A⊂B或A=B。
和事件或并事件：A ∪ B
积事件或交事件: A ∩ B
事件的差: A−B
互斥或互不相容: A∩B=ϕ
对立事件或互逆事件: A∪B=S and A∩B=ϕ

事件的运算规律

概率与频率

频率定义 :在相同条件下重复进行了n次试验，如果事件A在这n次试验中发生了 n A n_A nA次，则称比值 n A n \frac{n_A}{n} nnA为事件A发生的频率，记作 f n ( A ) f_n(A) fn(A)。

即对任意事件A，在相同的条件下重复进行n次试验，事件A发生k次，从而事件A发生的频率 k n \frac{k}{n} nk，随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数p附近摆动，那么称p为事件A的概率

概率的公理化定义 : 设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋予一个实数，记为 P ( A ) P(A) P(A)称为事件 A 的概率.满足条件

概率的性质

古典概型(等可能概型)

我们高中数学的概率,拥有以下特点:

试验的样本空间只包含有限个元素；
试验中每个基本事件发生的可能性相同。

古典概型计算公式

条件概率

在事件 A 发生的前提条件下事件 B 发生的概率，称为条件概率,记为 P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} P(B∣A)=P(A)P(AB)。

条件概率符合概率的公理化定义中的三个条件

乘法定理

全概率公式和贝叶斯公式

即将该样本空间划分为 n 个两两互不相容的事件. 结合乘法公式得出全概率公式

该公式是通过加和 A 在每个划分事件中概率，得出A的总概率

再进一步转换得贝叶斯公式

事件的独立性

两事件互不相容与相互独立是完全不同的两个概念，它们分别从两个不同的角度表达了两事件间的某种联系，互不相容是表述在一次随机试验中两事件不能同时发生，而相互独立是表述在一次随机试验中一事件是否发生与另一事件是否发生互无影响.

A，B相互独立与A，B互不相容不能同时成立
证明: P ( A ˉ B ) = P ( A ˉ ) P ( B ) P(\bar{A}B)=P(\bar{A})P(B) P(AˉB)=P(Aˉ)P(B)

P ( A ˉ B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(\bar{A}B)=P(A)-P(AB) P(AˉB)=P(A)−P(AB)

P ( A ˉ B ) = P ( A ) − P ( A ) P ( B ) = P ( A ) ( 1 − P ( B ) ) P(\bar{A}B)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B)) P(AˉB)=P(A)−P(A)P(B)=P(A)(1−P(B))