第6章 随机变量的联合分布
6.1 联合分布函数
联合分布函数用于多个随机变量同时出现的概率特性。
定义
联合分布
设 X 和 Y 是两个随机变量，其联合累积分布函数定义为：
F(a,b)=P{X≤a,Y≤b},−∞<a,b<∞ F(a, b) = P\{X \leq a, Y \leq b\}, \quad -\infty < a, b < \infty F(a,b)=P{X≤a,Y≤b},−∞<a,b<∞
该函数描述了 X 和 Y 同时不超过某个值的概率。
边缘分布
从联合分布可以导出单个变量的分布，称为边缘分布。
-
对于 X ：
FX(a)=P{X≤a}=limb→∞F(a,b)≡F(a,∞) F_X(a) = P\{X \leq a\} = \lim_{b \to \infty} F(a, b) \equiv F(a, \infty) FX(a)=P{X≤a}=b→∞limF(a,b)≡F(a,∞) -
对于 Y ：
FY(b)=P{Y≤b}=lima→∞F(a,b)≡F(∞,b) F_Y(b) = P\{Y \leq b\} = \lim_{a \to \infty} F(a, b) \equiv F(\infty, b) FY(b)=P{Y≤b}=a→∞limF(a,b)≡F(∞,b)
理论上，所有涉及 X 和 Y 的联合概率都可以通过 F(a,b) 求解。
例如，求 P{X \> a, Y \> b} ：
P{X>a,Y>b}=1−P({X>a,Y>b}c)=1−P({X≤a}∪{Y≤b})=1−[P{X≤a}+P{Y≤b}−P{X≤a,Y≤b}]=1−FX(a)−FY(b)+F(a,b)(1.1) \begin{array}{rcl} P\{X > a, Y > b\} & = & 1 - P\left(\{X > a, Y > b\}^c\right) \\ & = & 1 - P\left(\{X \leq a\} \cup \{Y \leq b\}\right) \\ & = & 1 - \left[P\{X \leq a\} + P\{Y \leq b\} - P\{X \leq a, Y \leq b\}\right] \\ & = & 1 - F_X(a) - F_Y(b) + F(a, b) \end{array} \tag{1.1} P{X>a,Y>b}====1−P({X>a,Y>b}c)1−P({X≤a}∪{Y≤b})1−[P{X≤a}+P{Y≤b}−P{X≤a,Y≤b}]1−FX(a)−FY(b)+F(a,b)(1.1)
更一般地，对于区间概率：
P{a1≤X≤a2,b1≤Y≤b2}=F(a2,b2)+F(a1,b1)−F(a1,b2)−F(a2,b1)(1.2) P\{a_1 \leq X \leq a_2, b_1 \leq Y \leq b_2\} = F(a_2, b_2) + F(a_1, b_1) - F(a_1, b_2) - F(a_2, b_1) \tag{1.2} P{a1≤X≤a2,b1≤Y≤b2}=F(a2,b2)+F(a1,b1)−F(a1,b2)−F(a2,b1)(1.2)
其中 a_1 \\leq a_2, b_1 \\leq b_2 。
联合分布列
当 X 和 Y 均为离散型时，定义其联合概率质量函数（joint PMF）为：
p(x,y)=P{X=x,Y=y} p(x, y) = P\{X = x, Y = y\} p(x,y)=P{X=x,Y=y}
边缘分布列由求和得到：
- p_X(x) = P{X = x} = \\sum_{y: p(x,y)\>0} p(x,y)
- p_Y(y) = P{Y = y} = \\sum_{x: p(x,y)\>0} p(x,y)
这些称为边缘分布列（marginal PMF），因其在联合分布表中位于"边缘"位置。
例 1a：抽球问题
坛中有 3 红球、4 白球、5 蓝球，从中随机抽取 3 个球。令 X ：红球数，：红球数，：红球数， Y ：白球数。
计算联合分布列 p(i,j) = P(X=i, Y=j) ，使用超几何模型：
p(i,j)=(3i)(4j)(53−i−j)(123),其中 i+j≤3 p(i,j) = \frac{\binom{3}{i} \binom{4}{j} \binom{5}{3-i-j}}{\binom{12}{3}}, \quad \text{其中 } i+j \leq 3 p(i,j)=(312)(i3)(j4)(3−i−j5),其中 i+j≤3
具体计算如下：
| i \\backslash j | 0 | 1 | 2 | 3 | 行和 = P(X=i) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | \\frac{10}{220} | \\frac{40}{220} | \\frac{30}{220} | \\frac{4}{220} | \\frac{84}{220} |
| 1 | \\frac{30}{220} | \\frac{60}{220} | \\frac{18}{220} | 0 | \\frac{108}{220} |
| 2 | \\frac{15}{220} | \\frac{12}{220} | 0 | 0 | \\frac{27}{220} |
| 3 | \\frac{1}{220} | 0 | 0 | 0 | \\frac{1}{220} |
| 列和 = P(Y=j) | \\frac{56}{220} | \\frac{112}{220} | \\frac{48}{220} | \\frac{4}{220} |
例 1b：家庭孩子性别分布
某社区家庭子女分布：
- 无孩：15%
- 1孩：20%
- 2孩：35%
- 3孩：30%
每个孩子为男孩或女孩的概率均为 \\frac{1}{2} ，且独立。
令 B ：男孩数，：男孩数，：男孩数， G ：女孩数。
计算联合分布列 P(B=i, G=j) ：
- P(B=0, G=0) = P(\\text{无孩}) = 0.15
- P(B=0, G=1) = P(1\\text{孩}) \\cdot P(\\text{女孩}) = 0.20 \\times \\frac{1}{2} = 0.10
- P(B=0, G=2) = P(2\\text{孩}) \\cdot P(\\text{两女}) = 0.35 \\times \\left(\\frac{1}{2}\\right)\^2 = 0.0875
- P(B=0, G=3) = 0.30 \\times \\left(\\frac{1}{2}\\right)\^3 = 0.0375
其余类似（如 P(B=1,G=1) = 0.20 \\times \\frac{1}{2} = 0.10 ，，， P(B=2,G=0) = 0.35 \\times \\frac{1}{4} = 0.0875 ，等等）
结果见下表：
| i \\backslash j | 0 | 1 | 2 | 3 | P(B=i) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.15 | 0.10 | 0.0875 | 0.0375 | 0.3750 |
| 1 | 0.10 | 0.175 | 0.1125 | 0 | 0.3875 |
| 2 | 0.0875 | 0.1125 | 0 | 0 | 0.2000 |
| 3 | 0.0375 | 0 | 0 | 0 | 0.0375 |
| P(G=j) | 0.375 | 0.3875 | 0.2000 | 0.0375 |
联合密度函数
若存在非负函数 f(x,y) ，使得对任意二维区域 C 有：
P{(X,Y)∈C}=∬(x,y)∈Cf(x,y) dx dy(1.3) P\{(X,Y) \in C\} = \iint_{(x,y)\in C} f(x,y)\,dx\,dy \tag{1.3} P{(X,Y)∈C}=∬(x,y)∈Cf(x,y)dxdy(1.3)
则称 X,Y 为联合连续型随机变量 ， f(x,y) 为联合概率密度函数。
特别地，若 A,B 为实数集，则：
P{X∈A,Y∈B}=∫B∫Af(x,y) dx dy(1.4) P\{X \in A, Y \in B\} = \int_B \int_A f(x,y)\,dx\,dy \tag{1.4} P{X∈A,Y∈B}=∫B∫Af(x,y)dxdy(1.4)
由联合密度求联合分布函数
F(a,b)=P{X≤a,Y≤b}=∫−∞b∫−∞af(x,y) dx dy F(a,b) = P\{X \leq a, Y \leq b\} = \int_{-\infty}^b \int_{-\infty}^a f(x,y)\,dx\,dy F(a,b)=P{X≤a,Y≤b}=∫−∞b∫−∞af(x,y)dxdy
若偏导数存在，则：
f(a,b)=∂2∂a∂bF(a,b) f(a,b) = \frac{\partial^2}{\partial a \partial b} F(a,b) f(a,b)=∂a∂b∂2F(a,b)
直观理解密度函数
对于很小的 da, db ，有：
P{a<X<a+da,b<Y<b+db}≈f(a,b) da db P\{a < X < a+da, b < Y < b+db\} \approx f(a,b)\,da\,db P{a<X<a+da,b<Y<b+db}≈f(a,b)dadb
即 f(a,b) 反映了 (X,Y) 在点 (a,b) 附近取值的"可能性密度"。
边缘密度函数
-
X 的边缘密度：
fX(x)=∫−∞∞f(x,y) dy f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy fX(x)=∫−∞∞f(x,y)dy -
Y 的边缘密度：
fY(y)=∫−∞∞f(x,y) dx f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dx fY(y)=∫−∞∞f(x,y)dx
例 1c：指数型联合密度
设 X,Y 的联合密度为：
f(x,y)={2e−xe−2y,x>0,y>00,否则 f(x,y) = \begin{cases} 2e^{-x}e^{-2y}, & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{否则} \end{cases} f(x,y)={2e−xe−2y,0,x>0,y>0否则
求：
(a) P(X \> 1, Y \< 1)
P(X>1,Y<1)=∫01∫1∞2e−xe−2y dx dy=∫012e−2y[−e−x]1∞dy=∫012e−2ye−1dy=e−1∫012e−2ydy=e−1(1−e−2) \begin{aligned} P(X > 1, Y < 1) &= \int_0^1 \int_1^\infty 2e^{-x}e^{-2y}\,dx\,dy \\ &= \int_0^1 2e^{-2y} \left[ -e^{-x} \right]_1^\infty dy = \int_0^1 2e^{-2y} e^{-1} dy \\ &= e^{-1} \int_0^1 2e^{-2y} dy = e^{-1}(1 - e^{-2}) \end{aligned} P(X>1,Y<1)=∫01∫1∞2e−xe−2ydxdy=∫012e−2y[−e−x]1∞dy=∫012e−2ye−1dy=e−1∫012e−2ydy=e−1(1−e−2)
(b) P(X \\leq Y)
P(X≤Y)=∬x≤y2e−xe−2ydxdy=∫0∞∫0y2e−xe−2ydxdy=∫0∞2e−2y(1−e−y)dy=∫0∞2e−2ydy−∫0∞2e−3ydy=1−23=13 \begin{aligned} P(X \leq Y) &= \iint_{x \leq y} 2e^{-x}e^{-2y} dx dy \\ &= \int_0^\infty \int_0^y 2e^{-x}e^{-2y} dx dy = \int_0^\infty 2e^{-2y}(1 - e^{-y}) dy \\ &= \int_0^\infty 2e^{-2y} dy - \int_0^\infty 2e^{-3y} dy = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \end{aligned} P(X≤Y)=∬x≤y2e−xe−2ydxdy=∫0∞∫0y2e−xe−2ydxdy=∫0∞2e−2y(1−e−y)dy=∫0∞2e−2ydy−∫0∞2e−3ydy=1−32=31
© P(X \< a)
P(X<a)=∫0a∫0∞2e−xe−2ydydx=∫0ae−x(∫0∞2e−2ydy)dx=∫0ae−x⋅1 dx=1−e−a \begin{aligned} P(X < a) &= \int_0^a \int_0^\infty 2e^{-x}e^{-2y} dy dx \\ &= \int_0^a e^{-x} \left( \int_0^\infty 2e^{-2y} dy \right) dx = \int_0^a e^{-x} \cdot 1\,dx = 1 - e^{-a} \end{aligned} P(X<a)=∫0a∫0∞2e−xe−2ydydx=∫0ae−x(∫0∞2e−2ydy)dx=∫0ae−x⋅1dx=1−e−a
例 1d：圆内均匀分布
在半径为 R 的圆内随机选一点，服从均匀分布。
设 (X,Y) 为坐标，则联合密度：
f(x,y)={c,x2+y2≤R20,否则 f(x,y) = \begin{cases} c, & x^2 + y^2 \leq R^2 \\ 0, & \text{否则} \end{cases} f(x,y)={c,0,x2+y2≤R2否则
(a) 求常数 c ：
!NOTE
对于平面上的一个区域 D \\subset \\mathbb{R}\^2 ，其面积可以用二重积分表示为：
Area(D)=∬D1 dx dy \text{Area}(D) = \iint_D 1 \, dx\,dy Area(D)=∬D1dxdy
也就是说：在整个区域上对常数函数 1 积分，结果就是该区域的面积。
所以：
∬x2+y2≤R2dx dy=以原点为中心、半径为 R 的圆的面积=πR2 \iint_{x^2 + y^2 \leq R^2} dx\,dy = \text{以原点为中心、半径为 } R \text{ 的圆的面积} = \pi R^2 ∬x2+y2≤R2dxdy=以原点为中心、半径为 R 的圆的面积=πR2
∬x2+y2≤R2c dx dy=c⋅πR2=1⇒c=1πR2 \iint_{x^2+y^2 \leq R^2} c\,dx\,dy = c \cdot \pi R^2 = 1 \Rightarrow c = \frac{1}{\pi R^2} ∬x2+y2≤R2cdxdy=c⋅πR2=1⇒c=πR21
(b) 边缘密度 f_X(x) ：
fX(x)=∫−R2−x2R2−x21πR2dy=2πR2R2−x2,∣x∣≤R f_X(x) = \int_{-\sqrt{R^2 - x^2}}^{\sqrt{R^2 - x^2}} \frac{1}{\pi R^2} dy = \frac{2}{\pi R^2} \sqrt{R^2 - x^2}, \quad |x| \leq R fX(x)=∫−R2−x2 R2−x2 πR21dy=πR22R2−x2 ,∣x∣≤R
同理， f_Y(y) = \\frac{2}{\\pi R\^2} \\sqrt{R\^2 - y\^2},\\ \|y\| \\leq R
!NOTE
边缘密度 f_X(x) 是通过对联合密度 f(x,y) 关于 y 积分得到的：
fX(x)=∫−∞∞f(x,y) dy f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y)\, dy fX(x)=∫−∞∞f(x,y)dy
但由于 f(x,y) 只在圆 x\^2 + y\^2 \\leq R\^2 内非零，所以我们只需要对满足这个条件的 y 积分。
对于一个固定的 x ，要使得 (x, y) 落在圆内，必须满足：
x2+y2≤R2⇒y2≤R2−x2⇒∣y∣≤R2−x2 x^2 + y^2 \leq R^2 \quad \Rightarrow \quad y^2 \leq R^2 - x^2 \quad \Rightarrow \quad |y| \leq \sqrt{R^2 - x^2} x2+y2≤R2⇒y2≤R2−x2⇒∣y∣≤R2−x2
所以：
- 当 \|x\| \> R ：没有 y 满足条件 → f_X(x) = 0
- 当 \|x\| \\leq R ：：： y \\in \\left\[ -\\sqrt{R\^2 - x^2}, \\sqrt{R^2 - x\^2} \\right\]
情况 1：当 \|x\| \> R 时
fX(x)=0 f_X(x) = 0 fX(x)=0因为联合密度在这些 x 处恒为 0。
情况 2：当 \|x\| \\leq R 时
fX(x)=∫−∞∞f(x,y) dy=∫y=−R2−x2R2−x21πR2 dy（因为在该区间内 f(x,y)=1πR2）=1πR2⋅[y]y=−R2−x2R2−x2=1πR2⋅(R2−x2−(−R2−x2))=1πR2⋅2R2−x2=2πR2R2−x2 \begin{aligned} f_X(x) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y)\, dy \\ &= \int_{y = -\sqrt{R^2 - x^2}}^{\sqrt{R^2 - x^2}} \frac{1}{\pi R^2}\, dy \quad \text{（因为在该区间内 } f(x,y) = \frac{1}{\pi R^2} \text{）} \\ &= \frac{1}{\pi R^2} \cdot \left[ y \right]_{y = -\sqrt{R^2 - x^2}}^{\sqrt{R^2 - x^2}} \\ &= \frac{1}{\pi R^2} \cdot \left( \sqrt{R^2 - x^2} - (-\sqrt{R^2 - x^2}) \right) \\ &= \frac{1}{\pi R^2} \cdot 2\sqrt{R^2 - x^2} \\ &= \frac{2}{\pi R^2} \sqrt{R^2 - x^2} \end{aligned} fX(x)=∫−∞∞f(x,y)dy=∫y=−R2−x2 R2−x2 πR21dy（因为在该区间内 f(x,y)=πR21）=πR21⋅[y]y=−R2−x2 R2−x2 =πR21⋅(R2−x2 −(−R2−x2 ))=πR21⋅2R2−x2 =πR22R2−x2综上：
fX(x)={2πR2R2−x2,∣x∣≤R0,∣x∣>R f_X(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{2}{\pi R^2} \sqrt{R^2 - x^2}, & |x| \leq R \\ 0, & |x| > R \end{cases} fX(x)=⎩ ⎨ ⎧πR22R2−x2 ,0,∣x∣≤R∣x∣>R
© 原点距离 D = \\sqrt{X\^2 + Y\^2} 的分布：
FD(a)=P(D≤a)=P(X2+Y2≤a2)=πa2πR2=a2R2,0≤a≤R F_D(a) = P(D \leq a) = P(X^2 + Y^2 \leq a^2) = \frac{\pi a^2}{\pi R^2} = \frac{a^2}{R^2},\quad 0 \leq a \leq R FD(a)=P(D≤a)=P(X2+Y2≤a2)=πR2πa2=R2a2,0≤a≤R
(d) E\[D\] ：
fD(a)=ddaFD(a)=2aR2,0≤a≤R⇒E[D]=∫0Ra⋅2aR2da=2R2∫0Ra2da=2R3 f_D(a) = \frac{d}{da} F_D(a) = \frac{2a}{R^2},\quad 0 \leq a \leq R \Rightarrow E[D] = \int_0^R a \cdot \frac{2a}{R^2} da = \frac{2}{R^2} \int_0^R a^2 da = \frac{2R}{3} fD(a)=dadFD(a)=R22a,0≤a≤R⇒E[D]=∫0Ra⋅R22ada=R22∫0Ra2da=32R
例 1e：比值分布
设 f(x,y) = e\^{-(x+y)},\\ x\>0,y\>0
求 Z = X/Y 的密度函数。
先求分布函数：
FZ(a)=P(XY≤a)=∬x/y≤ae−(x+y)dxdy=∫0∞∫0aye−(x+y)dxdy=∫0∞(1−e−ay)e−ydy=∫0∞e−ydy−∫0∞e−(a+1)ydy=1−1a+1 \begin{aligned} F_Z(a) &= P\left(\frac{X}{Y} \leq a\right) = \iint_{x/y \leq a} e^{-(x+y)} dx dy \\ &= \int_0^\infty \int_0^{ay} e^{-(x+y)} dx dy = \int_0^\infty (1 - e^{-ay}) e^{-y} dy \\ &= \int_0^\infty e^{-y} dy - \int_0^\infty e^{-(a+1)y} dy = 1 - \frac{1}{a+1} \end{aligned} FZ(a)=P(YX≤a)=∬x/y≤ae−(x+y)dxdy=∫0∞∫0aye−(x+y)dxdy=∫0∞(1−e−ay)e−ydy=∫0∞e−ydy−∫0∞e−(a+1)ydy=1−a+11
求导得密度：
fZ(a)=ddaFZ(a)=1(a+1)2,a>0 f_Z(a) = \frac{d}{da} F_Z(a) = \frac{1}{(a+1)^2},\quad a > 0 fZ(a)=dadFZ(a)=(a+1)21,a>0
n 维联合分布
推广到 n 个随机变量 X_1,\\dots,X_n ：
-
联合分布函数：
F(a1,...,an)=P{X1≤a1,...,Xn≤an} F(a_1,\dots,a_n) = P\{X_1 \leq a_1, \dots, X_n \leq a_n\} F(a1,...,an)=P{X1≤a1,...,Xn≤an} -
若存在函数 f(x_1,\\dots,x_n) ，使得：
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \idotsint at position 30: ...,X_n)\in C\} = \̲i̲d̲o̲t̲s̲i̲n̲t̲\limits_{(x_i)\...则称其为联合密度函数。
-
特别地：
P{X1∈A1,...,Xn∈An}=∫An⋯∫A1f(x1,...,xn)dx1⋯dxn P\{X_1 \in A_1, \dots, X_n \in A_n\} = \int_{A_n} \cdots \int_{A_1} f(x_1,\dots,x_n) dx_1\cdots dx_n P{X1∈A1,...,Xn∈An}=∫An⋯∫A1f(x1,...,xn)dx1⋯dxn
例 1f：多项分布（Multinomial Distribution）
进行 n 次独立试验，每次有 r 种结果，概率分别为 p_1,\\dots,p_r ，且 \\sum p_i = 1 。
令 X_i ：第 i 种结果出现的次数。
则联合分布列为：
P{X1=n1,...,Xr=nr}=n!n1!⋯nr!p1n1⋯prnr,∑ni=n(1.5) P\{X_1=n_1,\dots,X_r=n_r\} = \frac{n!}{n_1!\cdots n_r!} p_1^{n_1} \cdots p_r^{n_r}, \quad \sum n_i = n \tag{1.5} P{X1=n1,...,Xr=nr}=n1!⋯nr!n!p1n1⋯prnr,∑ni=n(1.5)
证明思路：固定结果出现次数，共有 \\frac{n!}{\\prod n_i!} 种排列方式，每种概率为 \\prod p_i\^{n_i} 。
当 r=2 时，退化为二项分布。
应用举例 ：掷骰子 9 次，求 1 出现 3 次，2、3 各 2 次，4、5 各 1 次，6 出现 0 次的概率：
P=9!3!2!2!1!1!0!(16)9=9!3!2!2!(16)9 P = \frac{9!}{3!2!2!1!1!0!} \left(\frac{1}{6}\right)^9 = \frac{9!}{3!2!2!} \left(\frac{1}{6}\right)^9 P=3!2!2!1!1!0!9!(61)9=3!2!2!9!(61)9
!IMPORTANT
这需要对之前曾经提到过的分组概率进行复习
6.2 独立随机变量
定义
随机变量 X 和 Y 独立，当且仅当对任意集合 A,B ：
P{X∈A,Y∈B}=P{X∈A}P{Y∈B}(2.1) P\{X \in A, Y \in B\} = P\{X \in A\} P\{Y \in B\} \tag{2.1} P{X∈A,Y∈B}=P{X∈A}P{Y∈B}(2.1)
等价地：
F(a,b)=FX(a)FY(b),∀a,b F(a,b) = F_X(a) F_Y(b),\quad \forall a,b F(a,b)=FX(a)FY(b),∀a,b
离散情形下的独立性
p(x,y)=pX(x)pY(y),∀x,y(2.2) p(x,y) = p_X(x) p_Y(y),\quad \forall x,y \tag{2.2} p(x,y)=pX(x)pY(y),∀x,y(2.2)
连续情形下的独立性
f(x,y)=fX(x)fY(y),∀x,y f(x,y) = f_X(x) f_Y(y),\quad \forall x,y f(x,y)=fX(x)fY(y),∀x,y
独立性的等价条
X,Y 独立 \\iff 联合密度（或分布列）可分解为：
fX,Y(x,y)=h(x)g(y) f_{X,Y}(x,y) = h(x) g(y) fX,Y(x,y)=h(x)g(y)
证明（连续情形）：
设 f(x,y) = h(x)g(y) ，则：
1=∫∫h(x)g(y)dxdy=(∫h(x)dx)(∫g(y)dy)=C1C2 1 = \int\int h(x)g(y) dx dy = \left(\int h(x)dx\right)\left(\int g(y)dy\right) = C_1 C_2 1=∫∫h(x)g(y)dxdy=(∫h(x)dx)(∫g(y)dy)=C1C2
令：
- f_X(x) = C_1 h(x)
- f_Y(y) = C_2 g(y)
则 f(x,y) = f_X(x) f_Y(y) ，故独立。
例题
例 2a：二项试验的独立性
进行 n+m 次独立伯努利试验， X ：前 n 次成功次数， Y ：后 m 次成功次数。
由于试验独立， X,Y 独立。
验证：
P(X=x,Y=y)=(nx)px(1−p)n−x(my)py(1−p)m−y=P(X=x)P(Y=y) P(X=x,Y=y) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x} \binom{m}{y} p^y (1-p)^{m-y} = P(X=x)P(Y=y) P(X=x,Y=y)=(xn)px(1−p)n−x(ym)py(1−p)m−y=P(X=x)P(Y=y)
但 X 与总成功数 Z = X+Y 相关。
例 2b：泊松拆分
设进入邮局总人数为参数 \\lambda 的泊松变量。每人是男性概率 p ，女性 1-p ，且独立。
令 X ：男性人数，：男性人数，：男性人数， Y ：女性人数。
结论 ： X \\sim \\text{Poisson}(\\lambda p) ，，， Y \\sim \\text{Poisson}(\\lambda(1-p)) ，且 X,Y 独立。
证明：
P(X=i,Y=j)=P(X=i,Y=j∣X+Y=i+j)P(X+Y=i+j)=(i+ji)pi(1−p)j⋅e−λλi+j(i+j)!=e−λ(λp)ii![λ(1−p)]jj!=[e−λp(λp)ii!][e−λ(1−p)[λ(1−p)]jj!] \begin{aligned} P(X=i,Y=j) &= P(X=i,Y=j \mid X+Y=i+j) P(X+Y=i+j) \\ &= \binom{i+j}{i} p^i (1-p)^j \cdot e^{-\lambda} \frac{\lambda^{i+j}}{(i+j)!} \\ &= e^{-\lambda} \frac{(\lambda p)^i}{i!} \frac{[\lambda(1-p)]^j}{j!} \\ &= \left[e^{-\lambda p} \frac{(\lambda p)^i}{i!}\right] \left[e^{-\lambda(1-p)} \frac{[\lambda(1-p)]^j}{j!}\right] \end{aligned} P(X=i,Y=j)=P(X=i,Y=j∣X+Y=i+j)P(X+Y=i+j)=(ii+j)pi(1−p)j⋅e−λ(i+j)!λi+j=e−λi!(λp)ij![λ(1−p)]j=[e−λpi!(λp)i][e−λ(1−p)j![λ(1−p)]j]
故 P(X=i,Y=j) = P(X=i)P(Y=j) ，独立得证。
例 2c：等待时间问题
两人约定 12:00--13:00 见面，到达时间独立且服从 (0,60) 上的均匀分布。
求先到者等待超过 10 分钟的概率。
设 X,Y \\sim U(0,60) ，独立。
所求概率为：
!NOTE
观察这两个概率：
- P(Y \> X + 10) ：女士比男士晚到超过 10 分钟
- P(X \> Y + 10) ：男士比女士晚到超过 10 分钟
由于：
- X 和 Y 都服从相同的分布： U(0,60)
- X 和 Y 相互独立
- 两人的行为完全对称（没有谁"优先"）
所以这两个事件的概率是相等的！
P(∣X−Y∣>10)=P(X+10<Y)+P(Y+10<X)=2P(X+10<Y) P(|X - Y| > 10) = P(X + 10 < Y) + P(Y + 10 < X) = 2P(X + 10 < Y) P(∣X−Y∣>10)=P(X+10<Y)+P(Y+10<X)=2P(X+10<Y)
2P(X+10<Y)=2∫1060∫0y−10(160)2dxdy=23600∫1060(y−10)dy=23600⋅(50)22=25003600=2536 \begin{aligned} 2P(X+10 < Y) &= 2 \int_{10}^{60} \int_0^{y-10} \left(\frac{1}{60}\right)^2 dx dy \\ &= \frac{2}{3600} \int_{10}^{60} (y - 10) dy = \frac{2}{3600} \cdot \frac{(50)^2}{2} = \frac{2500}{3600} = \frac{25}{36} \end{aligned} 2P(X+10<Y)=2∫1060∫0y−10(601)2dxdy=36002∫1060(y−10)dy=36002⋅2(50)2=36002500=3625
例 2d：蒲丰投针问题
平行线间距 D ，针长 L \\leq D 。随机投针，求与某线相交的概率。
设：
- X ：针中点到最近线的距离，：针中点到最近线的距离，：针中点到最近线的距离， X \\sim U(0, D/2)
- \\theta ：针与垂线夹角，：针与垂线夹角，：针与垂线夹角， \\theta \\sim U(0, \\pi/2)
- X,\\theta 独立
相交条件： X \< \\frac{L}{2} \\cos\\theta
P(相交)=∬x<L2cosθfX(x)fθ(θ)dxdθ=4πD∫0π/2∫0L2cosθdxdθ=4πD∫0π/2L2cosθdθ=2LπD \begin{aligned} P(\text{相交}) &= \iint_{x < \frac{L}{2} \cos\theta} f_X(x) f_\theta(\theta) dx d\theta \\ &= \frac{4}{\pi D} \int_0^{\pi/2} \int_0^{\frac{L}{2} \cos\theta} dx d\theta = \frac{4}{\pi D} \int_0^{\pi/2} \frac{L}{2} \cos\theta d\theta = \frac{2L}{\pi D} \end{aligned} P(相交)=∬x<2LcosθfX(x)fθ(θ)dxdθ=πD4∫0π/2∫02Lcosθdxdθ=πD4∫0π/22Lcosθdθ=πD2L
例 2e：正态分布的特征性质
假设：
- X,Y 独立、连续、密度可微；
- 联合密度 f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) 仅依赖于 x\^2 + y\^2
则 X,Y 为独立同分布正态变量，均值 0
设 f_X(x)f_Y(y) = g(x\^2 + y\^2)
两边对 x 求导：
fX′(x)fY(y)=2xg′(x2+y2) f_X'(x) f_Y(y) = 2x g'(x^2 + y^2) fX′(x)fY(y)=2xg′(x2+y2)
除以原式：
fX′(x)fX(x)=2xg′(x2+y2)g(x2+y2)⇒fX′(x)2xfX(x)=g′(x2+y2)g(x2+y2) \frac{f_X'(x)}{f_X(x)} = \frac{2x g'(x^2 + y^2)}{g(x^2 + y^2)} \Rightarrow \frac{f_X'(x)}{2x f_X(x)} = \frac{g'(x^2 + y^2)}{g(x^2 + y^2)} fX(x)fX′(x)=g(x2+y2)2xg′(x2+y2)⇒2xfX(x)fX′(x)=g(x2+y2)g′(x2+y2)
左边仅含 x ，右边仅含 x\^2 + y\^2 ，故必为常数 c ：
fX′(x)xfX(x)=2c⇒ddxlnfX(x)=2cx⇒lnfX(x)=a+cx2⇒fX(x)=kecx2 \frac{f_X'(x)}{x f_X(x)} = 2c \Rightarrow \frac{d}{dx} \ln f_X(x) = 2c x \Rightarrow \ln f_X(x) = a + c x^2 \Rightarrow f_X(x) = k e^{c x^2} xfX(x)fX′(x)=2c⇒dxdlnfX(x)=2cx⇒lnfX(x)=a+cx2⇒fX(x)=kecx2
!NOTE
对于密度函数需要满足：
非负性：自动满足，因为指数函数恒正
归一化 ：必须有
∫−∞∞fX(x) dx=1 \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\, dx = 1 ∫−∞∞fX(x)dx=1如果c > 0，则没法收敛
归一化要求 c \< 0 ，令 c = -1/(2\\sigma\^2) ，得正态密度。
同理 f_Y(y) 也为正态，且方差相同。
例 2f：判断独立性
(1) f(x,y) = 6e^{-2x}e^{-3y},\\ x\>0,y\>0
可分解为 (6e^{-2x})(e^{-3y}) ，故独立。
(2) f(x,y) = 24xy I(x,y) ，其中 I(x,y)=1 当 0\
支持集不是矩形，无法分解，故不独立。
如果联合密度函数的支持集（support）不是矩形区域（即不能写成 A \\times B 的形式），那么 X 和 Y 一定不独立。